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Problemas Mathematics Magazine, Fama!

Cesarator	Dec 20 2005, 03:51 PM Publicado: #1
Invitado	Voy a postear algunos de los problemas que aparecieron en esta revista. Si alguien los resuelve antes del 1 de MArzo 2006, lo envía (lo ayudo a hacerlo) a la revista y se hace mundialmente famoso como uno de los "solvers" para estos problemas. Todos invitados a participar. Problema 1726: Sean $TEX: a, j$ enteros positivos con $TEX: a \ge 2$ . Demostrar que existe un entero positivo $TEX: n$ tal que $TEX: a^n \equiv -j (\mbox{ mod } a^j+1)$ si y solo si $TEX: j = a^k$ para algun $TEX: k\ge 0$ . Problema 1728: Sea $TEX: A_1A_2 \cdots A_{3n}$ un poligono regular de 3n lados y sea P un punto en el arco menor $TEX: A_1A_{3n}$ de su circunferencia circunscrita. Demostrar que $TEX: \left( \sum_{k=1}^n PA_{n+k} \right) \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{PA_k} + \frac{1}{PA_{2n+k}} \right) \ge 4n^2$ . Problema 1729: Para cada entero positivo k, sea $TEX: c_k$ el producto de los primeros k enteros positivos impares, con $TEX: c_0=1$ . Probar que para cada entero no negativo n. $TEX: \sum_{k=0}^n (-1)^k {n\choose k}\frac{n!}{k!} 2^{n-k}c_k = c_n$ .

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 5 2006, 07:26 PM Publicado: #2
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Problema 1729: Para cada entero positivo k, sea $TEX: c_k$ el producto de los primeros k enteros positivos impares, con $TEX: c_0=1$ . Probar que para cada entero no negativo n. $TEX: \sum_{k=0}^n (-1)^k {n\choose k}\frac{n!}{k!} 2^{n-k}c_k = c_n$ Solucion: Definamos $TEX: $I_k$$ y $TEX: $J_k$$ de la siguiente manera: $TEX: $\displaystyle I_k=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sen^k(x)dx$$ $TEX: $\displaystyle J_k=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos^k(x)dx$$ Notemos que $TEX: $sen^k(\cdot )$$ y $TEX: $cos^k(\cdot )$$ son integrables en el intervalo $TEX: $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$$ pues ambas son funciones continuas en ese intervalo. Lema 1: $TEX: $\displaystyle I_k=\frac{k-1}{k}I_{k-2}$$ para $TEX: $k\in\{2,3,4,...\}$$ Demostracion: Usando integracion por partes con $TEX: $u=sen^{k-1}(x)$$ y $TEX: $dv=sen(x)dx$$ tendremos que: $TEX: $\displaystyle I_k=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sen^k(x)dx=\underbrace{\left. sen^{k-1}(x)(-cos(x))\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}}_{\displaystyle 0}-\underbrace{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(-cos(x))(k-1)sen^{k-2}(x)cos(x)dx}_{\displaystyle -(k-1)\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sen^{k-2}(x)cos^2(x)dx}$$ $TEX: $\displaystyle =(k-1)\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sen^{k-2}(x)(1-sen^2(x))dx=(k-1)(I_{k-2}-I_k)$$ De esta identidad se comcluye el lema de manera directa. Lema 2: $TEX: $I_k=J_k$$ para $TEX: $k\in\{0,1,2,...\}$$ Demostracion: Basta usar el cambio de variables $TEX: $u=\frac{\pi}{2}-x$$ y el hecho de que $TEX: $sen(\frac{\pi}{2}-\alpha)=cos(\alpha)$$ . Usando el Lema 1 reiteradas veces, podemos concluir que: $TEX: $\displaystyle I_{2k}=\frac{2k-1}{2k}I_{2k-2}=\frac{2k-1}{2k}\cdot \frac{2k-3}{2k-2}I_{2k-4}$$ $TEX: $\displaystyle =\cdots =\frac{2k-1}{2k}\cdot \frac{2k-3}{2k-2}\cdot \frac{2k-5}{2k-4}\cdots \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}I_0 =\frac{c_k}{2^k k!}I_0$$ [ Es claro que $TEX: $I_0=\frac{\pi}{2}$$ ] Usando esto concluiremos nuestro siguiente lema: Lema 3: $TEX: $\displaystyle c_k=\frac{2^k k!}{I_0}I_{2k}$$ para $TEX: $k\in\{0,1,2...\}$$ Demostracion: Para $TEX: $k\in\{1,2,3,...\}$$ se sigue la demostracion hecha previamente. Para $TEX: $k=0$$ debemos testear la propiedad "a mano" $TEX: $c_0=1$$ [por enunciado] y $TEX: $\displaystyle \frac{2^0 0!}{I_0}I_0=1$$ [Ojo que $TEX: $I_0\not=0$$ ] Q.E.D. Reemplazando en nuestra sumatoria tendremos que: $TEX: $\displaystyle \sum_{k=0}^n (-1)^k {n\choose k}\frac{n!}{k!} 2^{n-k}c_k=\sum_{k=0}^n (-1)^k {n\choose k}\frac{n!}{k!} 2^{n-k}\frac{2^k k!}{I_0}I_{2k}$$ $TEX: $\displaystyle =\frac{2^n n!}{I_0}\sum_{k=0}^n (-1)^k {n\choose k}I_{2k}=\displaystyle =\frac{2^n n!}{I_0}\sum_{k=0}^n \left[ (-1)^k {n\choose k}\left[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sen^{2k}(x)dx\right] \right]$$ $TEX: $\displaystyle =\frac{2^n n!}{I_0}\sum_{k=0}^n \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{n\choose k}(-1)^k sen^{2k}(x)dx=\frac{2^n n!}{I_0}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left[\sum_{k=0}^n {n\choose k}(-sen^{2}(x))^k \right] dx$$ $TEX: $\displaystyle =\frac{2^n n!}{I_0}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1-sen^{2}(x))^n dx=\frac{2^n n!}{I_0}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos^{2n}(x)dx=\frac{2^n n!}{I_0}J_{2n}=\underbrace{\frac{2^n n!}{I_0}I_{2n}}_{\displaystyle c_n}$$ Asi queda demostrada la proposicion -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Gazoo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 5 2006, 08:55 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.112 Registrado: 21-December 05 Desde: El Bosque - Stgo Miembro Nº: 473 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Con esto si que se le haria buena propaganda a Fmat Mensaje modificado por Gazoo el Mar 8 2013, 01:05 PM -------------------- "El sentido común es el conjunto de todos los prejuicios adquiridos antes de los 18 años" A. Einstein. Estudiante Ingeniería Civil Eléctrica - DIE USACH

