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> Problemas Nivel Septimo y Octavo Basico...veanlos
nico
mensaje May 13 2005, 03:41 AM
Publicado: #1





Invitado






Hola, mi nombre es Nicolás Inostroza sali el año pasado de cuarto y soy aficionado a las matemáticas jejeje...este set de preguntas están especialmente dedicadas al grupo de matemáticas de 7º y 8º de los SSCC, pero me gustaria invitar a los q les interesa esto de las olimpiadas que se den el trabajo de leerlos al menos, pues son problemas bastante interesantes...

Esta prueba la tomé en el grupo de olimpíadas hace algun tiempo, me gustaría q trataran de rehacerla, o hacerla en su defecto, todos aquellos que participan del taller...

P1)(Clasificación a la Olimpiada Nacional año 2001):
En una ruleta circular se colocan los números del 1 al 36 al azar. Demuestre que necesariamente debe haber tres números consecutivos cuya suma sea al menos 55.

Hint: trate de ver que es imposible que no haya tres números consecutivos cuya suma sea al menos 55, es decir, trate de probar que lo contrario nunca ocurre(demostración por contradicción).

P2)(Clasificación a la Olimpíada Nacional año 2001):
Juan nació antes del año 2000. El 25 de agosto del año 2001 cumple tantos años como es la suma de los dígitos del año de su nacimiento. Determine su fecha de nacimiento y justifique que es la única posible.

P3)(Clasificación a la Olimpíada Nacional año 2001):
Demuestre que no existen números naturales TEX: $a,b$ y TEX: $c$ tales que satisfagan lo siguiente:
TEX: $a^2+b^2=8\cdot c+6$

Hint: Vea q pasa con la paridad de los números.

**
otros problemas interesantes:
P1*)Pruebe que en un grupo de 10 personas, siempre hay al menos dos que tienen el mismo número de amigos dentro del grupo. Vea que esto se cumple para cualquier grupo de personas mayor o igual 2 .

P2*)Considere la ordenación de los primeros TEX: $n$ números enteros positivos:

TEX: $1\ (\ )\ 2\ (\ )\ 3\ (\ )\ ...\ (\ )\ n$

¿Es posible colocar signos + o signos - dentro de cada ( ), de modo que al efectuar la operación resultante se obtenga 0 como resultado final?

P3*)En un tablero cuadrado de lado par, se colocan fichas rectangulares de tamaño TEX: $2\times 1$ (fichas de dominó). Demuestre que si llenamos el tablero colocando fichas de modo que no me queden una sobre la otra, entonces el número de fichas dispuestas horizontalmente es par.

P4*) ¿cuanto vale la suma TEX: $1+2+3+4+...+999+1000$?


La solución a cada uno de los problemas será posteada en breve...notar que lo importante no son resultados sino explicar porque suceden las cosas...mucha suerte!!!!
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Rurouni Kenshin
mensaje May 13 2005, 03:48 AM
Publicado: #2


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Excelentisimo aporte!!!!...asi que ya saben...a postear muchachos...a ver quien sabe resolver estos problemas...saludos
David ^.^
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felipe_contreras...
mensaje May 14 2005, 02:33 PM
Publicado: #3


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CITA(nico @ May 13 2005, 04:41 AM)
P1*)Pruebe que en un grupo de 10 personas, siempre hay al menos dos que tienen el mismo número de amigos dentro del grupo. Vea que esto se cumple para cualquier grupo de personas mayor o igual 2

Si se agrupan a las personas por la cantidad de amigos, pueden quedar en los siguientes grupos:

0 amigos
1 Amigo
2 Amigos
3 Amigos
.
.
.
Hasta el grupo de 9 amigos, porque nadie puede ser amigo de sí mismo
Como la amistad es recíproca, es decir, si A es amigo de B, B es amigo de A, no puede haber nadie en el grupo de 9 Amigos y alguien en el de 0 a la vez.
Esto nos deja con un grupo menos, hay 10 personas y 9 grupos para agruparlas, entonces tiene que haber al menos un grupo con al menos dos personas.


