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Capitulo I, Dando los primeros pasos....

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 29 2005, 12:12 AM Publicado: #1
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Las Desigualdades juegan un rol muy importante dentro de las Matematicas. Para descubrir la forma de probarlas hay que ser en muchos casos verdaderamente creativos y de esa forma se empiezan a despertar habilidades nuevas. Tanto es asi que es un tema muy usual de preguntarse en Olimpiadas Mundiales, siendo casi siempre una pregunta fija en este tipo de Competencias. En todo lo que sigue asumiremos que las variables que usaremos son numeros reales, y si ademas cumpliesen alguna propiedad adicional, entonces sera especificado en cada caso La primera desigualdad que aprenderemos es aquella que dice: $TEX: $x^2\ge$$0$$ cumpliendose la igualdad solo en el caso en que $TEX: $x=0$$ En general se cumple que si $TEX: $x_1^2+x_2^2+...+x_n^2\ge 0$$ cumpliendose la igualdad solo si $TEX: $x_1=x_2=...=x_n=0$$ -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 29 2005, 12:20 AM Publicado: #2
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Ejemplo 1: Probar que si $TEX: $x,y\in\Re$$ entonces: $TEX: $x^2+y^2\ge$$2xy$$ cumpliendose la igualdad solamente si $TEX: $x=y$$ Concluir analogamente que si $TEX: $x,y\ge$$0$$ entonces: $TEX: $\displaystyle \frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}$$ cumpliendose la igualdad solamente si $TEX: $x=y$$ Demostracion: Primera Parte Notemos que siempre sera cierto que: $TEX: $(x-y)^2\ge$$0$$ Desarrollando el cuadrado de binomio tendremos: $TEX: $x^2-2xy+y^2\ge$$0$$ Y sumando $TEX: $2xy$$ a ambos lados de la desigualdad tendremos: $TEX: $x^2+y^2\ge$$2xy$$ La igualdad $TEX: $x^2+y^2=2xy$$ se cumple solamente si $TEX: $(x-y)^2=0$$ lo cual significa que $TEX: $x-y=0$$ , o sea $TEX: $x=y$$ Segunda Parte En este caso solamente se trata de un caso particular de lo anterior, solamente basta tomar $TEX: $\sqrt{x}$$ en vez de $TEX: $x$$ , y $TEX: $\sqrt{y}$$ en vez de $TEX: $y$$ y la demostracion seria analoga. Solo vale la pena destacar que $TEX: $\sqrt{x}$$ y $TEX: $\sqrt{y}$$ estan bien definidas en los reales pues $TEX: $x,y\ge$$0$$ Analogamente al caso anterio, la igualdad de alcanza solo si $TEX: $\sqrt{x}=\sqrt{y}$$ o sea $TEX: $x=y$$ -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 29 2005, 12:21 AM Publicado: #3
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Ejemplo 2: Probar que si $TEX: $x,y\in\Re$$ entonces: $TEX: $x^2+xy+y^2\ge$$0$$ cumpliendose la igualdad solamente si $TEX: $x=y$$ Solucion: Notemos que: $TEX: $\displaystyle x^2+xy+y^2=\frac{2x^2+2xy+2y^2}{2}=\frac{x^2+(x^2+2xy+y^2)+y^2}{2}$$ $TEX: $\displaystyle =\frac{x^2+(x+y)^2+y^2}{2}\ge$$0$$ La igualdad se alcanza solo si $TEX: $x=x+y=y=0$$ o sea $TEX: $x=y=0$$ Vale la pena comentar que dado que $TEX: $\displaystyle x^2-xy+y^2=\frac{x^2+(x-y)^2+y^2}{2}$$ entonces $TEX: $x^2-xy+y^2\ge$$0$$ con igualdad, como en el caso anterior, solo si $TEX: $x=y=0$$ Desafio a responder a futuro: Encontrar para que valores de $TEX: $"a"$$ podemos afirmar que: $TEX: $(\forall$$x,y\in\Re)$$x^2+axy+y^2\ge$$0$$ Con estos problemas ya sabemos que $TEX: $a=1$$ y $TEX: $a=-1$$ cumplen con lo pedido. ¿Existiran mas valores de $TEX: $"a"$$ tal que la desigualdad sea valida? -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 29 2005, 12:29 AM Publicado: #4