sitronco Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 5 2006, 08:59 PM Publicado: #4
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 55 Registrado: 26-May 05 Desde: Santiago Miembro Nº: 58	Nose que decir simplemente una exelente solucion.....DEMASIADO HERMOSA.... ESTOY ALUSINANDO

SUPERSOLUBLE! Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 5 2006, 09:21 PM Publicado: #5
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3 Registrado: 30-January 06 Miembro Nº: 525	maestro

Sir_Nistelrody Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 5 2006, 09:59 PM Publicado: #6
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 37 Registrado: 6-August 05 Desde: Chile xD Rancagua Miembro Nº: 175	ahhhhhhhh.... que buena david te felicito muy bien porti -------------------- El genio es un uno por ciento de inspiración y un noventa y nueve por ciento de transpiración. [Thomas Alba Edison]

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 5 2006, 10:34 PM Publicado: #7
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Problema 1728: Sea $TEX: A_1A_2 \cdots A_{3n}$ un poligono regular de 3n lados y sea P un punto en el arco menor $TEX: A_1A_{3n}$ de su circunferencia circunscrita. Demostrar que $TEX: $\displaystyle \left( \sum_{k=1}^n PA_{n+k} \right) \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{PA_k} + \frac{1}{PA_{2n+k}} \right) \ge 4n^2$$ Solucion: Para simplificar un poco las notaciones llamemos: $TEX: $\displaystyle \mathcal{A}=\displaystyle \sum_{k=1}^n PA_{n+k}$$ y $TEX: $\displaystyle \mathcal{B}=\sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{PA_k} + \frac{1}{PA_{2n+k}} \right)$$ Luego se nos pide probar que $TEX: $\mathcal{AB}\ge 4n^2$$ Ahora podemos comenzar: Probemos previamente la siguiente propiedad Lema Consideremos una circunferencia y tres puntos de ella tales que $TEX: $A_1A_2A_3$$ sea un triangulo equilatero(ver figura). Si $TEX: $P$$ es un punto en el arco menor $TEX: $A_1A_2$$ , entonces $TEX: $PA_3=PA_1+PA_2$$ Demostracion: Si aplicamos el Teorema de Ptolomeo al cuadrilatero $TEX: $PA_2A_3A_1$$ tendriamos que: $TEX: $PA_1\cdot A_2A_3+PA_2\cdot A_1A_3=PA_3\cdot A_1A_2$$ pero como $TEX: $A_2A_3=A_1A_3=A_3A_2$$ entonces al simplificar la expresion anterior obtendremos que: $TEX: $PA_1+PA_2=PA_3$$ Consideremos ahora el poligono regular de "3n lados" del enunciado. Notemos que cada "n lados" tendremos un arco barrido de $TEX: $120^0$$ (pues con los 3n lados barrimos $TEX: $3\cdot 120^0=360^0$$ ) Luego el arco menor entre $TEX: $A_k\ y\ A_{n+k}$$ sera de $TEX: $120^0$$ . Asi tambien lo sera el arco entre $TEX: $A_{n+k}\ y\ A_{2n+k}$$ y entre $TEX: $A_{2n+k}\ y\ A_k$$ ( este ultimo pues si estamos dando la vuelta completa y llevamos $TEX: $120^0+120^0$$ , nos faltan $TEX: $120^0$$ para llegar al punto de partida ) Luego si aplicamos nuestra propiedad demostrada en el lema a los puntos $TEX: $A_k,\ A_{n+k}\ y\ A_{2n+k}$$ con el punto $TEX: $P$$ ( del enunciado ) en el arco menor $TEX: $A_kA_{2n+k}$$ tendriamos que: $TEX: $PA_{k}+PA_{2n+k}=PA_{n+k}$$ Si aplicamos este criterio para $TEX: $k\in\{1,2,3,...,n\}$$ ( notar que para estos valores de k tenemos la certeza de que $TEX: $P$$ pertenece al arco menor $TEX: $A_kA_{2n+k}$$ ) tendremos que: $TEX: $\displaystyle \mathcal{A}=\underbrace{PA_{n+1}}_{\displaystyle PA_{1}+PA_{2n+1}}+\underbrace{PA_{n+2}}_{\displaystyle PA_2+PA_{2n+2}}+\cdots +\underbrace{PA_{2n}}_{\displaystyle PA_n+PA_{3n}}$$ Por otro lado: $TEX: $\displaystyle \mathcal{B}=\left(\frac{1}{PA_1} + \frac{1}{PA_{2n+1}}\right)+\left(\frac{1}{PA_2} + \frac{1}{PA_{2n+2}}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{PA_n} + \frac{1}{PA_{3n}}\right)$$ Luego aplicando la desigualdad $TEX: $A\ge H$$ para los siguientes "2n medidas" reales positivas: $TEX: $PA_1,PA_{2n+1},PA_2,PA_{2n+2},...,PA_{n},PA_{3n}$$ se concluye que: $TEX: $\displaystyle \frac{\mathcal{A}}{2n}\ge \frac{2n}{\mathcal{B}}\Rightarrow \mathcal{AB}\ge (2n)^2=4n^2$$ que era lo que se pedia probar PD: Por ahi alguien me pregunto a que me referia con arco menor. La respuesta es que si hablo del arco menor AB, nosotros tenemos dos arcos en la circunferencia que conectan A con B, uno grande y uno chico. Yo me refiero al mas chico..jejejeje -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

ginobili Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 5 2006, 11:50 PM Publicado: #8
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 178 Registrado: 28-May 05 Desde: Aca , alla , aca , alla Miembro Nº: 70 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Todavia no logro entender nada , pero se nota q david le pega demasiado , pobre matematica va a quedar botada y noqueada tanto q le pegay david!!! pal david jajja!!! -------------------- Por un lado la matematica , lo mas importante , pero por el otro el basquetbol y ginobili lo mejor q hay!!!! Team Naranja!!! Apagando incendios xD

sitronco Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 6 2006, 12:04 AM Publicado: #9
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 55 Registrado: 26-May 05 Desde: Santiago Miembro Nº: 58	Demaciado top las dos soluciones. Aunque admito me costo mucho mas entender la segunda que la primera... Completamente excelente tus soluciones david. YA CASI LISTO EL DESAFIO PARA MARZO....DURO UN DIA....

Cesarator	Feb 6 2006, 06:46 PM Publicado: #10
Invitado	bien Lamentablemente, no seguiré posteando los problemas de la MAGAZINE, pues son con copyright... NO!!!... acabo de leer con atención y si se puede reproducir el material de la MAGAZINE siempre que no sea con fines comerciales y se ponga el copyright, que lo pongo ahora. Los problemas de arriba son: Copyright the Mathematical Association of America 2005. All rights reserved.

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