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Capitulo III, Desigualdad de Cauchy-Shwarz-Bunyakowsky

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 27 2005, 05:50 PM Publicado: #1
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Desigualdad de Cauchy-Shwarz-Bunyakowsky Sean $TEX: $a_1,a_2,...,a_n,b_1,b_2,...,b_n$$ un conjunto de $TEX: $2n$$ numeros reales. Bajo estas condiciones siempre se cumple que: $TEX: $\displaystyle \left(\sum_{k=1}^{n} a_kb_k\right)^2\le \left(\sum_{k=1}^{n} a_k^2\right)\cdot\left(\sum_{k=1}^{n} b_k^2\right)$$ o escrito de manera explicita para quienes no conocen la notacion de sumatorias: $TEX: $(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)^2\le (a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+...+b_2^2)$$ cumpliendose la igualdad solamente si $TEX: $a_1=\lambda b_1,a_2=\lambda b_2,...,a_n=\lambda b_n$$ para algun $TEX: $\lambda\in\Re$$ -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 27 2005, 06:35 PM Publicado: #2
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Demostracion: Consideremos $TEX: $\displaystyle f(x)=\sum_{k=1}^{n}(a_kx+b_k)^2\ge 0$$ Desarrollando esa expresion obtendremos que: $TEX: $\displaystyle 0\le f(x)=x^2\left(\sum_{k=1}^{n}a_k^2\right)+x\left(2\sum_{k=1}^{n}a_kb_k\right)+\left(\sum_{k=1}^{n}b_k^2\right)$$ Como $TEX: $f$$ resulta ser una funcion de segundo grado para la variable $TEX: $x$$ , entonces $TEX: $\bigtriangleup\le 0$$ Esto es: $TEX: $\displaystyle \left(2\sum_{k=1}^{n}a_kb_k\right)^2-4\left(\sum_{k=1}^{n}a_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^{n}b_k^2\right)\le 0$$ De aqui se concluye que: $TEX: $\displaystyle \left(\sum_{k=1}^{n} a_kb_k\right)^2\le \left(\sum_{k=1}^{n} a_k^2\right)\cdot\left(\sum_{k=1}^{n} b_k^2\right)$$ Saludos -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 27 2005, 07:07 PM Publicado: #3
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Sean $TEX: $x=\left(\begin{array}{c}<br />x_1\\<br />x_2\\<br />\vdots\\<br />x_n\end{array} \right)$$ y $TEX: $y=\left(\begin{array}{c}<br />y_1\\<br />y_2\\<br />\vdots\\<br />y_n\end{array} \right)$$ dos vectores de $TEX: $\Re^n$$ Se define: I)La Norma 2 en $TEX: $\Re^n$$ $TEX: $\displaystyle \\|x\\|_2=\sqrt{\sum_{k=1}^{n}x_k^2}$$ II)Producto Punto en $TEX: $\Re^n$ x $\Re^n$$ $TEX: $\displaystyle <x,y>=\sum_{k=1}^{n}x_ky_k$$ Podriamos escribir la Desigualdad de Cauchy-Shwarz-Bunyakowsky en la siguiente version: Sean $TEX: $x=\left(\begin{array}{c}<br />x_1\\<br />x_2\\<br />\vdots\\<br />x_n\end{array} \right)$$ , $TEX: $y=\left(\begin{array}{c}<br />y_1\\<br />y_2\\<br />\vdots\\<br />y_n\end{array} \right)$$ vectores de $TEX: $\Re^n$$ Bajo estas condiciones se cumple que: $TEX: $\displaystyle \|<x,y>\|\le \\|x\\|_2\\|y\\|_2$$ donde la igualdad de logra si y solo si $TEX: $x=\lambda$$y$$ -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Cesarator	Dec 28 2005, 10:59 AM Publicado: #4
Invitado	$TEX: Para los casos $n=2$ y $n=3$, la desigualdad tiene una clara interpretaci\'on geom\'etrica. En este caso, se tiene que para $x=(x_1,x_2,x_3)$,<br />$$<br />\|\|x\|\|_2 = \sqrt{x_1^2 + x_2^2+x_3^2}<br />$$<br />es la {\bf longitud} del vector $x$. <br /><br />{\bf Ejercicio}. Demostrar la f\'ormula<br />$$<br />\mbox{cos } \theta = \frac{<x,y>}{\|\|x\|\|_2 \|\|y\|\|_2},<br />$$ <br />donde $x, y \in \mathcal{R}^3$ son vectores y $\theta$ es el \'angulo entre ellos. N\'otese que de esta f\'ormula se deduce inmediatamente la desigualdad en los casos $n=2,3$.<br />$