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Ejemplo 3: Probar que si $TEX: $x,y,z\in\Re$$ entonces: $TEX: $x^2+y^2+z^2\ge$$xy+yz+zx$$ cumpliendose la igualdad solamente si $TEX: $x=y=z$$ Concluir que si $TEX: $x,y,z\ge$$0$$ y $TEX: $x+y+z\not=0$$ entonces: $TEX: $\displaystyle \frac{x^4+y^4+z^4}{x+y+z}\ge$$xyz$$ Solucion: Primera parte Usando la primera desigualdad del Ejemplo 1 tendremos que: $TEX: $x^2+y^2\ge$$2xy$$ Analogamente: $TEX: $y^2+z^2\ge$$2yz$$ y $TEX: $z^2+x^2\ge$$2zx$$ Sumando las tres desigualdades obtendremos que: $TEX: $2x^2+2y^2+2z^2\ge$$2xy+2yz+2zx$$ y dividiendo a ambos lados de la desigualdad por $TEX: $2$$ (un real positivo,luego el sentido de la desigualdad no se ve alterado) $TEX: $x^2+y^2+z^2\ge$$xy+yz+zx$$ Observamos que para que se logre la igualdad en nuestra desigualdad final,las tres desigualdades iniciales(las que sumamos) tuvieron que ser igualdades, lo cual quiere decir que $TEX: $x=y,y=z$$ y $TEX: $z=x$$ respectivamente. Esto es $TEX: $x=y=z$$ Segunda Parte Ahora para demostrar esta desigualdad, utilizaremos la desigualdad ya demostrada en la parte anterior, y en mas de una ocasion. Notemos que: $TEX: $x^4+y^4+z^4=(x^2)^2+(y^2)^2+(z^2)^2\ge$$(x^2)(y^2)+(y^2)(z^2)+(z^2)(x^2)$$ $TEX: $=(xy)^2+(yz)^2+(zx)^2\ge$$(xy)(yz)+(yz)(zx)+(zx)(xy)=xyz(y+z+x)$$ Hemos concluido que: $TEX: \ $x^4+y^4+z^4\ge$$xyz(x+y+z)$$ y dividiendo a ambos lados de la desigualdad por $TEX: $x+y+z>0$$ (pues $TEX: $x,y,z\ge$$0$$ y $TEX: $x+y+z\not=0$$ ) esta no cambiara su sentido. De esta forma concluimos que: $TEX: $\displaystyle \frac{x^4+y^4+z^4}{x+y+z}\ge$$xyz$$ -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 29 2005, 12:34 AM Publicado: #5
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Ejemplo 4: Probar que si $TEX: $x,y\ge$$0$$ entonces: $TEX: $\displaystyle \sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}\ge\frac{x+y}{2}$$ Ademas probar que si $TEX: $x,y>0$$ entonces: $TEX: $\displaystyle \sqrt{xy}\ge\frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}$$ Solucion: Primera Parte Por la desigualdad demostrada en el Ejemplo 1, tenemos que: $TEX: $x^2+y^2\ge$$2xy$$ Si sumamos $TEX: $x^2+y^2$$ a ambos lados de la desigualdad obtendremos: $TEX: $2(x^2+y^2)\ge$$x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$$ Dividiendo por $TEX: $4$$ a ambos lados de la desigualdad(4 es positivo y al dividir por el no alteramos el sentido de la desigualdad) $TEX: $\displaystyle \frac{x^2+y^2}{2}\ge\frac{(x+y)^2}{4}$$ Dado que tanto el lado izquierdo como el derecho de la desigualdad anterior son "no negativos", entonces al aplicar $TEX: $\sqrt{\ \ }$$ a ambos lados, la desigualdad conserva su sentido. Luego tendremos que: $TEX: $\displaystyle \sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}\ge\sqrt{\frac{(x+y)^2}{4}}=\frac{\|x+y\|}{2}=\frac{x+y}{2}$$ Notemos que $TEX: $\|x+y\|=x+y$$ pues $TEX: $x,y\ge$$0$$ Finalmente nos damos cuenta que la igualdad se alcanza solamente si en cada paso efectuado la desigualdad se transforma en igualdad. Esto significa que $TEX: $x^2+y^2=2xy$$ (nuestro primer paso) lo cual ya sabemos que solo se cumple solamente si $TEX: $x=y$$ Segunda Parte Para esta parte aplicaremos la segunda desigualdad (demostrada en el Ejemplo 1) para los reales positivos $TEX: $\frac{1}{x}$$ y $TEX: $\frac{1}{y}$$ (estos estan bien definidos y son positivos pues $TEX: $x,y>0$$ ) Asi obtenemos: $TEX: $\displaystyle \frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}{2}\ge\sqrt{\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{y}}=\frac{1}{\sqrt{xy}}$$ Multiplicando a ambos lados por $TEX: $2\sqrt{xy}>0$$ obtendremos: $TEX: $\displaystyle \sqrt{xy}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\ge$$2$$ y dividiendo a ambos lados por $TEX: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}>0$$ concluimos que: $TEX: $\displaystyle \sqrt{xy}\ge\frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}$$ Notamos que como en los casos anteriores la igualdad se logra solo si en todos los pasos efectuados se tiene la igualdad.Para ello es necesario y suficiente que la desigualdad inicial se logre con igualdad, lo cual solo se consigue solo si $TEX: $\frac{1}{x}=\frac{1}{y}$$ (probado en el Ejemplo 1), o sea $TEX: $x=y$$ -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 29 2005, 12:39 AM Publicado: #6
