Desigualdad no tan Basica I

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Desigualdad no tan Basica I, Resuelto por MasterIN® [básico]

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Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 23 2005, 06:05 PM Publicado: #1
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Problemita Se define $TEX: $H_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots +\frac{1}{n}$$ Probar que $TEX: $n\left[(n+1)^{\frac{1}{n}}-1\right]< H_n< n-(n-1)n^{\frac{-1}{n-1}}$$ Putnam Exam,1975 -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Pasten Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 24 2005, 10:42 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 765 Registrado: 6-December 05 Miembro Nº: 458 Nacionalidad: Sexo:	tengo una duda... los corchetes son parte entera o solo parentesis grandes? eso era... por favor nada de pistas hasta que alguien pida!!! gracias :-) -------------------- Pasten, un buen muchacho en quien confiar.

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 25 2005, 12:29 AM Publicado: #3
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Holas...son solo parentesis comunes y silvestres.... Aqui les dejo este Link como indicacion....probablemente despues de pegarle una leida puedan responder raudamente este problema. Saludos -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 21 2006, 05:04 PM Publicado: #4
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Hint: Pueden ver la demostracion de otro problema similar en este Link -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

MasterIN® Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 22 2006, 11:53 AM Publicado: #5
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 116 Registrado: 14-May 05 Desde: Buin, Santiago Miembro Nº: 26 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Ya..ahora si la sol. con Latex: Haremos esto por parte. Primera Parte: $TEX: $n(n+1)^\frac{1}{n} - n < H_n$$ Modificando un poquito.. $TEX: $n(n+1)^\frac{1}{n} < H_n + n$$ $TEX: $n(n+1)^\frac{1}{n} < (1+1) + \left(\frac{1}{2}+1\right)+ \left(\frac{1}{3}+1\right)+.......+\left(\frac{1}{n+1}\right)$$ $TEX: $n(n+1)^\frac{1}{n} < 2+\frac{3}{2}+\frac{4}{3}+..........+\frac{n+1}{n}$$ $TEX: $\displaystyle\sqrt[n]{n+1}< \frac{2+\frac{3}{2}+\frac{4}{3}+..........+\frac{n+1}{n}}{n}$$ Entonces, tenemos que demostrar la útima desigualdad. Esto lo hacemos Aplicando $TEX: $G \le A$$ . En este caso, es desigualdad estricta, ya que todos los términos son distintos. $TEX: $\displaystyle \sqrt[n]{2\frac{3}{2}\frac{4}{3}........\frac{n}{n+1}} < \frac{2+\frac{3}{2}+\frac{4}{3}+..........+\frac{n+1}{n}}{n}$$ $TEX: $\displaystyle\sqrt[n]{n+1}<\frac{2+\frac{3}{2}+\frac{4}{3}+..........+\frac{n+1}{n}}{n}$$ Probando así la primera parte. Ahora vamos con la segunda parte. $TEX: $H_n < n - (n-1)n^\frac{-1}{n-1}$$ Si modificamos la expresión, nos queda: $TEX: $\displaystyle (1-1)+\left(\frac{1}{2}-1\right)+\left(\frac{1}{3}-1\right)+....+\left(\frac{1}{n}-1\right) < - (n-1)n^\frac{-1}{n-1}$$ $TEX: $\displaystyle -\left(\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+....+\frac{n-1}{n}\right) < - (n-1)n^\frac{-1}{n-1}$$ $TEX: $\displaystyle \frac{\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+....+\frac{n-1}{n}}{n-1} > \sqrt[n-1]{\frac{1}{n}}$$ Ahora bien, apliquemos $TEX: $A\ge G$$ , en este caso, desigualdad estricta,ya que todos los términos son distintos; queda: $TEX: $\displaystyle \frac{\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+....+\frac{n-1}{n}}{n-1} > \sqrt[n-1]{\frac{1}{2}\frac{2}{3}......\frac{n-2}{n-1}\frac{n-1}{n}}$$ $TEX: $\displaystyle\frac{\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+....+\frac{n-1}{n}}{n-1} > \sqrt[n-1]{\frac{1}{n}}$$ Quedando así demostrado el problema QUEPD by mAsTeR® -------------------- "Lo que no entiendes hoy lo comprenderás mañana"

Caetano Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 23 2006, 07:12 PM Publicado: #6
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 293 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 3 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Muy buena respuesta, felicitaciones , pasa a resueltos al tiro. --------------------

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