Segundo Nivel Individual Opciones

[S. E. Puelma Moy...]

Problema 1. El sistema de seguridad de un banco contempló lo siguiente para el número clave, que abre la bóveda del banco:

• Este número clave será un natural de cinco dígitos.
• Diez empleados del banco recibirán, cada uno, un número distinto de cinco dígitos.
• Cada uno de los números entregados tiene en una de las cinco posiciones el mismo dígito que el número clave, y en las cuatro posiciones restantes un dígito distinto al del número clave en esa posición.
• Los números a entregar son: 07344, 14098, 27356, 36429, 45374, 52207, 63822, 70558, 85237 y 97665

Determine el número clave (justifique su respuesta)

Problema 2. Considere el equilátero de lado . es una recta, paralela al lado , que interseca al lado en y al lado en .

1. Si el y el trapecio tienen el mismo perímetro, encuentre la razón entre las áreas del y del trapecio
2. Establezca una fórmula general para el cuociente entre las áreas del y del trapecio

[Deep Blue]

P1/
Tenemos que a los empleados se les ha dado los siguientes números:
07344
14098
27356
36429
45374
52207
63822
70558
85237
97665

LLamemos a las combinaciones que se les ha dado a los empleados, combinaciones E, y a la combinación secreta, combinación S

Si nos fijamos, notaremos que en la primera columna están escritos los números 0,1,2,3,4,5,6,7,8 y 9.
Si tenemos que buscar 5 números, y en cada combinación E hay uno de estos números y está en la misma posición en la cual está en la combinación S, entonces podemos razonar que por lo por lo menos, entre las combinaciones E, 1 número de la combinación S se va a repetir en 2 o mas combinaciones E, ya que si tenemos una combinación de 5 dígitos y hacemos coincidir cada dígito con una combinación E, necesitamos 5 combinaciones E, para que todos los números de la combinación S estén presentes en una combinación E, entonces, al tener 6 o mas combinaciones E, necesariamente se dará el razonamiento anterior, dicho esto, como en el principio notamos que cada combinación tenía su primer dígito diferente, entonces tenemos que entre los 4 dígitos restantes de las combinaciones E, a lo menos un dígito de la combinación S se repetirá en a lo menos 3 combinaciones E, por la misma razón que se repetía al menos dos veces en combinaciones E de 5 dígitos.

Si analizamos los 4 dígitos restantes (despues del primer dígito), de todas las combinaciones E, tendremos que los números que se repiten (en las columnas) son:

x7344
x4098
x7356
x6429
x5374
x2207
x3822
x0558
x5237
x7665

2ºdígito-->7(3veces)
3ºdígito-->2(2veces), 3(3veces)
4ºdígito-->2(2veces), 5(2veces)
5ºdígito-->8(2veces), 4(2veces)

por lo tanto, como tenemos que lo máximo que se repite un número son 3 veces, y que en el 2ºdígito el 7 se repite 3veces y se dice que por lo menos 1 dígito se repite 3 veces, ese dígito debe ser el 7, ya que si en los 2ºdígitos se tomara un número que no se repitiera, como es el caso de todos los otros de la 2ªcolumna, entonces, tendríamos que tener al menos 2 números de la combinación S que se repitieran entre las combinaciones E, pero esos números estarían repetidos al menos 3 veces, y eso no se puede dar ya que desde la 3ª columna a la 5ª columna, hay un solo dígito que se repite 3veces y es el 3, en la tercera columna, de otro modo, tendría que haber un dígito que se repitiera 4 veces o mas, y no hay ningún dígito que cumpla esa propiedad, por lo tanto, tenemos que el 2ºdígito de la combinación S es 7,

como en las combinaciones E 1, 3 y 10 está el 7 en segundo dígito, entonces tenemos que los demás números de esas combinaciones no pueden coincidir con la combinación S, por lo tanto, como tenemos que ver los números que se repiten en las combinaciones E, sin tomar en cuenta los números de las combinaciones 1,3 y 10, tenemos que los números que se repiten son:

3ª columna-->2(2veces)
4ª columna-->2(2veces)
5ª columna-->8(3veces) y 7(2veces)

como tenemos que la distribución de los números repetidos por columna entre las combinaciones E era:

1ª columna-->0 repetidos
2ª columna-->3 repetidos
3ª columna-->2 repetidos
4ª columna-->2 repetidos
5ª columna-->2 repetidos

si modificamos las repeticiones entre las 3 últimas columnas tendrán que distribuírse un número de repeticiones igual a 6, por ejemplo, (2,2,2) (1,2,3) (1,3,2), de esta manera, como no tenemos ningún dígito repetido en una columna mas de 2 veces, entonces la distribución tendrá que ser (2,2,2), por lo tanto, los dígitos 3º y 4º serán 2 y 2. luego, para descubrir el último dígito, tendremos que discriminar entre el 8 y el 7, ya que esos dos dígitos se repiten 2 veces, pero como tenemos la propiedad que nos dice que solo un dígito en cada combinación E coincide con un dígito de la combinación S, tendremos que descartar todos los dígitos que no correspondan al dígito en común con la combinación S, en cada combinación E, de esta manera, tenemos que el único dígito que sigue repitiéndose 2 veces en la columna 5ª es el 8, por lo tanto, la combinación S o combinación secreta es:

47228

El desarrollo está un poco largo pero es para explicar cada detalle del razonamiento que me hizo llegar a esa combinación.

:evil: :evil: :evil: :evil: :evil: :evil: :evil:

[felipe_contreras...]

P2]

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a)

[felipe_contreras...]

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Ahora la demostración (por si alguien no sabía)