Segundo Nivel Individual Opciones

[Rurouni Kenshin]

Problema 1.



Problema 2.

[Corecrasher]

Consideramos el triangulo ABC rectangulo en A. Sobre la hipotenusa ubicamos los puntos D y E en el orden B D E C. Dado que
AB=20 , AC=21 , BD=8 y CE=9
Encuentre la medida del angulo <DAE .

SOLU:



Sea x el ángulo pedido. Por teorema de Pitágoras podemos decir que:
BC^2 = 20^2 + 21^2
BC^2 = 400 + 441
BC^2 = 841
BC = 29
Por lo tanto DE = 12. Fijémonos en el triangulo ACD , DE + EC = 21 y AC = 21 , por lo tanto es isósceles , ángulo ADC = CDA, análogamente podemos decir que BE = BA , por lo tanto el ángulo BEA = BAE. Fijémonos de igual forma en que ABC es rectángulo en A por lo tanto ABC + ACD = 90º y que:
ACD = 180º – ( CDA + CAD )
ACD = 180º – 2CDA
ACD = 2 (90º - CDA)
Análogamente con ABC:
ABC = 180º - ( BEA + BAE )
ABC = 180º - 2BEA
ABC = 2 (90º - BEA)
Sumando:
90º = ABC + ACD
90º = 2 (180º - (CDA + BEA))
Fijemonos en el triangulo ADE:
DAE = 180º - ( CDA+ BEA )
Por lo tanto x = 45º.

[Pily]

El problema 1 ...
Lo más que nos podría dar una suma es 4, colocando solamente números unos en las casillas; De la misma manera lo menos que nos puede dar es -4, colocando solamente -1. Entonces las sumas posibles son -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 --> Total 9 posibilidades. (*)
Tenemos que si sumamos filas, columnas o diagonales, obtenemos los resultados de f1, f2, f3, f4, c1, c2, c3, c4, d1 y d2 --> Total 10

Si sabemos que son 10 los resultados a obtener sumando filas, columnas o diagonales, y además sabemos por (*) las posibilidades son solamente 9, entonces obligatoriamente habrán al menos dos que serán iguales (vale decir que una se repetirá) (P. del Palomar).