Aplicacion Capitulo V - Foro fmat.cl

Aplicacion Capitulo V, Desigualdad de Young

Cesarator	Dec 28 2005, 11:18 AM Publicado: #1
Invitado	$TEX: Una conocida desigualdad es<br />$$<br />ab \le \frac{1}{2}(a^2 + b^2).<br />$$<br />Esta desigualdad, consecuencia trivial del cuadrado de binomio, permite acotar el producto de dos cantidades por sus potencias cuadradas. Una posible generalizaci\'on surge al preguntarse si es posible, en general, acotar el producto $ab$ en t\'erminos de cualquier otras potencias.<br /><br />Efectivamente, esto es posible. La desigualdad que permite realizar esta estimaci\'on es conocida como {\bf desigualdad de Young}. Sean $a,b\ge 0$ y $p>1 $. Sea $q$ el {\bf exponente conjugado} de $p$, es decir, $q>1$ y<br />$$<br />\frac{1}{p} + \frac{1}{q} =1.<br />$$ <br />Luego,<br />$$<br />ab \le \frac{1}{p}a^p + \frac{1}{q}b^q<br />$$<br /><br />{\bf Ejercicio}. Demostrar la desigualdad de Young<br />$

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 28 2005, 11:27 AM Publicado: #2
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Excelente aporte...yo la pense en postear pero estaba cansado...la necesitaba para la desigualdad de House-Holder(Generalizacion de Cauchy Swartz). La Demostracion la puedes encontrar como una aplicacion de la Desigualdad de Jensen(no es la unica forma de probar esta Desigualdad) El link es el siguiente Desigualdad de Jensen Saludos -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 2 2007, 08:42 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: {\bf Demostraci\'on:}$ $TEX: Aplicando la {\bf Desigualdad entre las Medias Pesadas}:$ $TEX: $\dfrac{1}{p}(a^p)+\dfrac{1}{q}(b^q)\ge (a^p)^{\frac{1}{p}}(b^q)^{\frac{1}{q}}$$ $TEX: $\boxed{\dfrac{1}{p}a^p+\dfrac{1}{q}b^q\ge ab}$$ $TEX: Ocurriendo la igualdad cuando $a^p=b^q$$

Acid.SOul Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 24 2009, 10:52 PM Publicado: #4
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 119 Registrado: 1-June 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 6.347 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Otra Demostración a la Desigualdad de Young $TEX: Sea $b$ fijo y $F(a)=ab-\dfrac{a^p}{p}$. Derivando $F(a)$ encontramos que$ $TEX: $\max\{F(a)\} = b^{\frac{1}{p-1}} = b^{\frac{q}{p}}$ .<br /> \begin{minipage}[t][5in][t]{2in} <br /> \footnotesize{Esta última igualdad dado que $q$ es el conjugado de $p$.}<br /> \end{minipage}$ $TEX: Luego, como $F(a)\leq max\{F(a)\}$, asi$ $TEX: \begin{eqnarray}<br />ab-\dfrac{a^p}{p} & \leq & (b^{\frac{q}{p}}) \cdot b - \dfrac{(b^{\frac{q}{p}})^p}{p} \\<br />& = & b^{\frac{p+q}{p}}-\dfrac{b^q}{p} \\<br />& = & b^q - \dfrac{b^q}{p} \\<br />& = & b^q \cdot \left(\dfrac{p-1}{p} \right) \\<br />& = & b^q \cdot \dfrac{1}{q}<br />\end{eqnarray}$ $TEX: Finalmente $ab-\dfrac{a^p}{p} \leq \dfrac{b^q}{q}$. Por tanto$ $TEX: \framebox{$ab \leq \dfrac{a^p}{p} + \dfrac{b^q}{q}$}$ Mensaje modificado por Acid.SOul el Mar 24 2009, 11:27 PM

C.F.Gauss Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 24 2009, 11:38 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 1.912 Registrado: 10-January 08 Desde: Un Sobolev Miembro Nº: 14.530 Nacionalidad: Sexo:	Otra más: $TEX: <br />Se usará el hecho de que la función $f(x)=e^x=\exp(x)$ es convexa, es decir $\forall x,y\in\mathbf{R},\exp(kx+(1-k)y)\leq ke^x+(1-k)e^y$ con $k$ entre 0 y 1.\\<br />Hagamos $x=p\ln a,\,y=q\ln b,\,k=\dfrac{1}{p}$, luego $1-k=\dfrac{1}{q}$. Tenemos:<br />\begin{align}<br />\exp\left(\frac{1}{p}p\ln a+\frac{1}{q}q\ln b\right)&=\exp(\ln a + \ln b)\\<br />&=\exp(\ln(ab))\\<br />&=ab<br />\end{align}<br />y, por otra parte<br />\begin{align}<br />\frac{1}{p}\exp(p\ln a)+\frac{1}{q}\exp(q\ln b)&=\frac{1}{p}\exp(\ln a^p)+\frac{1}{q}\exp(\ln b^q)\\<br />&=\frac{1}{p}a^p+\frac{1}{q}b^q<br />\end{align}<br />de donde se concluye la desigualdad a partir de la caracterización de convexidad.<br />$ -------------------- Dos crudas realidades CITA(Pasten @ Jun 5 2014, 09:21 AM) ¿Dónde están las nuevas generaciones? wasapeando y actualizando su perfil de face. CITA(Zefidu @ Sep 3 2013, 09:55 PM) (...)FMAT es una gran comunidad con grandes usuarios... A excepción de algunos que se les sube el humo a la cabeza...

C.F.Gauss Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 14 2010, 10:41 AM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 1.912 Registrado: 10-January 08 Desde: Un Sobolev Miembro Nº: 14.530 Nacionalidad: Sexo:	Otra forma muy parecida a la de Acid Soul: considerar la función $TEX: $$f(x,y)=\frac{1}{p}x^p+\frac{1}{q}y^q$$$ con las hipótesis $TEX: $p,q>1$$ , $TEX: $q$$ exponente conjugado de $TEX: $p$$ . Preliminarmente, la idea es mostrar que el mínimo de la función $TEX: $f$$ sujeta a la restricción $TEX: $xy=1$$ es 1. Generalizando la restricción para el caso $TEX: $xy=ab$$ con $TEX: $a,b$$ números reales no negativos se concluye la desigualdad. -------------------- Dos crudas realidades CITA(Pasten @ Jun 5 2014, 09:21 AM) ¿Dónde están las nuevas generaciones? wasapeando y actualizando su perfil de face. CITA(Zefidu @ Sep 3 2013, 09:55 PM) (...)FMAT es una gran comunidad con grandes usuarios... A excepción de algunos que se les sube el humo a la cabeza...

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