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Ejemplo 5: Probar que si $TEX: $a,b,c\ge$$0$$ tal que $TEX: $a+b\not=0,b+c\not=0,c+a\not=0$$ entonces: $TEX: $\displaystyle \frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a}\ge a+b+c$$ cumpliendose la igualdad solamente si $TEX: $a=b=c$$ Solucion: Notemos que de la demostracion de la primera desigualdad del Ejemplo 4 teniamos en un paso intermedio que: $TEX: $2(x^2+y^2)\ge$$(x+y)^2$$ Esto aplicado a " $TEX: $a$,$b$$ " nos daria: $TEX: $\displaystyle 2(a^2+b^2)\ge$$(a+b)^2$$ y dividiendo a ambos lados por $TEX: $2(a+b)>0$$ (pues $TEX: $a,b\ge$$0$$ y $TEX: $a+b\not=0$$ ) obtendriamos: $TEX: $\displaystyle \frac{a^2+b^2}{a+b}\ge\frac{a+b}{2}$$ Esta desigualdad se cumple con igualdad solo si la primera desigualdad se cumple con igualdad y eso por el desarrollo del Ejemplo 4 se logra solo si $TEX: $a=b$$ De manera analoga podemos concluir que: $TEX: $\displaystyle \frac{b^2+c^2}{b+c}\ge\frac{b+c}{2}$$ $TEX: $\displaystyle \frac{c^2+a^2}{c+a}\ge\frac{c+a}{2}$$ Sumando las tres desigualdades anteriores obtendremos: $TEX: $\displaystyle \frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a}\ge\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}= a+b+c$$ La igualdad se logra solamente si las tres desigualdades que sumamos se cumplen con igualdad, y eso quiere decir que $TEX: $a=b,b=c$$ y $TEX: $c=a$$ respectivamente. -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 29 2005, 12:51 AM Publicado: #7
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Ejemplo 6: Si se sabe que la ecuacion $TEX: $x^3+mx^2+x+n=0$$ tiene raices positivas cuyos cuadrados suman 1. ¿Cuanto valen $TEX: $m,n$$ y las raices de la ecuacion? Solucion: Si llamamos $TEX: $\alpha,\beta$\ y\ $\gamma$$ a las tres raices de la ecuacion(pues es un polinomio de tercer grado) entonces tendremos que por enunciado y por las Relaciones de Cardano Vieta se cumple que: $TEX: $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=1$$ (Enunciado) $TEX: $-(\alpha+\beta+\gamma)=m$$ (Cardano-Vieta) $TEX: $\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=1$$ (Cardano-Vieta) $TEX: $-\alpha\beta\gamma=n$$ (Cardano-Vieta) Luego se cumple que $TEX: $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha$$ y segun el Ejemplo 3 esta igualdad se logra solo si $TEX: $\alpha=\beta=\gamma$$ Reemplazando en la condicion del enunciado tendremos que: $TEX: $3\alpha^2=1\Longrightarrow\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}$$ pues $TEX: $\alpha>0$$ por enunciado. Luego $TEX: $\alpha=\beta=\gamma=\frac{\sqrt{3}}{3}$$ De las relaciones de Cardano-Vieta descritas mas arriba podemos concluir que: $TEX: $m=-3\alpha=-\sqrt{3}$$ y $TEX: $n=-\alpha^3=-\frac{\sqrt{3}}{9}$$ -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 29 2005, 07:18 AM Publicado: #8
