Capitulo I - Foro fmat.cl

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Capitulo I, Dando los primeros pasos....

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 20 2007, 02:48 PM Publicado: #11
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	Contenido disponible en PDF ¡ CONTENIDO OCULTO BLOQUEADO ! Identifícate o Registrate para desbloquearlo. Cualquier error me lo notifican por MP ^^ Saludos Archivo(s) Adjunto(s) Cap_I.pdf ( 69.39k ) Número de descargas: 379

Farfan Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 20 2007, 03:28 PM Publicado: #12
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 392 Registrado: 23-September 06 Desde: Talca, Chile. Miembro Nº: 2.326 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	quedo bonito el pdf -------------------- si 2+2=3...(La Renga) "Pobre del que tiene miedo de correr riesgos, porque quizás ese no se decepcione nunca, ni tenga desilusiones, ni sufra como los que persiguen un sueño"

pelao_malo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 20 2007, 07:25 PM Publicado: #13
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 878 Registrado: 14-May 07 Desde: Talcahuano Miembro Nº: 5.845 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(Krizalid @ Aug 20 2007, 03:48 PM) Contenido disponible en PDF ¡ CONTENIDO OCULTO BLOQUEADO ! Identifícate o Registrate para desbloquearlo. Cualquier error me lo notifican por MP ^^ Saludos krizalid te suplico que me expliques como haces esos PDF's matematicos es que me gustaria hacer algunos tranfugos pa imprimirlos y leerlos fuera del pc:D bueno de antemano muchas gracias, adios. -------------------- $TEX: $\sqrt{5}=41$$

Zirou Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 20 2007, 08:00 PM Publicado: #14
Máquina que convierte café en teoremas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 1.665 Registrado: 18-August 05 Desde: Concepción Miembro Nº: 247 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(pelao_malo @ Aug 20 2007, 07:25 PM) krizalid te suplico que me expliques como haces esos PDF's matematicos es que me gustaria hacer algunos tranfugos pa imprimirlos y leerlos fuera del pc:D bueno de antemano muchas gracias, adios. no te emociones, es preferible que busques otras formas, te demoraras tu resto para hacerlos. Bueno necesitas tener MikTeX, algun editor como Winnedt o TeXnicCenter, y saber algo de paquetes, puedes visitar el sector manuales y encontrarás algo de material. Saludos -------------------- $TEX: $mathcal{Z}$ $imath$ $Re$ $varnothing$ $mho$$ Manual para subir imágenes y archivos a fmat (con servidor propio) Manual de latex Estilo Propio Lista de libros en fmat "Un Matemático es una máquina que trasforma café en teoremas"(Erdös) --- Consultas, sugerencias, reclamos via mp o a los correos mencionados.

chapitrilfo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 27 2008, 01:18 PM Publicado: #15
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 204 Registrado: 2-April 07 Desde: Anywhere Miembro Nº: 4.887 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Impreso y listo para estudiar n__n --------------------

