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I2 Cálculo I, MAT1503 2S 2007

XaPi Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 6 2008, 11:04 AM Publicado: #11
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.872 Registrado: 9-March 06 Desde: Welcome Miembro Nº: 614 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(giuli @ Jan 6 2008, 03:17 AM) $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{algebra de limites}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\left( {1 + \frac{1}<br />{n}} \right)^n } \right)^{ - 1} x\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {1 + \frac{1}<br />{n}} \right)^3 \hfill \\<br />\end{gathered} <br />\]$ Saludos! La respuesta es correcta, pero debo detenerme en un detalle, quizas, no menor para quien corrige pruebas. Tu puedes usar algebra de limites, cuando sabes que el limite de cada factor existe, y asi calculas el limite del producto de los factores. En este ejercicio, a priori, no lo sabias, y por lo tanto, no podias llegar y usar algebra de limites. Para los minuciosos, basta con decir: Notemos que $TEX: $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right) ^{-3} = 1$$ y que además, $TEX: $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right) ^{-n} = \dfrac{1}{e}$$ . Luego, por algebra de limites, se tiene que: $TEX: $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \dfrac{n}{n+1} \right)^{n+3} = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^{-3}\times \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right) ^{-n} = \dfrac{1}{e}$$ --------- Y para naxoobkn, un regalo: sucesion.e.GIF ( 2.57k ) Número de descargas: 2 Esa cosa no parte, ni llega a 1. Saludos -------------------- USA MAPLE ANTES QUE L'HOPITAL!!!! --- fan ----------------- CURRICULUM VITAE ----------------- 296 pts en la PSU de Matemáticas Admisión 2010. Estudiante de Primer Año de Licenciatura en Historia, Ciencias Sociales y Filosofía Jurídica U. de Talca VII Region Chile

giuli Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 6 2008, 08:14 PM Publicado: #12
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 943 Registrado: 21-September 07 Desde: arica, la ciudad de la eterna primavera Miembro Nº: 10.373 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(naxoobkn @ Jan 6 2008, 01:13 PM) $TEX: % MathType!MTEF!2!1!+-<br />% feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn<br />% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr<br />% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9<br />% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x<br />% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGceaqabeaacaWGHb<br />% GaaiykamaaxababaGaciiBaiaacMgacaGGTbaaleaacaWGUbGaeyOK<br />% H4QaeyOhIukabeaakmaalaaabaGaamOBamaaCaaaleqabaGaaG4maa<br />% aaaOqaaiaad6gacaGGHaaaaiabg2da9maaxababaGaciiBaiaacMga<br />% caGGTbaaleaacaWGUbGaeyOKH4QaeyOhIukabeaakmaalaaabaGaam<br />% OBamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaaaOqaaiaacIcacaWGUbGaeyOeI0Ia<br />% aGymaiaacMcacaGGOaGaamOBaiabgkHiTiaaikdacaGGPaGaaiOlai<br />% aac6cacaGGUaGaaGymaaaacqGH9aqpdaWfqaqaaiGacYgacaGGPbGa<br />% aiyBaaWcbaGaamOBaiabgkziUkabg6HiLcqabaGcdaWcaaqaaiaaig<br />% daaeaadaqadaqaamaalaaabaGaaGymaaqaaiaad6gaaaGaeyOeI0Ya<br />% aSaaaeaacaaIXaaabaGaamOBamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaaaaaaki<br />% aawIcacaGLPaaadaqadaqaamaalaaabaGaaGymaaqaaiaad6gaaaGa<br />% eyOeI0YaaSaaaeaacaaIYaaabaGaamOBamaaCaaaleqabaGaaGOmaa<br />% aaaaaakiaawIcacaGLPaaacaGGUaGaaiOlaiaac6cadaWcaaqaaiaa<br />% igdaaeaacaWGUbWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaaaaaaakeaaaeaaca<br />% qGHbGaaeiBaiaabEgacaqGLbGaaeOyaiaabkhacaqGHbGaaeiiaiaa<br />% bsgacaqGLbGaaeiiaiaabYgacaqGPbGaaeyBaiaabMgacaqG0bGaae<br />% yzaiaabohacaqG6aaabaaabaWaaSaaaeaacaqGXaaabaGaaeikaiaa<br />% bcdacaqGTaGaaeimaiaabMcacaqGOaGaaeimaiaab2cacaqGWaGaae<br />% ykaiaab6cacaqGUaGaaeOlaiaabcdaaaGaeyypa0ZaaSaaaeaacaaI<br />% XaaabaGaaGimaaaacqGHshI3cqGHjiYZcqWIDesOaeaaaeaacqGH0i<br />% cxdaWfqaqaaiGacYgacaGGPbGaaiyBaaWcbaGaamOBaiabgkziUkab<br />% g6HiLcqabaGcdaWcaaqaaiaad6gadaahaaWcbeqaaiaaiodaaaaake<br />% aacaWGUbGaaiyiaaaacaqGGaGaaeOBaiaab+gacaqGGaGaaeiDaiaa<br />% bMgacaqGLbGaaeOBaiaabwgacaqGGaGaaeiBaiaabMgacaqGTbGaae<br />% yAaiaabshacaqGLbaaaaa!B09A!<br />\[<br />\begin{gathered}<br /> a)\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{n^3 }}<br />{{n!}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{n^2 }}<br />{{(n - 1)(n - 2)...1}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}<br />{{\left( {\frac{1}<br />{n} - \frac{1}<br />{{n^2 }}} \right)\left( {\frac{1}<br />{n} - \frac{2}<br />{{n^2 }}} \right)...\frac{1}<br />{{n^2 }}}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{algebra de limites:}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \frac{{\text{1}}}<br />{{{\text{(0 - 0)(0 - 0)}}...{\text{0}}}} = \frac{1}<br />{0} \Rightarrow \notin \mathbb{R} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \therefore \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{n^3 }}<br />{{n!}}{\text{ no tiene limite}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ Ese limite si existe, es infinito... Saludos -------------------- Giuliani Coluccio Piñones. Ingeniero Civil Industrial- Universidad De Tarapacá Estudiante PhD en Management - UAI

