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Capitulo II, Desigualdad entre las Medias

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Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 29 2005, 08:39 AM Publicado: #1
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Sean $TEX: $a_1,a_2,...,a_n$$ numeros reales no negativos. Se define la Media Aritmetica como: $TEX: $\displaystyle A=\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}$$ Se define la Media Geometrica como: $TEX: $\displaystyle G=\sqrt[n]{a_1a_2...a_n}$$ Si ademas $TEX: $a_1,a_2,...,a_n\not=0$$ entonces se define la Media Armonica como: $TEX: $\displaystyle H=\frac{n}{\displaystyle \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}}$$ Nuestro objetivo sera demostrar que: $TEX: $A\ge$$G\ge$$H$$ y que la igualdad se alcanza solamente si $TEX: $a_1=a_2=...=a_n$$ Tambien aparece la Media Cuadratica que fue definida en este Link -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 29 2005, 01:04 PM Publicado: #2
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Para mayor claridad, escribire los casos para $TEX: $n=2$$ y $TEX: $n=3$$ Para n=2 Si $TEX: $a,b\ge$$0$$ ( $TEX: $a,b\not=0$$ si es necesario) se tendra que: $TEX: $\displaystyle \frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\ge\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$$ con igualdad solamente si $TEX: $a=b$$ Para n=3 Si $TEX: $a,b,c\ge$$0$$ ( $TEX: $a,b,c\not=0$$ si es necesario) se tendra que: $TEX: $\displaystyle \frac{a+b+c}{3}\ge\sqrt[3]{abc}\ge\frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}$$ con igualdad solamente si $TEX: $a=b=c$$ PD:Las desigualdades para n=2 fueron demostradas en el siguiente Link pero ahora buscaremos alguna demostracion que abarque un conjunto mas grande de desigualdades(demostraremos una propiedad mucho mas general) -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 29 2005, 01:16 PM Publicado: #3
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Demostracion $TEX: $A\ge$$G$$ : Existen una enorme cantidad de formas de probar esta famosa desigualdad, yo mostrare mas de una durante nuestro estudio de las desigualdades. Por ahora expondre la siguiente. Sean $TEX: $a_1,a_2,....,a_n\ge$$0$$ tales que: $TEX: $\displaystyle A=\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\ $$ y $TEX: $\displaystyle \ G=\sqrt[n]{a_1a_2...a_n}$$ Es claro que si $TEX: $a_1=a_2=...=a_n$$ entonces $TEX: $A=G$$ En caso contrario deben existir $TEX: $a_i,a_j$$ tales que $TEX: $a_i<A<a_j$$ Si cambiamos $TEX: $a_i$$ por $TEX: $a_i^{\prime}=A$$ y $TEX: $a_j$$ por $TEX: $a_j^{\prime}=a_i+a_j-A$$ Notemos que: $TEX: $a_i^{\prime}+a_j^{\prime}=a_i+a_j$$ y que: $TEX: $a_i^{\prime}a_j^{\prime}>a_ia_j$$ Esto ultimo se cumple pues: $TEX: $a_i^{\prime}+a_j^{\prime}=A+(a_i+a_j-A)=a_i+a_j$$ y que: $TEX: $a_i^{\prime}a_j^{\prime}=A(a_i+a_j-A)=(A-a_i)(a_j-A)+a_ia_j>a_ia_j$$ Si denominamos por $TEX: $A^{\prime}$$ y $TEX: $G^{\prime}$$ las nuevas medias despues de "los cambios" notaremos que: $TEX: $A^{\prime}=A$$ y que $TEX: $G^{\prime}>G$$ Si efectuamos estos cambios un numero suficiente de veces(recuerden que en cada paso uno de los $TEX: $a_k$$ pasa a ser $TEX: $A$$ ) entonces obtendremos un conjunto de $TEX: $n$$ numeros todos iguales a $TEX: $A$$ . Si llamamos $TEX: $A_f$$ y $TEX: $G_f$$ a las Medias Aritmetica y Geometrica finales,despues de aplicar los sucesivos "cambios" tendremos que: $TEX: $A_f=A$$ y que $TEX: $G_f=A$$ Pero adicionalmente por lo demostrado anteriormente, entonces $TEX: $G_f>G$$ Luego $TEX: $A>G$$ en este caso. Asi se concluye que: $TEX: $A\ge G$$ con igualdad solo si $TEX: $a_1=a_2=...=a_n$$ -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 29 2005, 02:04 PM Publicado: #4
