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Prueba Final, Nivel Mayor (2007)

GlagosSA Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 14 2007, 12:46 PM Publicado: #1
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 380 Registrado: 22-April 06 Desde: Chillan, chile, sudamerica, el mundo Miembro Nº: 912 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent \textbf{Problema 1} \textit{Sobre un tablero de ajedrez de 16x16 casilleros se mueve un caballo haciendo solo movimientos de dos tipos: desde cada casilla se puede mover ya sea dos casillas hacia la derecha y una hacia arriba, o dos casillas hacia arriba y una a la derecha. Determine de cuantas formas puede el caballo desplazarse desde la casilla inferior izquierda del tablero a la casilla derecha superior}\\<br />\\<br />\textbf{Problema 2} \textit{Dado un $\triangle ABC$, determine cual es el circulo de menor area que lo contiene}\\<br />\\<br />\textbf{Problema 3} \textit{Dos jugadores, Aurelio y Bernarno, juegan el siguiente juego. Aurelio Comienza escribiendo el numero 1. A continuacion le toca a Bernarndo, que escribe el numero 2. De ahi en adelante, cada jugador elige si le suma 1 al numero que acaba de escribir el jugador anterior, o si multiplica dicho numero por 2. Entonces escribe el resultado y le toca al otro jugador. Pierde el primer jugador que escribe un numero mayor que 2007. Determine si hay alguna estrategia ganadora para algun jugador}\\<br />\\<br />\textbf{SEGUNDA PRUEBA}<br />\\<br />\\<br />\textbf{Problema 4} \textit{31 invitados a una fiesta se sientan en sillas igualmente espaciadas alrededor de una mesa redonda, pero no se han fijado que en los puestos hay tarjetas con los nombres de los invitados. <br />\begin{itemize}<br />\item Suponiendo que se han sentado con tan mala suerte que ninguno se encuentra en el lugar que le corresponde, muestre que es posible lograr que al menor dos personas queden en su puesto correcto, sin que nadie se pare de su asiento, haciendo girar la mesa.<br />\item Muestre una configuracion donde exactamente un invitado esta en su lugar asignado y donde de ninguna forma que se gire la mesa es posible lograr que al menos dos queden bien<br />\end{itemize}}<br />$ $TEX: \noindent \textbf{Problema 5} \textit{Bob le propone a Johanna el siguiente juego. Un tablero con forma de triangulo equilatero formado por 256 triangulos equilateros mas pequeños, uno de los cuales esta pintado de negro. Bob elige un punto en el interior del tablero y coloca una pequena ficha. Johanna puede elegir uno de los tres vertices del triangulo grande y mover la ficha hacia el punto medio entre la posicion actual de la ficha y el vertice escogido. Johanna gana si logra colocar su ficha dentro del triangulo negro. Pruebe que Johanna gana en a lo mas 4 jugadas.}\\<br />\\<br />\textbf{Problema 6} \textit{Dado un $\triangle ABC$ isoceles con base $\overline{BC}$ anotamos con M el punto medio de dicha base. Sea X un punto cualquiera en el arco mas corto AM del cirscuncirculo del $\triangle ABM$ y sea T un punto en el interior del $\angle BMA$ tal que $\angle TMX=90$ y $\overline{TX}=\overline{BX}$. Demostrar que $\angle MTB-\angle CTM$ no depende de X}$ -------------------- Un dia aciago del año 212 a.C., durante la segunda querra punica, Arquimedes se encontraba contemplando algunos circulos que tenia dibujados sobre la arena. Un soldado romano trató de interrumpirlo. La reaccion del genio frente a la presencia del enemigo invasor, el lugar de ser miedo, fue indignacion por verse interrumpido en su trabajo intelectual.-"¡deje en paz a mis circulos!"- Unos minutos mas tarde, el maestro matematico de 75 años, muere atravesado por una espada romana. La altura de tu Vuelo dependera del tamaño de los Ideales que lleves por Alas.. El beso es la distancia mas corta entre Tú y Yo..