fs_tol Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 6 2008, 09:38 PM Publicado: #13
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 670 Registrado: 30-January 06 Desde: Ñuñoa, Santiago Miembro Nº: 524 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(naxoobkn @ Jan 6 2008, 12:13 PM) $TEX: <br />\[<br />\begin{gathered}<br /> a)\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{n^3 }}<br />{{n!}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{n^2 }}<br />{{(n - 1)(n - 2)...1}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}<br />{{\left( {\frac{1}<br />{n} - \frac{1}<br />{{n^2 }}} \right)\left( {\frac{1}<br />{n} - \frac{2}<br />{{n^2 }}} \right)...\frac{1}<br />{{n^2 }}}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{algebra de limites:}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \frac{{\text{1}}}<br />{{{\text{(0 - 0)(0 - 0)}}...{\text{0}}}} = \frac{1}<br />{0} \Rightarrow \notin \mathbb{R} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \therefore \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{n^3 }}<br />{{n!}}{\text{ no tiene limite}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ Incorrecto, el error está al dividir por $TEX: $n^2$$ en el denominador, no se hace en todos los factores, sólo en los primeros 2: $TEX: \noindent $\dfrac{n^2}{(n-1)!}=\dfrac{n}{n-1}\cdot\dfrac{n}{n-2}\cdot\dfrac{1}{(n-3)!} \to 1 \cdot 1 \cdot 0 = 0 \quad \blacksquare$$ -------------------- $TEX: $CARITA$$

