Capitulo I - Foro fmat.cl

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Capitulo I, Dando los primeros pasos....

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aleabrahamramire... aleabrahamramirez Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 26 2013, 08:13 PM Publicado: #21
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 206 Registrado: 25-January 11 Miembro Nº: 83.389	CITA(Arquimediano @ Feb 25 2013, 09:14 PM) Ya que nadie dió solución ¯\_(ツ)_/¯: Podemos ver de inmediato que el valor $TEX: $a=0$$ satisface lo pedido (con igualdad si y sólo si $TEX: $x=y=0$$ ), por lo que examinaremos el caso $TEX: $a\neq 0$$ . Se tiene que $TEX: \begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />x^{2}+axy+y^{2}&=\dfrac{2x^{2}+2axy+2y^{2}}{2}\hfill\\<br />&=\dfrac{2ax^{2}+2(ax)(ay)+2ay^{2}}{2a}.<br />\end{aligned}<br />\end{equation}$ No obstante, $TEX: \begin{equation}<br />\begin{aligned}(ax+ay)^{2}&=a^{2}x^{2}+2(ax)(ay)+a^{2}y^{2}\hfill\\<br />\implies 2(ax)(ay)&=a^{2}(x+y)^{2}-a^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}.\end{aligned}<br />\end{equation}$ Similarmente, $TEX: \begin{equation}<br />\begin{aligned}(ax-ay)^{2}&=a^{2}x^{2}-2(ax)(ay)+a^{2}y^{2}\hfill\\<br />\implies 2(ax)(ay)&=a^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}-a^{2}(x+y)^{2}.\end{aligned}<br />\end{equation}$ Mediante la primera igualdad, llegamos a la siguiente forma de nuestra expresión original: $TEX: \begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />x^{2}+axy+y^{2}&=\dfrac{2ax^{2}+2ay^{2}-a^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}+a^{2}(x+y)^{2}}{2a}\hfill\\<br />&=\dfrac{(2a-a^{2})(x^{2}+y^{2})+a^{2}(x+y)^{2}}{2a}\hfill\\<br />&=\dfrac{(2-a)(x^{2}+y^{2})+a(x+y)^{2}}{2}.<br />\end{aligned}<br />\end{equation}$ O también, mediante la segunda igualdad, $TEX: \begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />x^{2}+axy+y^{2}&=\dfrac{2ax^{2}+2ay^{2}+a^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}-a^{2}(x-y)^{2}}{2a}\hfill\\<br />&=\dfrac{(2a+a^{2})(x^{2}+y^{2})-a^{2}(x-y)^{2}}{2a}\hfill\\<br />&=\dfrac{(2+a)(x^{2}+y^{2})-a(x-y)^{2}}{2}.<br />\end{aligned}<br />\end{equation}$ Ahora distinguimos dos casos: Caso 1: $TEX: $a>0$$ Notamos para este caso que $TEX: $a(x+y)^{2}\ge 0$$ , y que $TEX: $(2-a)(x^{2}+y^{2})\ge 0$$ para $TEX: $a\le 2$$ . Luego, todos los valores $TEX: $a\in(0,2]$$ satisfacen que $TEX: $x^{2}+axy+y^{2}=\dfrac{(2-a)(x^{2}+y^{2})+a(x+y)^{2}}{2}\ge 0,$$ con igualdad si y sólo si $TEX: $x=y=0$$ para $TEX: $a<2$$ , $TEX: $x+y=0$$ para $TEX: $a=2$$ . Si $TEX: $a>2$$ , escogiendo $TEX: $x=-y$$ llegamos a $TEX: $x^{2}+axy+y^{2}=x^{2}-ax^{2}+x^{2}=(2-a)x^{2}.$$ En particular, escogiendo $TEX: $x=1$$ , $TEX: $x^{2}+axy+y^{2}=2-a<0.$$ Luego, $TEX: $a>2$$ no satisface lo pedido para todo $TEX: $x,y\in\mathbb{R}$$ . Caso 2: $TEX: $a<0$$ Notamos para este caso que $TEX: $-a(x-y)^{2}\ge 0$$ , y que $TEX: $(2+a)(x^{2}+y^{2})\ge 0$$ para $TEX: $a\ge -2$$ . Luego, todos los valores $TEX: $a\in[-2,0)$$ satisfacen que $TEX: $x^{2}+axy+y^{2}=\dfrac{(2+a)(x^{2}+y^{2})-a(x-y)^{2}}{2}\ge 0,$$ con igualdad si y sólo si $TEX: $x=y=0$$ para $TEX: $a>-2$$ , $TEX: $x-y=0$$ para $TEX: $a=-2$$ . Si $TEX: $a<-2$$ , escogiendo $TEX: $x=y=1$$ llegamos a $TEX: $x^{2}+axy+y^{2}=2+a<0.$$ Luego, $TEX: $a<-2$$ no satisface lo pedido para todo $TEX: $x,y\in\mathbb{R}$$ . Finalmente, concluimos que $TEX: $a\in[-2,2]$$ son los únicos valores que satisfacen $TEX: $x^{2}+axy+y^{2}\ge 0,\forall x,y\in\mathbb{R}.$$ La igualdad se alcanza si y sólo si $TEX: $x=y=0$$ para $TEX: $a\in(-2,2)$$ , $TEX: $x+y=0$$ para $TEX: $a=2$$ , y $TEX: $x-y=0$$ para $TEX: $a=-2$$ . Existe otra solución viendo la discriminante

aleabrahamramire... aleabrahamramirez Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 1 2013, 04:59 PM Publicado: #23
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 206 Registrado: 25-January 11 Miembro Nº: 83.389	CITA pd: te paseo discriminantes. (igual es algo parecido pero bueno igual los paseo) ok

aleabrahamramire... aleabrahamramirez Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 1 2013, 05:12 PM Publicado: #25
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 206 Registrado: 25-January 11 Miembro Nº: 83.389	CITA(2.718281828 @ Mar 1 2013, 06:05 PM) ok, creo que me tire al chancho con lo de te paseo. mis disculpas. jajaj

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