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Ejemplo 7: Sean $TEX: $a,b\ y\ c$$ los lados de un triangulo y $TEX: $T$$ su area. Probar que: $TEX: $a^2+b^2+c^2\ge$$4\sqrt{3}T$$ Third International Olympiad,1961 Solucion: Notemos primero que si el triangulo fuera equilatero,entonces su altura seria $TEX: $\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}$$ y por ende su area sera $TEX: $\displaystyle T=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$ y la igualdad sera alcanzada. En caso contrario consideremos $TEX: $BC=a$$ el mayor lado del triangulo. Por ende la altura cae en en interior del segmento $TEX: $BC$$ en un punto que llamaremos $TEX: $D$$ . screen.width0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaÃ±o original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img387.imageshack.us/img387/9484/imo19616sa.png');}" /> Definamos $TEX: $x=\frac{a}{2}-BD$$ , por ende $TEX: $BD=\frac{a}{2}-x$$ y $TEX: $CD=\frac{a}{2}+x$$ Definamos $TEX: $y=AD-\frac{a\sqrt{3}}{2}$$ por lo cual $TEX: $AD=\frac{a\sqrt{3}}{2}+y$$ . Antes de seguir hago la observacion de que en ningun momento he dicho que x,y sean positivos. La unica afirmacion es que $TEX: $x,y\in\Re$$ Aplicando el teorema de pitagoras sobre los triangulos $TEX: $\bigtriangleup$$ABD$$ y $TEX: $\bigtriangleup$$ADC$$ se tiene que: $TEX: $\displaystyle a^2+b^2+c^2=a^2+\left(\frac{a}{2}-x\right)^2+\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}+y\right)^2+\left(\frac{a}{2}+x\right)^2+\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}+y\right)^2$$ $TEX: $\displaystyle =\frac{3a^2}{2}+2x^2+2\left(\frac{3a^2}{4}+ay\sqrt{3}+y^2\right)=3a^2+2ay\sqrt{3}+2(x^2+y^2)$$ $TEX: $\displaystyle =4\sqrt{3}\left[\frac{a(\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}+y)}{2}\right]+2(x^2+y^2)\ge$$4\sqrt{3}\left[\displaystyle \frac{a \cdot AD}{2}\right]=4\sqrt{3}T$$ Notemos que la idea es definir las variables $TEX: $x,y$$ como las "variaciones" de ciertas medidas con respecto al triangulo equilatero. Finalmente observemos que la igualdad solo se logra cuando el triangulo es equilatero. Para una solucion alternativa consultar el siguiente Link -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

MasterIN® Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 27 2006, 09:09 PM Publicado: #9
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 116 Registrado: 14-May 05 Desde: Buin, Santiago Miembro Nº: 26 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	uufffffff..cuanto tiempo sin postear..bueno, mi duda es en esta parte.... : $TEX: $y=AD-\frac{a\sqrt{3}}{2}$$ osea...por qué aparece mágicamente ese $TEX: $\frac{a\sqrt{3}}{2}$$ , claro, la altura de un triangulo equilatero..pero..por que ps..si es para todo triangulo..he ahí la duda por el momento..... by mAsTeR® -------------------- "Lo que no entiendes hoy lo comprenderás mañana"

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 28 2006, 12:05 AM Publicado: #10
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Observemos la figura siguiente con $TEX: $BEC$$ triangulo equilatero: Lo que buscamos medir con las variables $TEX: $x,y$$ son la variacion de nuestro triangulo con respecto al triangulo equilatero BCE donde $TEX: $\displaystyle BM=MC=\frac{a}{2}$$ y donde $TEX: $\displaystyle EM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$ . Lo que hicimos fue: $TEX: $x=BM-BD$$ $TEX: $y=AD-EM$$ Ojo que si definia $TEX: $y=EM-AD$$ , para hacer ambas restas en el mismo sentido..daba lo mismo pues al final el factor que aparece es el $TEX: $y^2$$ . En fin...ahora me doy cuenta que debi hacerlo asi para que fuera mas natural (para que fuera $TEX: $(triangulo\ equilatero) - (triangulo\ normal)$$ ) Finalmente la idea es que la igualdad en la inecuacion se alcance cuando $TEX: $x=y=0$$ , o sea cuando la desviacion respecto al triangulo equilatero sea 0. Saludos PD:Solos los problemas faciles se le ajusta bien este metodo..en general no funciona bien o se puede hacer siempre de otra manera mucho mas facil...creo que posteare una solucion mas simple que la dada por Guia Rojo del mismo problema..asi puedan ver a que me refiero... -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

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