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Certamen 2, Año 2007

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Jorgeston Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 16 2007, 10:04 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Baneado Mensajes: 2.588 Registrado: 7-November 06 Miembro Nº: 2.747	$TEX: \noindent 1.- Calcule las siguientes integrales complejas.<br /><br />\noindent a) $\displaystyle\int_{\gamma}cos\left( 3+\frac{1}{z+3} \right)dz$ , donde $\gamma$ es el cuadrado de vertices $(0,0), (1,0), (1,1) y (0,1)$<br /><br />\noindent b) $\displaystyle\int_{\gamma}(z^2+3)dz$ donde $\gamma(t)$ es la parametrizaci\'on de la curva $\|x\|^2+\|y\|^2=1$<br /><br />\noindent c) $\displaystyle\int_{\gamma} \frac{z^2-1}{z^2+1}dz$ donde $\gamma$ es la circunferencia de radio $2$ y con centro en el origen$ * $TEX: \noindent 2.- Sea $A$ una regi\'on simplemente conexa y sea $f$ una funci\'on an\'alitica en $A$, exepto en $z_{0}\in A$. Suponga que $f$ es acotada en una vecindad de $z_0$.<br /><br />\noindent Muestre que $\displaystyle\int_{\gamma}f=0$ <br /><br />\noindent donde $\gamma$ es una curva cerrada contenida en $A$ y que tiene en su interior a $z_0$$ * $TEX: \noindent 3.- Asuma que la funci\'on $f(z)=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!z^n}$ es analitica en $\mathbb{C}-\{0\}$<br /><br />\noindent y que $\displaystyle\int_{\gamma}f(z)dx=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{\gamma} \frac{1}{n!z^n}dz$<br /><br />\noindent Calcule $\displaystyle\int_{\gamma}f(z)dz$ donde $\gamma(\theta)=e^{i \theta}$, con $0\leq \theta \leq 2\pi$$ *** $TEX: \noindent 4.- a) A partir de la serie de Maclaurin de la funci\'on $\dfrac{1}{1-z}$,con $\|z\|<1$, obtenga la serie de Taylor de la funcion $\dfrac{1}{(1-z)^2}$ en torno a $z=0$<br /><br />\noindent b) Obtener el desarrollo en serie de Taylor de la funci\'on $f(z)=\dfrac{z^2-z}{z-3}$ en potencias de $(z-1)$$ salu2