GmHernan Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 4 2009, 03:27 PM Publicado: #16
Maestro Matemático Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 114 Registrado: 4-March 09 Desde: Ñuñoa Miembro Nº: 44.042 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	O buenisimo, millones de gracias He aprendido caleta gracias a esta pagina Son lo maximo, cuando aprenda a usar latex bien compartire unos problemitas -------------------- Son unos loquillos QUOTE(toto Usorno @ Nov 13 2010, 07:54 PM) Loco, tomate otro año no más erís joven no le hagai caso a esta manga de ñoños culiaos que serían incapaces de perder años porq no tendrían de que vanagloriarse (sus únicos logros son los académicos). Sigue adelante no más, encuentra tu vocación y si son 10 años los que tenís q esperar, esperalos... en Europa los hue.ones salen del colegio y salen a recorrer el mundo como dos años y de ahí se meten a la universidad... nadie te apura socio... SE FELIZ QUOTE(MatematicoPrincipiante @ Jul 17 2012, 05:18 PM) .......... no importa cual sea la identidad de kaissa...estamos en un foro de matemáticas, no en facebook, importa un pico si kaissa es hombre, mujer, buena para culear, etc., .......... QUOTE(salvador.augusto allende @ Jul 24 2012, 10:19 PM) .......... pero estas escuelas qls valen callampa, lo unico bueno que tienen son las mansas perras, en otras palabras solamente irias a la u a remojar el pate.... QUOTE(Maxooon @ Mar 6 2012, 06:57 AM) Santiago lindo, santiago hermoso, me encanta tu aroma a smog por las mañanas y el sonido de los claxon por las tardes, tu gente mal genio y apurada, tu locomocion congestionada, y que todas las noches me hagas cerrar mi casa con candados, llaves, pestillos y alarmas. QUOTE(MatematicoPrincipiante @ Jul 17 2012, 05:18 PM) .......... no importa cual sea la identidad de kaissa...estamos en un foro de matemáticas, no en facebook, importa un pico si kaissa es hombre, mujer, buena para culear, etc., .......... QUOTE(//Whiplash// @ Jun 1 2010, 11:44 PM) Las mujeres también tenemos derechos QUOTE(salvador.augusto allende @ Jul 24 2012, 10:19 PM) .......... pero estas escuelas qls valen callampa, lo unico bueno que tienen son las mansas perras, en otras palabras solamente irias a la u a remojar el pate.... QUOTE(Maxooon @ Mar 6 2012, 06:57 AM) Santiago lindo, santiago hermoso, me encanta tu aroma a smog por las mañanas y el sonido de los claxon por las tardes, tu gente mal genio y apurada, tu locomocion congestionada, y que todas las noches me hagas cerrar mi casa con candados, llaves, pestillos y alarmas. QUOTE(Kaissa @ Jan 3 2013, 06:12 PM) Dios! Señor! qué hemos hecho para merecer leer esto!!!! Hubiera tenido más sentido decir "un thread del año pasado" Voy a enumerar un poco: 1- lógica fail. 2- redacción fail. 3- gramática fail. Me vas a disculpar, estimado coquitao pero le voy a sacar un screenshot a esto y lo voy a nominar al "post fmat del año" (pero aún estoy en la indecisión de que sea 2012 o 2013 :( )

diego__albo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 12 2009, 08:14 PM Publicado: #17
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 272 Registrado: 14-May 08 Desde: Santiago Miembro Nº: 23.146 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	tremeeeendo aportazo!!!! muchas gracias por la subida de este increible material, ahora que estoy comenzando a estudiar desigualdades, me servira de mucho, asi que a estudiar y practicar se ha dicho xD, salu2 y gracias nuevamente --------------------

Link_wnD Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 12 2009, 11:48 PM Publicado: #18
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 300 Registrado: 23-April 09 Desde: asdasdfa Miembro Nº: 49.234 Nacionalidad: Sexo:	Graaaaaacias!! Kenshin y a Krizalid por pasarlo a pdf, estoy bien débil en este tema a si que me servirá bastante para ponerme las pilas. aunque se me viene primero la psu

