Primer Nivel Individual Opciones

[S. E. Puelma Moy...]

Problema 1. En una pizarra se escriben tres enteros. Un movimiento permitido es borrar uno de ellos y escribir, en su lugar, la suma de los dos números que no se han borrado. Después de varios movimientos permitidos, tenemos escritos los números 17, 75, 91 en la pizarra.

1. Determine si es posible haber comenzado con los números 2, 2, 2.
2. Determine si es posible haber comenzado con los números 3, 3, 3.

Problema 2. En la figura, pruebe que el área el triángulo es mayor o igual que el área del triángulo . La figura muestra un cuadrado de lado , con sus diagonales dibujadas, y exteriormente se ha dibujado un triángulo rectángulo de catetos y (vea el primer comentario)

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COMENTARIOS:

• En el problema 2, el enunciado original, o sea el que se aplicó en esa ocasión, decía menor en vez de mayor... aprovecho esta ocasión para corregir dicho error
• Para quienes gozan de los desafíos, presento dos relacionados con el problema 1:
  • Usted puede partir con la terna de números que se le antoje, aún así no podrá llegar a la terna 17, 75, 91 (excepto en el caso obvio, cuando comenzamos con 17, 75, 91 y no realizamos movimientos permitidos). ¿Por qué ocurre esto?
  • Puedes atacar también ese problema cambiando el movimiento permitido: borra un número y escribe, en su lugar, el ANTECESOR de la suma de los otros dos números. Por ejemplo, si tenemos en la pizarra los números 27, 31, 43, puedo borrar el 31 y en su lugar escribir 27+43-1=69; mi nueva terna será 27, 69, 43. Resuelve las partes a y b

[Corecrasher]

Problema 1. En una pizarra se escriben tres enteros. Un movimiento permitido es borrar uno de ellos y escribir, en su lugar, la suma de los dos números que no se han borrado. Después de varios movimientos permitidos, tenemos escritos los números 17, 75, 91 en la pizarra.

a) Determine si es posible haber comenzado con los números 2, 2, 2.
b) Determine si es posible haber comenzado con los números 3, 3, 3.

Solución:

La solucion del problema radica en darnos cuenta que en el caso "a" lo que estamos haciendo es sumar cada turno mutiplos de 2 , y la contradiccion recae en que 17 = 1 (mod 2). Concluimos que el caso a no es posible.

Fijemonos en "b" , por lo mismo , notemos que 17 = 2 (mod 3) y cada vez lo que hacemos es sumar multiplos de 3 , por lo tanto no es posible en ese caso. Q.E.D.

Saludos ^^ (Acumulando Post!)

[Corecrasher]

P2) Solucion:

(Ufff , scanner maldito!)


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Sea un cuadrado de lado , sean y las diagonales del cuadrado que concurren en el punto , sea el triangulo que queremos relacionar con los triángulos de la forma donde es un punto de la circunferencia circunscrita a los triángulos por ser recto el ángulo . Notemos que las alturas () de estos triángulos a lo mas son que es el radio de la circunferencia circunscrita.
Por lo tanto:



En otras palabras el área siempre será mayor o igual al área

Q.E.D.

Saludos ^^

[S. E. Puelma Moy...]

Impecables ambas soluciones, claro que hay un pequeño detalle: en el problema de geometría, queda más claro decir que los puntos "" se encuentran en la semicircunferencia de diámetro (en vez de referirse a la circunferencia circunscrita, porque eso suena un poco más vago). Debemos recordar que dicha semicircunferencia es vista aquí como un arco capaz, o sea, como el lugar geométrico de todos los puntos en el plano (fuera del cuadrado), tales que el es recto.

[Corecrasher]

Notemos que y ,a su vez es sabido que , es sabido por pitagoras que , de lo cual la conclusion es inmediata.

[S. E. Puelma Moy...]

Ya bueno, tenemos ambos problemas resueltos, desde hace algún tiempo. Así que no entiendo el significado de , a menos que sea una forma de acortar la solución.

De cualquier modo, los desafíos vinculados con el ejercicio 1, siguen en pie... ¿Qué se puede hacer al respecto? A no tener miedo por culpa de la palabra "desafío"

Salu

[Corecrasher]

Significa solucion 2

[S. E. Puelma Moy...]

Entonces es lo que yo imaginaba: una solución alternativa (bastante más breve) para el mismo problema... nunca está de más tener nuevas visiones de un mismo problema.

Pero insisto que siguen pendientes los ejercicios hechos como desafío. En realidad me puse a mirar con un poco más de detención el problema 1, y se me ocurrieron ambos problemas... así que aprovechen eso, nunca está de más dar un par de vueltas más a los problemas

Salu