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APMO 1995, Ssp: 1,2,3,4,5

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 17 2007, 07:23 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent \underline{$Problema\ 1$} Determine todas las secuencias de n\'umeros reales $a_1,a_2,...,a_{1995}$ que satisfacen:\\<br />\\<br />$2\sqrt{a_n-(n-1)} \ge a_{n+1}-(n-1)$, para $n=1,2,...,1994,$<br />\\<br />y<br />\\<br />$2\sqrt{a_{1995}-1994} \ge a_1+1$$ Solucion: (Pendiente) $TEX: \noindent \underline{$Problema\ 2$} Sea $a_1,a_2,...,a_n$ una secuencia de enteros con valores entre 2 y 1995 tales que:\\<br />\\<br />(i) Todos los elementos de la secuencia son coprimos dos a dos.\\<br />\\<br />(ii) Cada $a_i$ es un primo, o bien un producto de primos distintos.\\<br />\\<br />Determine el menor valor posible de $n$ para asegurarse de que la secuencia contiene un primo.$ Solucion: (Pendiente) $TEX: \noindent \underline{$Problema\ 3$} Sea $PQRS$ un cuadril\'atero c\'iclico tal que los segmentos $PQ$ y $RS$ no son paralelas. Considere el conjunto de los c\'irculos a trav\'es de $P$ y $Q$, y el conjunto de los c\'irculos a tra\'es de $R$ y $S$. Determine el conjunto $A$ de puntos de tangencia de los c\'irculos en estos dos conjuntos.$ Solucion: (Pendiente) $TEX: \noindent \underline{$Problema\ 4$} Sea $C$ unc\'irculo de radio $R$ y centro $O$, y $S$ un punto fijo en el interior de $C$. Sean $AA'$ y $BB'$ cuerdas perpendiculares a trav\'es de $S$. Considere los rect\'angulos $SAMB$, $SBN'A'$, $SA'M'B'$, y $SB'NA$. Encuentre el conjunto de todos los puntos $M$, $N'$, $M'$, y $N$ cuando $A$ se mueve alrededor del c\'irculo.$ Solucion: (Pendiente) $TEX: \noindent \underline{$Problema\ 5$} Encuentre el m\'inimo entero positivo $k$ tal que existe una funci\'on $f$ del conjunto $\mathbb{Z}$ de todos los enteros a $\{1,2,...,k\}$ con la propiedad de que $f(x)\neq f(y)$ siempre que $\|x-y\| \in \{ 5,7,12\}$$ Solucion: (Pendiente)

Heiricar Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 29 2013, 12:06 AM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 423 Registrado: 4-January 11 Miembro Nº: 82.624 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Hola, me dio por hacer problemas P1 Sí definimos $TEX: $b_{n}=a_{n}-(n-1)$$ podemos expresar las desigualdades como $TEX: $2\sqrt{b_{n}}\geq b_{n+1}+1 \Leftrightarrow b_{n} \geq \frac{1}{4}(1+b_{n+1})^{2}$$ Ahora llamando a $TEX: $f(x)=\frac{1}{4}(1+x)^{2}$$ tenemos $TEX: $b_{1} \geq f(b_{1})$$ , $TEX: $b_{2} \geq f(b_{2})$$ , ..., $TEX: $b_{1995} \geq f(b_{1})$$ y aprovechando que $TEX: $f$$ es creciente ocupando las desigualdades anteriores podemos concluir que $TEX: $b_{j}\geq f^{(1995)}(b_{j})$$ para todo j, pero además $TEX: $x\geq f(x)\Leftrightarrow f^{(k)}(x)\geq f^{(k-1)}(x)$$ de donde $TEX: $x\geq f(x)\Leftrightarrow x\geq f^{(k)}(x)$$ luego obtenemos $TEX: $b_{j}\geq f(b_{j})$$ que es equivalente a $TEX: $0\geq(b_{j}-1)^{2}$$ , luego $TEX: $b_{n}=1$$ de donde $TEX: $a_{n}=n$$ para todo $TEX: $n$$ (obviamente esta es la única secuencia y cumple con lo requerido). P2 Intentemos encontrar la secuencia más larga que no tenga números primos Es fácil notar que para que un numero sea compuesto debe tener un factor primo menor que su raíz Ahora definamos $TEX: $MP(a)=\min\{ p \ ;p\mid a \wedge p \text{ es primo} \}$$ luego como $TEX: $a_{i}$$ debe ser siempre compuesto tenemos que $TEX: $MP(a_i) \leq \sqrt{1995} <45$$ por lo tanto $TEX: $MP(a_{i}) \in A=\{ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43\}$$ Notemos que el 43 no es un posible valor de $TEX: $MP$$ ya que tendríamos que tener $TEX: $43 \cdot \text{Primo mayor a 43}=a_{i}$$ pero tomando como 47 de primo mayor (el sgt a 43) ya nos pasamos Además como la sucesión tiene debería tener todos sus términos coprimos dos a dos tenemos que $TEX: $MP(a_{i})\neq MP(a_{j})\Leftrightarrow i \neq j$$ , de esto junto a que $TEX: $MP(a_{i}) \in A$$ tenemos que la sucesión cuenta con a lo más 13 términos. Para finalizar notemos que la secuencia 2997, 3661,5397, 7285, 11181, 13151, 17113, 19103, 2383, 2967, 3161, 3753, 41*47 tiene 13 términos y no tiene números primos, luego basta que la secuencia tenga 14 términos como mínimo para que tenga al menos un primo P3 PQ y SR se intersectan en K y T es el punto de tangencia móvil, por centro radical KT es tangente luego por potencia con respecto a la circunferencia es cte de donde el lugar geométrico es un arco de circunferencia de centro K y radio la raíz de la potencia de K con respecto a la circunferencia

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