peter Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 16 2007, 02:34 PM Publicado: #2
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 84 Registrado: 12-April 07 Miembro Nº: 5.137 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	PROBLEMA 1: Sobre un tablero de ajedrez de 16x16 casilleros se mueve un caballo haciendo solo 2 tipos de movimientos: desde cada casilla se puede mover hay sea dos casillas hacia la derecha y una hacia arriba, o dos casillas hacia arriba y una ha la derecha. Determine de cuantas formas puede el caballo desplazarse desde la casilla inferior izquierda del tablero a la casilla derecha superior. Hay 2 tipos de "jugadas" que puede hacer el caballo, a las que nombraremos Z(que se mueve dos casilleros hacia la derecha y uno hacia arriba) y W(se mueve un casillero hacia la derecha y dos hacia arriba). $TEX: $\rightarrow$ ()La Jugada Z = 1A + 2D <br />$\rightarrow$ La Jugada W = 2A + 1D$ Siendo "D" derecha, y "A" arriba.* Siendo en (X,Y), X la horizontal e Y la vertical: Como el tablero es de 16x16, y el caballo empieza en el casillero (1,1), y debe llegar al (16,16) tiene moverse 15A + 15D, para llegar a (16,16). Al ser la misca cantidad de movimientos hacia arriba(A) y hacia la derecha(D), nos damos cuenta que deben haber la misma cantidad de jugadas tipo Z como tipo W, ya que, si hubiera mas Z que W (o viceversa) la cantidad de movimientos A y D serian desiguales. Luego tenemos: Z + W = 3A + 3D [multiplicamos por 5 para que nos quede 15A + 15D] 5Z + 5W = 15A + 15D Por lo que nos damos cuenta de que hay que usar 5W y 5Z (ni mas, ni menos que 5 veces cada "jugada"), para cumplicar lo pedido. Luego solo hay que combinar las 5 jugadas tipo W, con las 5 jugadas tipo Z para encontrar todos los caminos posibles: W₁W₂W₃W₄W₅ con Z₁Z₂Z₃Z₄Z₅, resultando: $TEX: $\dfrac{10!}{5!5!}$$ . ,ya que, W_k=W_i Siento el resultado 252 caminos, posibles para llegar desde (1,1) a (16,16) en un tablero 16x16. Es sumamente difícil comprobara si hay 252 caminos, en un tablero 16x16 (para comprobar si el método realmente funciona), pero podemos probarlo en los casos similares (como lo son el 4x4, 7x7, 10x10, 13x13, 16x16), pero que son más sencillos de comprovar: Lo probaremos para el 4x4: Deben ser 3A + 3D, para llegar al cuadrado (4,4), por lo tanto, hay que realizar la misma cantidad de "jugadas" W y Z. W+Z= 3A+3D, por lo que, obtenemos todos los caminos posibles al combinar 1 jugada W con una jugada Z, lo que es 2!= 2 4x4.PNG ( 8.31k ) Número de descargas: 3 Mensaje modificado por peter el Oct 16 2007, 06:23 PM -------------------- Jurgen Uhlmann.

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 16 2007, 04:43 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Tienes que cuidar algunos detalles con la redacción (y ortografía, porque no creo que te hayas equivocado a propósito...) En el enunciado del problema, nunca se ha hablado de disponer fichas sobre el tablero. Entiendo cuál es la idea, sé que la encontraste, pero también es importante expresarla bien. -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

peter Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 16 2007, 06:10 PM Publicado: #4
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 84 Registrado: 12-April 07 Miembro Nº: 5.137 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Perdona, es que lo escribí apurado en la tarde , pero ya modifique la ortografía y algo de la redacción.. Y por lo de las fichas no me di cuenta ahahaha.. Es que lo pensé en fichas, y se me olvido explicarlo ( de todas formas, mejor lo cambie a "jugadas"). Gracias por avisarme, siempre se me van esos detalles de redacción Mensaje modificado por peter el Oct 16 2007, 06:27 PM -------------------- Jurgen Uhlmann.

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 16 2007, 07:54 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Ahora sí, está mucho mejor presentada la solución... -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

