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Relaciones de Cardano-Vieta

Caetano Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 29 2005, 01:07 AM Publicado: #1
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 293 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 3 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Consideremos la ecuacion polinomial de grado n $TEX: $a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\ldots+a_{n-1}x+a_n=0$$ con $TEX: $a_0\ne0$$ $TEX: y$ $TEX: $a_i\in$$C$(conjunto de los numeros complejos),$ $TEX: para$ $TEX: $i=0,1,2\ldots,n$$ El "Teorema fundamental del algebra" dice que el polinomio $TEX: $f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\ldots+a_{n-1}x+a_n$ (1)$ se factoriza como $TEX: $f(x)=a_0(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\ldots(x-x_n)$ (2)$ donde los complejos $TEX: $x_1,x_2,x_3\ldots\,x_n$$ son las raices de $TEX: $f$$ Desarrollando $TEX: (2)$ y comparando con $TEX: (1)$ obtenemos las relaciones: $TEX: $a_1=-a_0(x_1+x_2+\ldots+x_n)\Rightarrow$$x_1+x_2+\ldots+x_n=\displaystyle-\frac{a_1}{a_0}$$ $TEX: $a_2=a_0(x_1x_2+x_1x_3\ldots$$+x_{n-1}x_n)\Rightarrow$$x_1x_2+x_1x_3\ldots$$+x_{n-1}x_n=\displaystyle\frac{a_2}{a_0}$$ ......... $TEX: $a_n=(-1)^na_0(x_1x_2\ldots$$x_n)\Rightarrow$$x_1x_2x\ldots$$x_n=(-1)^n\displaystyle\frac{a_n}{a_0}$$ Por lo tanto $TEX: $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{i_1}x_{i_2}\ldots$$x_{i_k}=(-1)^k\displaystyle\frac{a_k}{a_0}$$ con $TEX: $1\le$$i_1<i_2<\ldots$$<i_k\le$$n$$ --------------------

Caetano Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 29 2005, 03:22 PM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 293 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 3 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Siguiendo con las Relaciones de Cardano, ahora veremos unos resultados muy importantes y que se usan bastante $TEX: a) Sea $f(x)=ax^2+bx+c$$ , con $TEX: $a\ne0$$ Que se factoriza como $TEX: $f(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)$$ , en donde $TEX: $\alpha,\beta\in$$C$$ son las raices de $TEX: $f$$ Por lo tanto, tenemos las siguientes relaciones: $TEX: $b=-a(\alpha+\beta)\Rightarrow$$\boxed{\alpha+\beta=-\displaystyle\frac{b}{a}}$$ $TEX: $c=a(\alpha\beta)\Rightarrow$$\boxed{\alpha\beta=\displaystyle\frac{c}{a}}$$ $TEX: b) Sea $f(x)=px^3+qx^2+rx+s$$ , con $TEX: $p\ne0$$ Que se factoriza como $TEX: $f(x)=p(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$$ , donde $TEX: $\alpha,\beta,\gamma\in$$C$$ son las raices de $TEX: $f$$ Por lo tanto, tenemos las siguientes relaciones: $TEX: $s=-p(\alpha\beta\gamma)\Rightarrow$$\boxed{\alpha\beta\gamma=-\displaystyle\frac{s}{p}}$$ $TEX: $r=p(\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma)\Rightarrow$$\boxed{\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma=\displaystyle\frac{r}{p}}$$ $TEX: $q=-p(\alpha+\beta+\gamma)\Rightarrow$$\boxed{\alpha+\beta+\gamma=-\displaystyle\frac{q}{p}}$$ En el problema 6 de el siguiente tema Dando los primeros pasos.... , pueden ver una aplicacion de Las relaciones de Cardano para una ecuacion de grado 3, y aqui vemos otra aplicacion en donde tambien utilizamos las relaciones de cardano y desigualdad entre medias Polinomio muy especial --------------------

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