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Demostracion $TEX: $G\ge$$H$$ : Sean $TEX: $a_1,a_2,...,a_n>0$$ . Aplicaremos la desigualdad $TEX: $A\ge$$G$$ a los reales $TEX: $\frac{1}{a_1},\frac{1}{a_2},...,\frac{1}{a_n}$$ En ese caso tendriamos que: $TEX: $\displaystyle \frac{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}}{n}\ge$$\sqrt[n]{\frac{1}{a_1}\frac{1}{a_2}...\frac{1}{a_n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a_1a_2...a_n}}$$ De aca se concluye que: $TEX: $\displaystyle \sqrt[n]{a_1a_2...a_n} \ge \frac{\displaystyle n}{\displaystyle \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}}$$ o sea $TEX: $G\ge$$H$$ -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 29 2005, 02:54 PM Publicado: #5
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Ejemplo 1: Probar que para $TEX: $a,b$$ reales no negativos, con $TEX: $a\not=b$$ , probar que: $TEX: $\displaystyle (ab^n)^{\frac{1}{n+1}}< \frac{a+nb}{n+1}$$ Concluir que: $TEX: $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n<\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}$$ Solucion: Consideremos los reales $TEX: $a_1=a,a_2=b,a_3=b,....,a_{n+1}=b$$ . Aplicando la desigualdad $TEX: $A\ge$$G$$ tendremos: $TEX: $\displaystyle \frac{a+nb}{n+1}=\frac{a+(b+b+...+b)}{n+1}\ge\sqrt[n+1]{a(bb...b)}=\sqrt[n+1]{ab^n}$$ pero la desigualdad $TEX: $A\ge$$G$$ sera de manera estricta(o sea $TEX: $A>G$$ ) pues $TEX: $a\not=b$$ . Asi se concluye que: $TEX: $\displaystyle \frac{a+nb}{n+1}>\sqrt[n+1]{ab^n}$$ En la desigualdad anterior, si tomamos $TEX: $a=1$$ y $TEX: $b=1+\frac{1}{n}$$ donde $TEX: $a\not=b$$ tendremos: $TEX: $\displaystyle \frac{1+n\left(1+\frac{1}{n}\right)}{n+1}>\sqrt[n+1]{1\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}$$ El lado izquierdo de esta desigualdad resulta ser igual a $TEX: $\displaystyle \frac{1+n+1}{n+1}=\frac{n+2}{n+1}=1+\frac{1}{n+1}$$ Reemplazando en la desigualdad anterior y elevando a ambos lados a la $TEX: $n+1$$ tendremos: $TEX: $\displaystyle \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}>\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$ -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 29 2005, 03:19 PM Publicado: #6
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Ejemplo 2: Sean $TEX: $a,b,c$$ los lados de un triangulo. Probar que: $TEX: $a^2(-a+b+c)+b^2(a-b+c)+c^2(a+b-c)\le3abc$$ IMO,1964 Solucion: Notemos que: $TEX: $\noindent (-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)=(-a+b+c)(a-(b-c))(a+(b-c))$$ $TEX: $\noindent =(-a+b+c)(a^2-(b-c)^2)=a^2(-a+b+c)-(b-c)^2(-a+b+c)$$ $TEX: $\noindent =a^2(-a+b+c)+a(b-c)^2-(b-c)^2(b+c)$$ $TEX: $=a^2(-a+b+c)+a(b-c)^2-(b^2-c^2)(b-c)$$ $TEX: $=a^2(-a+b+c)+a(b^2-2bc+c^2)-(b^2-c^2)(b-c)$$ $TEX: $=a^2(-a+b+c)+b^2(a-b+c)+c^2(a+b-c)-2abc$$ Luego