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 29 2005, 02:17 PM Publicado: #5
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Ejemplo 1: Sean $TEX: $a_1,a_2,....,a_n\ge$$0$$ Definimos la Media Cuadratica como: $TEX: $\displaystyle C=\sqrt[2]{\frac{a_1^2+a_2^2+...+a_n^2}{n}}$$ Probar que $TEX: $C\ge$$A$$ y probar que la igualdad se alcanza solo si $TEX: $a_1=a_2=...=a_n$$ La definicion de A la puedes encontrar en esta seccion Solucion: Tomemos el conjunto $TEX: $a_1,a_2,...,a_n,1,1,...,1$$ de $TEX: $2n$$ reales no negativos. Sobre estos aplicaremos la desigualdad de Cauchy-Shwarz-Bunyakowsky obteniendo: $TEX: $(a_1+a_2+...+a_n)^2\le(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)(1^2+1^2+...+1^2)=(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)n$$ Dividiendo a ambos lados por $TEX: $n^2$$ y sacando raiz cuadrada tendremos: $TEX: $\displaystyle \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\le\sqrt{\frac{a_1^2+a_2^2+...+a_n^2}{n}}$$ o sea $TEX: $C\ge$$A$$ La igualdad solo se alcanza si $TEX: $a_1=\lambda\cdot$$1,a_2=\lambda\cdot$$1,...,a_n=\lambda\cdot$$1$$ para algun $TEX: $\lambda\in\Re$$ o lo que es lo mismo: $TEX: $a_1=a_2=...=a_n$$ PD: Notemos que la desigualdad para n=2 seria del estilo: Sean $TEX: $a,b\ge$$0$$ , entonces se cumple que: $TEX: $\displaystyle \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\ge\frac{a+b}{2}$$ y justamente esta desigualdad fue demostrada de otra forma en el siguiente Link en el Ejemplo 4 -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 29 2005, 06:10 PM Publicado: #6
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Ejemplo 2: Sean $TEX: $a,b,c$$ reales positivos tales que $TEX: $abc=1$$ Probar que: $TEX: $\displaystyle \frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\ge\frac{3}{2}$$ Solucion: Notemos que $TEX: $\displaystyle \frac{1}{a^3(b+c)}=\frac{1}{a^2(ab+ac)}=\frac{\displaystyle \frac{1}{a^2}}{\displaystyle \frac{1}{b}+\frac{1}{c}}$$ En esto ultimo usamos que $TEX: $abc=1$$ Esto nos inspira a que usemos el cambio de variable $TEX: $\displaystyle x=\frac{1}{a},y=\frac{1}{b},z=\frac{1}{c}$$ (en ese caso $TEX: $x,y,z>0$$ y $TEX: $xyz=1$$ ) y de esa forma llegamos a: $TEX: $\displaystyle \frac{1}{a^3(b+c)}=\frac{x^2}{y+z}$$ Analogamente: $TEX: $\displaystyle \frac{1}{b^3(a+c)}=\frac{y^2}{x+z}$$ y $TEX: $\displaystyle \frac{1}{c^3(a+b)}=\frac{z^2}{x+y}$$ Si ahora aplicamos la desigualdad de Cauchy-Shwarz-Bunyakowsky al conjunto siguiente de 6 reales: $TEX: $\displaystyle \sqrt{\frac{x^2}{y+z}},\sqrt{\frac{y^2}{x+z}},\sqrt{\frac{z^2}{x+y}},\sqrt{y+z},\sqrt{x+z},\sqrt{x+y}$$ tendremos que: $TEX: $\displaystyle \left(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\right)\left((y+z)+(x+z)+(x+y)\right)\ge$$(x+y+z)^2$$ y dividiendo a ambos lados por $TEX: $2(x+y+z)>0$$ obtendremos: $TEX: $\displaystyle \left(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\right)\ge\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{3 \sqrt[3]{xyz}}{2}=\frac{3}{2}$$ En este ultimo paso use que $TEX: $A\ge$$G$$ para los reales positivos $TEX: $x,y,z>0$$ -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

