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Desafio V, Resuelto por Pasten

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Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 19 2005, 11:40 PM Publicado: #1
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Problemita Sea $TEX: E$ el conjunto de todas las funciones continuas $TEX: u$ : $TEX: [0,1]\to\Re$ que satisfacen: $TEX: \|u(x)-u(y)\|\le \|x-y\|$ para $TEX: 0\le x,y\le 1$ , $TEX: u(0)=0$ Sea $TEX: \varphi$ : $TEX: E\to\Re$ definida por: $TEX: \varphi(u)=\int_{0}^{1}(u^2(x)-u(x))dx$ Muestre que $TEX: \varphi$ alcanza su valor maximo en algun elemento de E. -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Pasten Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 21 2005, 06:57 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 765 Registrado: 6-December 05 Miembro Nº: 458 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: sean $g, v: g(x)=x, v(x)=-x ; g,v\in E$$ $TEX: vemos que por $\|u(x)-u(y)\|\le \|x-y\|$$ $TEX: se cumple que $v(x)\le u(x)\le g(x)$ para todo $u\in E$$ $TEX: entonces $u(x)\in[-x,x]$ para todo $x\in[0,1]$ (1)$ $TEX: notemos que $v(x)=-x$ esta en $E$ y cumple$ $TEX: $u^2(x)-u(x) \le v^2(x)-v(x)$ para todo $u \in E$ (2)$ $TEX: porque de no ser asi, existirian$ $TEX: $t\in[0,1], w\in E : v^2(t)-v(t)<w^2(t)-w(t)$$ $TEX: y tendriamos$ $TEX: $w^2(t)-w(t)=v^2(t)-v(t)+\delta=t^2+t+\delta$ para algun $\delta>0$$ $TEX: luego resolviendo para $w(t)$ obtenemos$ $TEX: $w(t)=\frac{1}{2}\pm\sqrt{(t+\frac{1}{2})^2+\delta}$$ $TEX: para el valor positivo de $\sqrt{(t+\frac{1}{2})^2+\delta}$ se obtiene$ $TEX: $w(t)=\frac{1}{2}+\sqrt{(t+\frac{1}{2})^2+\delta}>t+1>t$$ $TEX: lo que contradice (1)$ $TEX: para el valor negativo de $\sqrt{(t+\frac{1}{2})^2+\delta}$ se obtiene$ $TEX: $w(t)=\frac{1}{2}-\sqrt{(t+\frac{1}{2})^2+\delta}<-t$$ $TEX: lo que contradice (1)$ $TEX: asi, por contradiccion probamos (2).$ $TEX: ahora es inmediato que para todo $u\in E$ se cumple$ $TEX: $\varphi(u)=\int_{0}^{1}(u^2(x)-u(x))dx\le\varphi(v)$$ $TEX: es decir, $\varphi$ es maximo para $v\in E$ donde$ $TEX: $\varphi(v)=\int_{0}^{1}(v^2(x)-v(x))dx=\int_{0}^{1}(x^2+x)dx=\left[\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}\right]_{x=0}^{x=1}=\frac{5}{6}$$ $TEX: que es el maximo de la funcion $\varphi$$ $TEX: saludos$ ------------------------------ editado; borre algo que venia de la primera idea que se me paso por la cabeza al leer el problema, que sirvio para encausar la solucion pero despues podia llevar a errores. -------------------- Pasten, un buen muchacho en quien confiar.

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 21 2005, 11:51 PM Publicado: #3
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	La solucion ahora si esta muy bien explicada y la daremos por correcta... Me alegra ver todas las habilidades que has desarrollando para estar aun en la enseñanza Media, lo cual es loable. Solo me queda hacer el aporte de la demostracion que yo le habia dado antes, aunque basicamente es la misma forma. Primero es claro que $TEX: $\|u(x)\|\le \|x\|$$ para todo $TEX: $u\in E$$ , tomando $TEX: $y=0$$ en la desigualdad que caracteriza al conjunto $TEX: $E$$ . De esa forma $TEX: $\|u^2(x)-u(x)\|\le \|u(x)\|\|u(x)-1\|\le \|x\|(\|x\|+1)$$ para todo $TEX: $u\in E$$ Luego $TEX: $\|\varphi(u)\|\le \int_{0}^{1}\|u^2(x)-u(x)\|dx\le \int_{0}^{1}x(x+1)dx=\frac{5}{6}$$ La igualdad es alcanzada si $TEX: $\|u(x)\|=x$$ y $TEX: $\|u(x)-1\|=x+1$$ . Esto se cumple si $TEX: $u(x)=-x$$ que si pertenece a $TEX: $E$$ -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

mamboraper Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 12 2019, 12:54 PM Publicado: #4
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 134 Registrado: 28-March 14 Miembro Nº: 128.100 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: Sea $X = \mathcal{C}([0,1])$ el conjunto de las funciones continuas con la norma del supremo. Veamos que $E$ es compacto en $X$. En efecto, notemos que:<br />\begin{itemize}<br />\item [-] El conjunto $E$ es equicontinuo puesto que si tomamos $\epsilon>0$, basta tomar $\delta=\epsilon$ para ver que si $\|x-y\|<\delta$ entonces $\|u(x)-u(y)\|\leq \|x-y\|<\delta=\epsilon$ para cualquier $u\in E$.<br />\item [-] Para cada $x\in [0,1]$ se tiene que tenemos que $\{ u(x) \}_{u\in E}$ es acotado puesto que $\|u(x)\|\leq \|x\|, \forall u\in E$.<br />\end{itemize}<br /><br />Con lo anterior, por arzela-ascoli se tiene que $E$ es relativamente compacto, pero además $E$ es cerrado pues si $u_n\to u$ en $\\| \cdot \\|_{\infty}$ con $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset E$ entonces $\|u_n(x) - u_n(y)\|\leq \|x-y\|, \forall x,y\in [0,1], \forall n\in\mathbb{N}$ y por tanto $\|u(x) - u(y)\|\leq \|x-y\|\Rightarrow u\in E$, sigue que $E$ es cerrado y por tanto compacto. Por último, es fácil ver que $\varphi$ es continua en $X$, luego $\displaystyle\max_{u\in E}\varphi (u)$ se alcanza en $E$ $\blacksquare$$ -------------------- Hago clases particulares (activo 2024). Cualquier consulta por MP.

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