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"El único primo congruente a uno en módulo cuatro es cinco" A. Gajardo
""I'm going to try to see if I can remember as much to make it sound like I'm smart on the subject."—G. W. Bush, answering a question concerning a possible flu pandemic, Cleveland, July 10, 2007
"I aim to be a competitive nation."—G. W. Bush, San Jose, Calif., April 21, 2006
"Those who enter the country illegally violate the law."— G. W. Bush, Tucson, Ariz., Nov. 28, 2005
"Our enemies are innovative and resourceful, and so are we. They never stop thinking about new ways to harm our country and our people, and neither do we." — G. W. BushWashington, D.C., Aug. 5, 2004
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felipe_contreras...
mensaje May 14 2005, 02:46 PM
Publicado: #4


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CITA(nico @ May 13 2005, 04:41 AM)
P4*) ¿cuanto vale la suma TEX: $1+2+3+4+...+999+1000$?

Una forma de sumar más fácil es asociando de la siguiente forma:

TEX: $(1+999)+(2+998)+(3+997)+.....+(498+502)+(499+501)+1000+500$
TEX: $=\underbrace{(1000+1000+1000+.........+1000+1000)}_{500\textrm{ veces}}+500$

TEX: $=500\cdot 1000+500=1001\cdot 500=500500$


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S. E. Puelma Moy...
mensaje May 14 2005, 02:57 PM
Publicado: #5


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Las dos respuestas están bien, en cuanto a la primera, sólo queda ver si esto se cumple para cualquier grupo de personas mayor o igual que 2... por supuesto que la idea es la misma.

Les regalo otro problema para este nivel, dado que estamos sacando problemas de olimpiadas nacionales nivel menor, colaboraré con uno... tienen que saber resolver el problema P4*, espero que sea apreciado este aporte

Aquí va el problema (literalmente de la prueba)

Se dispone de 1999 bolitas numeradas del 1 al 1999. Encontrar todos los enteros positivos TEX: $k$ con la siguiente propiedad: el total de bolitas se puede separar en TEX: $k$ grupos, de modo que la suma de los números de las bolitas en cada uno de los grupos sea la misma.


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Sebastián Elías Puelma Moya

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Anonymous
mensaje May 14 2005, 04:53 PM
Publicado: #6





Invitado






CITA(nico @ May 13 2005, 04:41 AM)
P3) Demuestre que no existen números naturales TEX: $a,b$ y TEX: $c$ tales que satisfagan lo siguiente:
TEX: $a^2+b^2=8\cdot c+6$

SOL:
Sea TEX: $a$ y TEX: $b$ enteros positivos pares, TEX: $a^2+b^2$ es divisible por 4 ya que TEX: $(2n)\cdot (2n)+(2x)\cdot (2x)$ es de la forma TEX: $4y+4h$, la suma de dos numeros divisibles por 4 es divisible por 4. Por tanto la ecuacion queda de la siguiente manera:
TEX: $a^2+b^2=8c+6$ , sabemos que TEX: $a^2+b^2$ es divisible por 4, TEX: $8c$ tambien, pero 6 no, por tanto TEX: $a$ y TEX: $b$ no pueden ser enteros positivos pares.

Sea TEX: $a$ y TEX: $b$ enteros positivos impares, TEX: $a^2+b^2$ es de la forma TEX: $8k+2$ ya que si TEX: $a$ fuera impar, entonces TEX: $a$ seria de la forma TEX: $2n+1$. Ahora notemos que TEX: $(2n+1)^2$ es TEX: $4n(n+1)+1$, y TEX: $n^2+n$ siempre es par (ya que si TEX: $n$ es par , TEX: $par+par=par$; y si fuera impar , TEX: $impar+impar=par$), a lo que llamaremos TEX: $k$ (constante par).
Por lo tanto TEX: $4n(n+1)+1= 4(2r)+1=8r+1$
Analogamente TEX: $b^2= 8s+1$
Asi TEX: $a^2+b^2=8r+1+8s+1=8(r+s)+2$
Llamando TEX: $k=r+s$ obtendremos:
TEX: $a^2+b^2=8k+2=8c+6\qquad/-2$
TEX: $8k=8c+4$
TEX: $8k$ es divisible por 8, TEX: $8c$ es divisible por 8, pero 4 no es divisible por 8, por tanto la ecuacion no tienen soluciones enteras positivas.