Arquimediano Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 25 2013, 08:14 PM Publicado: #19
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 47 Registrado: 13-February 13 Miembro Nº: 115.416 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Kenshin @ Dec 29 2005, 12:21 AM) Desafio a responder a futuro: Encontrar para que valores de $TEX: $"a"$$ podemos afirmar que: $TEX: $(\forall$$x,y\in\Re)$$x^2+axy+y^2\ge$$0$$ Con estos problemas ya sabemos que $TEX: $a=1$$ y $TEX: $a=-1$$ cumplen con lo pedido. ¿Existiran mas valores de $TEX: $"a"$$ tal que la desigualdad sea valida? Ya que nadie dió solución ¯\_(ツ)_/¯: Podemos ver de inmediato que el valor $TEX: $a=0$$ satisface lo pedido (con igualdad si y sólo si $TEX: $x=y=0$$ ), por lo que examinaremos el caso $TEX: $a\neq 0$$ . Se tiene que $TEX: \begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />x^{2}+axy+y^{2}&=\dfrac{2x^{2}+2axy+2y^{2}}{2}\hfill\\<br />&=\dfrac{2ax^{2}+2(ax)(ay)+2ay^{2}}{2a}.<br />\end{aligned}<br />\end{equation}$ No obstante, $TEX: \begin{equation}<br />\begin{aligned}(ax+ay)^{2}&=a^{2}x^{2}+2(ax)(ay)+a^{2}y^{2}\hfill\\<br />\implies 2(ax)(ay)&=a^{2}(x+y)^{2}-a^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}.\end{aligned}<br />\end{equation}$ Similarmente, $TEX: \begin{equation}<br />\begin{aligned}(ax-ay)^{2}&=a^{2}x^{2}-2(ax)(ay)+a^{2}y^{2}\hfill\\<br />\implies 2(ax)(ay)&=a^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}-a^{2}(x+y)^{2}.\end{aligned}<br />\end{equation}$ Mediante la primera igualdad, llegamos a la siguiente forma de nuestra expresión original: $TEX: \begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />x^{2}+axy+y^{2}&=\dfrac{2ax^{2}+2ay^{2}-a^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}+a^{2}(x+y)^{2}}{2a}\hfill\\<br />&=\dfrac{(2a-a^{2})(x^{2}+y^{2})+a^{2}(x+y)^{2}}{2a}\hfill\\<br />&=\dfrac{(2-a)(x^{2}+y^{2})+a(x+y)^{2}}{2}.<br />\end{aligned}<br />\end{equation}$ O también, mediante la segunda igualdad, $TEX: \begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />x^{2}+axy+y^{2}&=\dfrac{2ax^{2}+2ay^{2}+a^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}-a^{2}(x-y)^{2}}{2a}\hfill\\<br />&=\dfrac{(2a+a^{2})(x^{2}+y^{2})-a^{2}(x-y)^{2}}{2a}\hfill\\<br />&=\dfrac{(2+a)(x^{2}+y^{2})-a(x-y)^{2}}{2}.<br />\end{aligned}<br />\end{equation}$ Ahora distinguimos dos casos: Caso 1: $TEX: $a>0$$ Notamos para este caso que $TEX: $a(x+y)^{2}\ge 0$$ , y que $TEX: $(2-a)(x^{2}+y^{2})\ge 0$$ para $TEX: $a\le 2$$ . Luego, todos los valores $TEX: $a\in(0,2]$$ satisfacen que $TEX: $x^{2}+axy+y^{2}=\dfrac{(2-a)(x^{2}+y^{2})+a(x+y)^{2}}{2}\ge 0,$$ con igualdad si y sólo si $TEX: $x=y=0$$ para $TEX: $a<2$$ , $TEX: $x+y=0$$ para $TEX: $a=2$$ . Si $TEX: $a>2$$ , escogiendo $TEX: $x=-y$$ llegamos a $TEX: $x^{2}+axy+y^{2}=x^{2}-ax^{2}+x^{2}=(2-a)x^{2}.$$ En particular, escogiendo $TEX: $x=1$$ , $TEX: $x^{2}+axy+y^{2}=2-a<0.$$ Luego, $TEX: $a>2$$ no satisface lo pedido para todo $TEX: $x,y\in\mathbb{R}$$ . Caso 2: $TEX: $a<0$$ Notamos para este caso que $TEX: $-a(x-y)^{2}\ge 0$$ , y que $TEX: $(2+a)(x^{2}+y^{2})\ge 0$$ para $TEX: $a\ge -2$$ . Luego, todos los valores $TEX: $a\in[-2,0)$$ satisfacen que $TEX: $x^{2}+axy+y^{2}=\dfrac{(2+a)(x^{2}+y^{2})-a(x-y)^{2}}{2}\ge 0,$$ con igualdad si y sólo si $TEX: $x=y=0$$ para $TEX: $a>-2$$ , $TEX: $x-y=0$$ para $TEX: $a=-2$$ . Si $TEX: $a<-2$$ , escogiendo $TEX: $x=y=1$$ llegamos a $TEX: $x^{2}+axy+y^{2}=2+a<0.$$ Luego, $TEX: $a<-2$$ no satisface lo pedido para todo $TEX: $x,y\in\mathbb{R}$$ . Finalmente, concluimos que $TEX: $a\in[-2,2]$$ son los únicos valores que satisfacen $TEX: $x^{2}+axy+y^{2}\ge 0,\forall x,y\in\mathbb{R}.$$ La igualdad se alcanza si y sólo si $TEX: $x=y=0$$ para $TEX: $a\in(-2,2)$$ , $TEX: $x+y=0$$ para $TEX: $a=2$$ , y $TEX: $x-y=0$$ para $TEX: $a=-2$$ .