SoLiD_UsHeR Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 28 2007, 03:44 AM Publicado: #7
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 257 Registrado: 16-May 05 Desde: mmm perdio xD Miembro Nº: 34 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	no se si servira.. pero tengo otra solución: como $TEX: $abc = 1$$ , entonces $TEX: $(abc)^2 = 1$$ , reemplazando en la desigualdad a desarrollar, el problema se traduciria en: $TEX: $$\frac{(abc)^2}{a^3(b + c)} + \frac{(abc)^2}{b^3(a+c)} + \frac{(abc)^2}{c^3(a+b)} \geq \frac{3}{2}$$<br /><br />$$\frac{(bc)^2}{a(b + c)} + \frac{(ac)^2}{b(a+c)} + \frac{(ab)^2}{c(a+b)} \geq \frac{3}{2}$$<br />$ aplicando cauchy $TEX: $$\frac{(bc)^2}{a(b + c)} + \frac{(ac)^2}{b(a+c)} + \frac{(ab)^2}{c(a+b)} \geq \frac{(ab + bc + ca)^2}{2(ab + bc + ca)}$$<br />$ ahora por medias, yo se que: $TEX: <br />$$\frac{ab + bc + ca}{3} \geq \sqrt[3]{(ab)(bc)(ca)}$$<br />$$\frac{ab + bc + ca}{2} \geq \frac{3}{2}$$$ listo -------------------- Trabajando en una nueva firma...

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 2 2009, 02:32 PM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Kenshin @ Dec 27 2005, 07:35 PM) Como $TEX: $f$$ resulta ser una funcion de segundo grado para la variable $TEX: $x$$ , entonces $TEX: $\bigtriangleup\le 0$$ no entendi bien esa parte, ya se q es el discriminante d la ecuacion cuadratica, pero porq sucede eso ps -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

caf_tito Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 3 2009, 10:37 PM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 1.605 Registrado: 25-June 05 Miembro Nº: 123 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(xD13G0x @ Feb 2 2009, 03:32 PM) no entendi bien esa parte, ya se q es el discriminante d la ecuacion cuadratica, pero porq sucede eso ps La explicación como más fácil que se me ocurre es imaginarse el gráfico de la función de segundo grado cuando esta es positiva y notar que este nunca va a tocar el eje de las X, por lo tanto no posee soluciones reales o sea el discrimiante es negativo. O bien notar que si $TEX: $f\left( x \right) \ge 0 \implies \min f\left( x \right) \ge 0 $$ (siempre y cuando exista el mínimo) --------------------

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 7 2009, 11:21 AM Publicado: #10
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	CITA(caf_tito @ Feb 3 2009, 11:37 PM) La explicación como más fácil que se me ocurre es imaginarse el gráfico de la función de segundo grado cuando esta es positiva y notar que este nunca va a tocar el eje de las X, por lo tanto no posee soluciones reales o sea el discrimiante es negativo. O bien notar que si $TEX: $f\left( x \right) \ge 0 \implies \min f\left( x \right) \ge 0 $$ (siempre y cuando exista el mínimo) duda reaclarada, muchas gracias -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

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