fs_tol Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 6 2008, 09:55 PM Publicado: #14
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 670 Registrado: 30-January 06 Desde: Ñuñoa, Santiago Miembro Nº: 524 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(giuli @ Jan 6 2008, 02:31 AM) $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> 1a)\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{1}<br />{{n^2 - n + 1}} + \frac{1}<br />{{n^2 - n + 2}} + .... + \frac{1}<br />{{n^2 - n + n}}} \right) \hfill \\<br /> {\text{dividimos todas las fracciones por el mayor exponente de n}}{\text{, que seria n}}^2 \hfill \\<br /> \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{\frac{1}<br />{{{\text{n}}^2 }}}}<br />{{1 - \frac{1}<br />{n} + \frac{1}<br />{{{\text{n}}^2 }}}} + \frac{{\frac{1}<br />{{{\text{n}}^2 }}}}<br />{{1 - \frac{1}<br />{n} + \frac{2}<br />{{{\text{n}}^2 }}}} + .... + \frac{{\frac{1}<br />{{{\text{n}}^2 }}}}<br />{1}} \right) \hfill \\<br /> {\text{algebra de limites}} \hfill \\<br /> \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{0}<br />{1} + \frac{0}<br />{1} + ....\frac{0}<br />{1}} \right) \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{1}<br />{{n^2 - n + 1}} + \frac{1}<br />{{n^2 - n + 2}} + .... + \frac{1}<br />{{n^2 - n + n}}} \right) = 0 \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ Saludos El razonamiento es incorrecto, pero el resultado (de suerte) es correcto. El error está en que el álgebra de límites funciona para una cantidad determinada de términos, y en este caso esta cantidad va en aumento. Por ejemplo, si sumo n veces $TEX: $\dfrac{1}{n}$$ , el resultado es 1, pero aplicando tu lógica cada factor tiende a cero y por lo tanto el resultado es 0, lo que es incorrecto. Sobre el problema, a una solución correcta puede llegarse acotando la suma, como todos sus términos son positivos es mayor o igual a 0, y la suma es menor o igual que sumar sólo su mayor término, que es $TEX: $n^2-n+1$$ , luego: $TEX: \noindent $\displaystyle 0 \le \sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{n^2-n+k} \le \sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{n^2-n+1}=\dfrac{n}{n^2-n+1} \to 0$$ Como ambos extremos convergen a 0, se concluye por emparedado que el límite vale 0. PD: Emparedado es para los PUC xD -------------------- $TEX: $CARITA$$

Naxoo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 6 2008, 10:03 PM Publicado: #15
Staff FMAT Grupo: Moderador Mensajes: 2.604 Registrado: 2-March 07 Desde: Somewhere over the rainbow Miembro Nº: 4.244 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(fs_tol @ Jan 7 2008, 12:38 AM) Incorrecto, el error está al dividir por $TEX: $n^2$$ en el denominador, no se hace en todos los factores, sólo en los primeros 2: $TEX: \noindent $\dfrac{n^2}{(n-1)!}=\dfrac{n}{n-1}\cdot\dfrac{n}{n-2}\cdot\dfrac{1}{(n-3)!} \to 1 \cdot 1 \cdot 0 = 0 \quad \blacksquare$$ sii tienes mucha razon, acabo de hacer un pecado algebraico xD gracias por la ayuda!! saludos y otro dia que este aburrido pulire bien estos errores, cosa que la proxima vez que postee no cometa errores tan basicos Mensaje modificado por naxoobkn el Jan 7 2008, 11:12 PM -------------------- INRIA - Francia, Sophia Antipolis Biocore Team Ingeniero Civil en Biotecnología Ingeniería Civil Químico “(…) los elementos que él (¿o Él?) [Dios] mismo nos ha dado (raciocinio, sensibilidad, intuición) no son en absoluto suficientes como para garantizarnos ni su existencia ni su no existencia. Gracias a una corazonada puedo creer en Dios y acertar o no creer en Dios y también acertar" Mario Benedetti $TEX: \[\iiint\limits_\Omega {\left( {\nabla \cdot \vec F} \right)dV} = \iint\limits_{\partial \Omega } {\left( {\vec F \cdot \hat n} \right)}dS\]<br />$