wenopagozar Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 26 2007, 06:29 PM Publicado: #6
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 260 Registrado: 6-June 07 Miembro Nº: 6.476	CITA(GlagosSA @ Oct 14 2007, 02:46 PM) Problema 3 Dos jugadores, Aurelio y Bernardo, juegan el siguiente juego. Aurelio Comienza escribiendo el número 1. A continuación le toca a Bernardo, que escribe el número 2. De ahí en adelante, cada jugador elige si le suma 1 al número que acaba de escribir el jugador anterior, o si multiplica dicho número por 2. Entonces escribe el resultado y le toca al otro jugador. Pierde el primer jugador que escribe un número mayor que 2007. Determine si hay alguna estrategia ganadora para algún jugador Supongamos que Aurelio decide sumar 1 en todos sus turnos. La primera vez que éste suma 1, el resultado es 3 (2+1=3). Luego, Bernardo tiene dos opciones, sumar 1, donde el resultado será par, o multiplicar por 2, donde el resultado también será par. Luego, como decidimos al principio, Aurelio suma 1 y el resultado es impar. La siguiente jugada de Berdardo hace el resultado par de nuevo, y así sucesivamente. Así hay dos opciones, la primera es que Bernardo se pase de tonto y, habiendo un resultado mayor o igual que 1004, éste multiplique por 2 y resulta un número mayor que 2007. La otra opción es Bernardo también decida sumar 1 en todos sus turnos para no superar nunca a 2007, pero sabemos que el que quedará justo en el 2007 será Aurelio, ya que vimos que éste siempre cae en los números impares, así Bernado se pasa del 2007 sí o sí. Conclusión: la estrategia ganadora es para Aurelio y consiste en que éste sume 1 en todos sus turnos. Hahaha está como para apostar.

caf_tito Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 7 2008, 04:13 PM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 1.605 Registrado: 25-June 05 Miembro Nº: 123 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Dejo la solución al problema 6 dada por Kenshin en su clase de muestra. (aunque no recuerdo si era exactamente así) seis.png ( 36.86k ) Número de descargas: 4 $TEX: \noindent \textbf{Soluci\'on:} Sea $N$ punto medio de $TB$, $NM$ es mediana $\implies \measuredangle CTM=\measuredangle TMN$ (alternos internos). Como $\bigtriangleup TBX$ es isósceles $\implies \measuredangle TNX=90°$ análogamente $\measuredangle BMA=90°$ de ahí que $TNMX$ es cíclico $\implies \measuredangle TMN=\measuredangle TXN=\measuredangle NXB$ (la última igualdad se debe a que $XN$ es bisectriz). De acuerdo al $\bigtriangleup TXN$ y al $\bigtriangleup TMX$: $$\measuredangle MTB + 2\measuredangle CTM + \measuredangle CTX=90°$$ $$3\measuredangle CTM + \measuredangle CTX + \measuredangle BXM=90°$$ Esto implica que $\measuredangle BXM=\measuredangle MTB - \measuredangle CTM$. Finalmente $BMXA$ cíclico entonces $\measuredangle BXM=\measuredangle BAM \implies \measuredangle \frac{A}{2}=\measuredangle MTB - \measuredangle CTM$, $\measuredangle A$ es una constante por lo cual hemos probado lo pedido.$ --------------------

Felipe_ambuli Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 10 2008, 11:42 AM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 836 Registrado: 9-January 07 Desde: Santiasko Miembro Nº: 3.659 Nacionalidad: Sexo:	CITA(GlagosSA @ Oct 14 2007, 03:37 PM) $TEX: \textbf{Problema 6} \textit{Dado un $\triangle ABC$ isoceles con base $\overline{BC}$ anotamos con M el punto medio de dicha base. Sea X un punto cualquiera en el arco mas corto AM del cirscuncirculo del $\triangle ABM$ y sea T un punto en el interior del $\angle BMA$ tal que $\angle TMX=90$ y $\overline{TX}=\overline{BX}$. Demostrar que $\angle MTB-\angle CTM$ no depende de X}$ IMO Shortlist, 2007

caf_tito Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 11 2008, 02:28 PM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 1.605 Registrado: 25-June 05 Miembro Nº: 123 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Felipe_ambuli @ Sep 10 2008, 12:32 PM) IMO Shortlist, 2007 Podrías adjuntar el enunciado de la IMO o era textual? por cierto, si encuentras alguna solución alternativa por ahí, pública =D. Saludos --------------------

Felipe_ambuli Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 11 2008, 02:33 PM Publicado: #10
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 836 Registrado: 9-January 07 Desde: Santiasko Miembro Nº: 3.659 Nacionalidad: Sexo:	CITA(caf_tito @ Sep 11 2008, 05:19 PM) Podrías adjuntar el enunciado de la IMO o era textual? por cierto, si encuentras alguna solución alternativa por ahí, pública =D. Saludos http://www.mathlinks.ro/resources.php?c=1&...7&year=2007 http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?p=1143932#1143932 Saludos =D

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