Arquimediano Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 26 2013, 07:24 PM Publicado: #20
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 47 Registrado: 13-February 13 Miembro Nº: 115.416 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Kenshin @ Dec 29 2005, 07:18 AM) Ejemplo 7: Sean $TEX: $a,b\ y\ c$$ los lados de un triangulo y $TEX: $T$$ su area. Probar que: $TEX: $a^2+b^2+c^2\ge$$4\sqrt{3}T$$ Third International Olympiad,1961 En este topic, el usuario hpoincare posteó la siguiente generalización de este problema: $TEX: $a^{2}+b^{2}+c^{2}\ge (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}+4\sqrt{3}T.$$ Esta desigualdad se llama Desigualdad de Hadwiger–Finsler, y hpoincare dió una bonita demostración usando trigonometría y la desigualdad de Jensen. Encontré una demostración bastante más elemental usando una de las desigualdades de los ejemplos de Kenshin, y considerando la fórmula de Herón para el área de un triángulo: $TEX: $T=\dfrac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}.$$ La dejaré oculta por si alguien más quiere intentarlo: Solución: Definimos las cantidades $TEX: $\alpha=a^{2}+b^{2}+c^{2}-(a-b)^{2}-(b-c)^{2}-(c-a)^{2},\beta=4\sqrt{3}T.$$ Nuestro problema será demostrar que $TEX: $\alpha\ge\beta$$ . Por la fórmula de Herón, tendremos que $TEX: \begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />\beta&=4\sqrt{3}\dfrac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}\hfill\\<br />&=\sqrt{3(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}.\end{aligned}<br />\end{equation}$ Por otro lado, $TEX: \begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />\alpha&=a^{2}+b^{2}+c^{2}-(a-b)^{2}-(b-c)^{2}-(c-a)^{2}\hfill\\<br />&=[a^{2}-(b-c)^{2}]+[b^{2}-(c-a)^{2}]+[c^{2}-(a-b)^{2}].<br />\end{aligned}<br />\end{equation}$ Luego, por la fórmula de suma por diferencia, $TEX: $\alpha=(a+b-c)(a+c-b)+(b+a-c)(b+c-a)+(c+a-b)(c+b-a).$$ Ahora, definiendo las cantidades $TEX: $x=b+c-a, y=c+a-b, z=a+b-c,$$ lo anterior quedará $TEX: $\alpha=zy+zx+yx$$ (Estas son las mismas cantidades definidas en este post). Además podemos verificar que $TEX: $a+b+c=x+y+z$$ , por lo que $TEX: \begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />\beta&=\sqrt{3(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}\hfill\\<br />&=\sqrt{3(x+y+z)xyz}.<br />\end{aligned}<br />\end{equation}$ Y entonces, nuestra desigualdad a demostrar quedará como $TEX: $xy+yz+zx\ge\sqrt{3(x+y+z)xyz},$$ o equivalentemente (dado que $TEX: $x,y,x\ge 0$$ ) $TEX: $(xy+yz+zx)^{2}\ge 3(x+y+z)xyz.$$ No obstante, por la fórmula del cuadrado de un trinomio llegamos a que $TEX: $(xy+yz+zx)^{2}=(xy)^{2}+(yz)^{2}+(zx)^{2}+2[(xy)(yz)+(yz)(zx)+(zx)(xy)].$$ Aplicando la primera desigualdad del Ejemplo 3, $TEX: $(xy)^{2}+(yz)^{2}+(zx)^{2}\ge (xy)(yz)+(yz)(zx)+(zx)(xy),$$ Por lo tanto, $TEX: \begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />(xy+yz+zx)^{2}&\ge 3[(xy)(yz)+(yz)(zx)+(zx)(xy)]\hfill\\<br />&=3(xyz)(x+y+z),<br />\end{aligned}<br />\end{equation}$ que es lo que queríamos demostrar.

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