Naxoo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 15 2008, 12:28 PM Publicado: #16
Staff FMAT Grupo: Moderador Mensajes: 2.604 Registrado: 2-March 07 Desde: Somewhere over the rainbow Miembro Nº: 4.244 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Respondere la 3.B) pero antes hay que saber que: $TEX: \[<br />\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}<br />{x} = 1<br />\]<br />$ y una vez lei en el foro que tambien: $TEX: \[<br />\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}<br />{{\sin x}} = 1<br />\]$ entonces, el desarrollo seria $TEX: \[<br />3.b)\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x^{n + 1} \sin \left( {\frac{1}<br />{x}} \right)}}<br />{{\sin ^n (x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x^n \cdot x \cdot \sin \left( {\frac{1}<br />{x}} \right)}}<br />{{\sin ^n (x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \underbrace {\frac{{x^n }}<br />{{\sin ^n (x)}}}_{ \to 1} \cdot \underbrace {\frac{{\sin \left( {\frac{1}<br />{x}} \right)}}<br />{{\frac{1}<br />{x}}}}_{ \to 1} = \boxed1<br />\]<br />$ -------------------- INRIA - Francia, Sophia Antipolis Biocore Team Ingeniero Civil en Biotecnología Ingeniería Civil Químico “(…) los elementos que él (¿o Él?) [Dios] mismo nos ha dado (raciocinio, sensibilidad, intuición) no son en absoluto suficientes como para garantizarnos ni su existencia ni su no existencia. Gracias a una corazonada puedo creer en Dios y acertar o no creer en Dios y también acertar" Mario Benedetti $TEX: \[\iiint\limits_\Omega {\left( {\nabla \cdot \vec F} \right)dV} = \iint\limits_{\partial \Omega } {\left( {\vec F \cdot \hat n} \right)}dS\]<br />$

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 15 2008, 12:35 PM Publicado: #17
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	CITA(naxoobkn @ Mar 15 2008, 02:22 PM) $TEX: \[\underbrace {\frac{{\sin \left( {\frac{1}<br />{x}} \right)}}<br />{{\frac{1}<br />{x}}}}_{ \to 1}<br />\]<br />$ El valor de este límite sería 1 si $TEX: $x\to\infty,$$ en el presente caso tenemos que $TEX: $x\to0.$$ Antes de separar el limitando original, ver primero si los límites de ambas expresiones existen por separado

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 6 2008, 12:50 AM Publicado: #18
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent $\boxed{2}$ Primero, hagamos una pequeña inspección:\\<br />\\<br />$a_1=4, a_2=\dfrac{5}{2}, a_3=\dfrac{41}{20},\cdots$\\<br />\\<br />La sucesión pareciese ser decreciente, entonces demostremoslo<br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />&a_n\geq a_{n+1}, \forall n\in\mathbb{N}\\<br />\iff& a_n \geq \dfrac{1}{2} \left(a_n+\dfrac{4}{a_n} \right)\\<br />\iff& 2a_n \geq a_n+\dfrac{4}{a_n}\\<br />\iff& a_n \geq \dfrac{4}{a_n},\ a_n>0\\<br />\iff& a_n^2 \geq 4\\<br />\iff& a_n\geq 2\ \lor\ a_n\leq-2\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />La segunda opción se descarta, ya que $a_n>0$ siempre ya que es suma y producto de números positivos.<br />Luego, validemos la primera alternativa, si $a_n\geq 2$, entonces $a_{n+1}\geq 2$ (inducción):<br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />&a_{n+1}\geq2, \forall n\in\mathbb{N}\\<br />\iff& \dfrac{1}{2} \left(a_n+\dfrac{4}{a_n} \right)\geq 2,\ a_n>0\\<br />\iff& a_n+\dfrac{4}{a_n}\geq 4,\ a_n>0\\<br />\iff& a_n^2+4\geq 4a_n\\<br />\iff& a_n^2-4a_n+4\geq 0\\<br />\iff& (a_n-2)^2\geq 0\\<br />\iff& a_n>2,\ a_n\geq 0 \text{ y por ende, no puede ser }<-2\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />Lo cual era nuestra hipótesis inductiva y con eso queda demostrado que $a_n\geq2,$ $\forall n\in\mathbb{N}$.\\$ $TEX: \noindent Ahora, recapitulando, hemos demostrado que la sucesión es monótona decreciente y que es acotada inferiormente y por ende, converge. Ahora calculemos su límite<br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />\lim_{n \to \infty} a_{n+1}&=\dfrac{1}{2} \left(a_n+\dfrac{4}{a_n} \right)\\<br />L &=\dfrac{1}{2} \left(L+\dfrac{4}{L} \right)\\<br />2L & =L+\dfrac{4}{L}\\<br />L^2&=4\\<br />L=2\ &\lor \ L=-2<br />\end{aligned}\end{equation}<br />La última la descartamos ya que L no puede ser menor que 0, porque $a_n\geq2$. Por lo tanto, la única posiblidad que nos queda es que el límite sea L=2.$ -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

