Desigualdad no tan basica II

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Desigualdad no tan basica II, Resuelto por Caetano [básico]

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Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 23 2005, 06:35 PM Publicado: #1
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Problemita Sean $TEX: $k,n$$ enteros positivos, $TEX: $n>1$$ . Probar que: $TEX: $\displaystyle \frac{1}{kn}+\frac{1}{kn+1}+\ldots +\frac{1}{kn+n-1}>n\left( \sqrt[n]{\frac{k+1}{k}}-1\right)$$ -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 29 2005, 05:55 PM Publicado: #2
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Aqui les dejo este Link como indicacion....probablemente despues de pegarle una leida puedan responder raudamente este problema. Saludos -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Caetano Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 3 2006, 02:05 AM Publicado: #3
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 293 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 3 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Consideremos la expresion siguiente para $TEX: $k,n$$ enteros positivos, $TEX: $n>1$$ $TEX: $S=\displaystyle \frac{1}{kn}+\frac{1}{kn+1}+\ldots +\frac{1}{kn+n-1}+n$$ $TEX: $S=\displaystyle \left(\frac{1}{kn}+1\right)+\left(\frac{1}{kn+1}+1\right)+\ldots +\left(\frac{1}{kn+n-1}+1\right)$$ $TEX: $S=\displaystyle \frac{kn+1}{kn}+\frac{kn+2}{kn+1}+\ldots+\frac{kn+n}{kn+n-1}$$ Apliquemos $TEX: $A\ge$$G$$ para $TEX: $S$$ , en este caso desigualdad estricta puesto que la igualdad es posible solo cuando los elementos a quienes aplicamos la medias son iguales, lo que en nuestro caso no se cumple. Por lo tanto tenemos que: $TEX: $S>\displaystyle n\sqrt[n]{\left(\frac{kn+1}{kn}\right)\left(\frac{kn+2}{kn+1}\right)\cdots\left(\frac{kn+n}{kn+n-1}\right)}$$ $TEX: $\Rightarrow$$S>\displaystyle n\sqrt[n]{\frac{kn+n}{kn}}$$ $TEX: $\Rightarrow$$S>\displaystyle n\sqrt[n]{\frac{k+1}{k}}$$ Y por lo tanto concluimos que : $TEX: $\displaystyle \frac{1}{kn}+\frac{1}{kn+1}+\ldots +\frac{1}{kn+n-1}>n\left( \sqrt[n]{\frac{k+1}{k}}-1\right)$$ --------------------

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 3 2006, 03:14 AM Publicado: #4
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Caetano @ Feb 3 2006, 04:05 AM) Consideremos la expresion siguiente para $TEX: $k,n$$ enteros positivos, $TEX: $n>1$$ $TEX: $S=\displaystyle \frac{1}{kn}+\frac{1}{kn+1}+\ldots +\frac{1}{kn+n-1}+n$$ $TEX: $S=\displaystyle \left(\frac{1}{kn}+1\right)+\left(\frac{1}{kn+1}+1\right)+\ldots +\left(\frac{1}{kn+n-1}+1\right)$$ $TEX: $S=\displaystyle \frac{kn+1}{kn}+\frac{kn+2}{kn+1}+\ldots+\frac{kn+n}{kn+n-1}$$ Apliquemos $TEX: $A\ge$$G$$ para $TEX: $S$$ , en este caso desigualdad estricta puesto que la igualdad es posible solo cuando los elementos a quienes aplicamos la medias son iguales, lo que en nuestro caso no se cumple. Por lo tanto tenemos que: $TEX: $S>\displaystyle n\sqrt[n]{\left(\frac{kn+1}{kn}\right)\left(\frac{kn+2}{kn+1}\right)\cdots\left(\frac{kn+n}{kn+n-1}\right)}$$ $TEX: $\Rightarrow$$S>\displaystyle n\sqrt[n]{\frac{kn+n}{kn}}$$ $TEX: $\Rightarrow$$S>\displaystyle n\sqrt[n]{\frac{k+1}{k}}$$ Y por lo tanto concluimos que : $TEX: $\displaystyle \frac{1}{kn}+\frac{1}{kn+1}+\ldots +\frac{1}{kn+n-1}>n\left( \sqrt[n]{\frac{k+1}{k}}-1\right)$$ Solucion correcta, y su redaccion queda para el "atento lector" Otro mas a resueltos Saludos -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

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