basta probar que $TEX: $(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)\le$$abc$$ Es para probar esto que invocaremos las desigualdades antes demostradas. Aplicando la desigualdad $TEX: $A\ge$$G$$ a los reales positivos $TEX: $(-a+b+c)$$ y $TEX: $(a-b+c)$$ (esto se concluye de las desigualdades triangulares $TEX: $a<b+c$$ y $TEX: $b<a+c$$ ) obtenemos que: $TEX: $\displaystyle \frac{(-a+b+c)+(a-b+c)}{2}\ge\sqrt{(-a+b+c)(a-b+c)}$$ o sea: $TEX: $c\ge\sqrt{(-a+b+c)(a-b+c)}$$ Analogamente se puede probar que: $TEX: $b\ge\sqrt{(-a+b+c)(a+b-c)}$$ y que: $TEX: $a\ge\sqrt{(a-b+c)(a+b-c)}$$ Multiplicando las tres desigualdades se obtiene que: $TEX: $abc\ge\sqrt{(a-b+c)(a+b-c)}\sqrt{(-a+b+c)(a+b-c)}\sqrt{(-a+b+c)(a-b+c)}$$ $TEX: $=(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)$$ Para concluir notemos que de la identidad con la que partimos,y de la desigualdad recien demostrada tendremos que: $TEX: $a^2(-a+b+c)+b^2(a-b+c)+c^2(a+b-c)$$ $TEX: $=(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)+2abc\le$$abc+2abc=3abc$$ Notar que la igualdad se cumple solamente si las tres desigualdades que multiplicamos,resultaron ser igualdades. Esto se cumpliria solamente si $TEX: $-a+b+c=a-b+c=a+b-c$$ lo cual implica que $TEX: $a=b=c$$ (propuesto) -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 21 2007, 02:03 PM Publicado: #7
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	Contenido disponible en PDF Cap_II.pdf ( 47.88k ) Número de descargas: 286 Cualquier falla avisar vía MP ^^ Saludos

Juanito Perez Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 16 2010, 03:18 PM Publicado: #8
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 262 Registrado: 17-July 09 Desde: La Florida Miembro Nº: 55.718 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	muy buenos aportes kenshin y krizalid estan entretes pero tengo una duda en la demostracion de la aritmetica mayor que la geometrica y es porque? $TEX: \[<br />G_f = A<br />\]<br />$ si entiendo esa parte entendere la demostracion =) muchas gracias Mensaje modificado por Juanito Perez el Jan 16 2010, 03:30 PM

pprimo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 16 2017, 01:01 PM Publicado: #10
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 817 Registrado: 21-February 14 Miembro Nº: 127.064	CITA(Kenshin @ Dec 29 2005, 03:19 PM) Ejemplo 2: Sean $TEX: $a,b,c$$ los lados de un triangulo. Probar que: $TEX: $a^2(-a+b+c)+b^2(a-b+c)+c^2(a+b-c)\le3abc$$ IMO,1964 arreglemos un poquito la desigualdad $TEX: $$\left( abc-a^{2}\left( -a+b+c \right) \right)+\left( abc-b^{2}\left( a-b+c \right) \right)+\left( abc-c^{2}\left( a+b-c \right) \right)\ge 0$$$ $TEX: $$a\left( b\left( c-a \right)-a\left( c-a \right) \right)+b\left( b\left( b-c \right)-a\left( b-c \right) \right)+c\left( a\left( b-c \right)-c\left( b-c \right) \right)\ge 0$$$ $TEX: $$a\left( b-a \right)\left( c-a \right)+b\left( b-a \right)\left( b-c \right)+c\left( a-c \right)\left( b-c \right)\ge 0$$$ $TEX: $$a\left( a-b \right)\left( a-c \right)+b\left( b-a \right)\left( b-c \right)+c\left( c-a \right)\left( c-b \right)\ge 0$$$ que es Schur para $TEX: $p=1$$ ver el link de aca http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=1972

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