Guía Rojo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 6 2008, 09:16 PM Publicado: #19
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 903 Registrado: 28-May 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 69 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(EnnaFrad @ Oct 9 2007, 11:26 PM) $TEX: \noindent <br />$\displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{(x+1)(x^2+1)...(x^n+1)}{\sqrt{(nx^n+1)^{n+1}}}$ , $n\in \mathbb{N}$<br />$ $TEX: \noindent Notemos que $\left(1+\dfrac{1}{x^n}\right)^n\le \displaystyle\prod_{i=1}^{n}\left(1+\dfrac{1}{x^i}\right)\le \left(1+\dfrac{1}{x}\right)^n$, para $x\ge 1$\\<br />\\<br />Pero $\displaystyle\lim_{x\to \infty }\left(1+\dfrac{1}{x^n}\right)^n=\displaystyle\lim_{x\to \infty }\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^n=1$\\<br />\\<br />Por T. Sandwich, $\displaystyle\lim_{x\to \infty }\prod_{i=1}^{n}\left(1+\dfrac{1}{x^i}\right)^n=1$\\<br />\\<br />Luego:\\<br />$\displaystyle{\lim_{x\to \infty }\dfrac{\displaystyle\prod_{i=1}^{n}(x^i+1)}{\sqrt{(nx^n+1)^{n+1}}}=\lim_{x\to \infty }\dfrac{\displaystyle\prod_{i=1}^{n}\left(1+\dfrac{1}{x^i}\right)}{\sqrt{\left(n+\dfrac{1}{x^n}\right)^{n+1}}}}$\\<br />\\<br />$=\dfrac{\displaystyle\lim_{x\to \infty }\displaystyle\prod_{i=1}^{n}\left(1+\dfrac{1}{x^i}\right)}{\displaystyle\lim_{x\to \infty }\sqrt{\left(n+\dfrac{1}{x^n}\right)^{n+1}}}=\boxed{\dfrac{1}{\sqrt{n^{n+1}}}}$$ -------------------- Bachiller en Ciencias (ex) Estudiante de Medicina Estudiante de Ingeniería Civil de Industrias, diploma en Ingeniería Matemática Pontificia Universidad Católica de Chile "El espíritu del matemático busca la belleza del pensamiento, y esa va de la mano con la filosofía." - Héctor Hardy Pastén Vásquez "¿Qué te hace pensar que si tienes dos elementos de un conjunto con otros dos elementos de otro conjunto se origina uno nuevo con cuatro? Es sólo el sentido común, no te imaginas que los elementos aparecen de la nada, pero resulta que con el sólo hecho de cuestionar el sentido común, se podría afirmar que cuando juntas cuatro elementos aparecen miles de elementos más. Y si lo demuestras, todo se basa en la razón." - Alonso Duque Vega, razonador por excelencia $TEX: $S=1+dfrac{1}{2}+dfrac{1}{3}+dfrac{1}{4}+dfrac{1}{5}+ldots$$ Esta serie converge! He encontrado una maravillosa demostración de esto, pero no cabe en la estrechez de esta firma...

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