Sea TEX: $a$ par y TEX: $b$ impar, TEX: $a^2=2n\cdot 2n=4n^2$ , que es un numero par, a su vez TEX: $b^2=(2n+1)^2=4n(n+1)+1$ que seria un numero impar, por otro lado TEX: $8c+6$ es un numero par; por tanto la ecuacion queda de la siguiente manera:
TEX: $par+impar=par$ [CONTRADICCION: TEX: $par+impar=impar$, y no par]

Saludos ^^
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Rurouni Kenshin
mensaje May 16 2005, 03:40 AM
Publicado: #7


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Felicidades...pero aun estoy esperando si son capaces de responder a los problemas siguientes:
P1)(Clasificación a la Olimpiada Nacional año 2001):
En una ruleta circular se colocan los números del 1 al 36 al azar. Demuestre que necesariamente debe haber tres números consecutivos cuya suma sea al menos 55.
Hint: trate de ver que es imposible que no haya tres números consecutivos cuya suma sea al menos 55, es decir, trate de probar que lo contrario nunca ocurre(demostración por contradicción).
P2)(Clasificación a la Olimpíada Nacional año 2001):
Juan nació antes del año 2000. El 25 de agosto del año 2001 cumple tantos años como es la suma de los dígitos del año de su nacimiento. Determine su fecha de nacimiento y justifique que es la única posible.
P2*)Considere la ordenación de los primeros TEX: $n$ números enteros positivos:

TEX: $1\ (\ )\ 2\ (\ )\ 3\ (\ )\ ...\ (\ )\ n$

¿Es posible colocar signos + o signos - dentro de cada ( ), de modo que al efectuar la operación resultante se obtenga 0 como resultado final?
P3*)En un tablero cuadrado de lado par, se colocan fichas rectangulares de tamaño TEX: $2\times 1$ (fichas de dominó). Demuestre que si llenamos el tablero colocando fichas de modo que no me queden una sobre la otra, entonces el número de fichas dispuestas horizontalmente es par.
En resumen les falta contestar los dificiles..asi que como dije..espero sus creativas soluciones ^.^


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Corecrasher
mensaje May 16 2005, 08:49 PM
Publicado: #8





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CITA(Kenshin @ May 16 2005, 04:40 AM)
P2)(Clasificación a la Olimpíada Nacional año 2001):
Juan nació antes del año 2000. El 25 de agosto del año 2001 cumple tantos años como es la suma de los dígitos del año de su nacimiento. Determine su fecha de nacimiento y justifique que es la única posible.

Espero que este bien :S

Por enunciado sabemos que el año de nacimiento debe ser 19_ _ (mil novecientos y algo), denotaremos TEX: $a$ y TEX: $b$ que son digitos que componen el numero de la siguiente manera : TEX: $19ab$.
Sabemos que la edad que tenia el 2001 es el 2001 menos su AÑO de nacimiento:

TEX: $2001-(1900+10a+b)=101-10a-b$

Tenemos que TEX: $101-10a-b=1+9+a+b\Rightarrow 11a+2b=91$, pero TEX: $b\leq 9\Rightarrow 2b\leq 18$ y por lo tanto TEX: $11a\geq 73\Rightarrow a\geq 7$. Tambien, TEX: $11a\leq 91\Rightarrow a\leq 8$ pero al ser TEX: $a$ y TEX: $b$ valores enteros tenemos que TEX: $a$ puede ser 7, 8 (ya que son digitos), con TEX: $a=8$ no sobra un numero par que puede ser representado por TEX: $2b$ (TEX: $11\cdot 8=88\Rightarrow b=1,5$), entonces no es solucion y por lo tanto la unica solucion es TEX: $a=7,b=7$, teniendo finalmente que nacio el 25 de agosto de 1977

Saludos ^^
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Caetano
mensaje May 16 2005, 09:29 PM
Publicado: #9


Dios Matemático
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Felicitaciones, ya esta la solucion para uno de los que faltaba. Aun quedan tres, asi que sigue con los otros. Recuerda, pon énfasis en tu redaccion.

Saludos
Victor
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Corecrasher
mensaje May 18 2005, 10:37 AM
Publicado: #10





Invitado






CITA(Kenshin @ May 16 2005, 04:40 AM)
P3*)En un tablero cuadrado de lado par, se colocan fichas rectangulares de tamaño TEX: $2\times 1$ (fichas de dominó). Demuestre que si llenamos el tablero colocando fichas de modo que no me queden una sobre la otra, entonces el número de fichas dispuestas horizontalmente es par.

El problema radica en darnos cuenta de que cada vez que en un lado del cuadrado usamos un domino en forma vertical (dejando el lado 1 en el lado del cuadrado) debemos ocupar nuevamente una vertical para dejar el numero par ... ya que el otro lado mide 2 ... por lo tanto quedara un numero par de horizontales smile.gif
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