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Desafio IV, Resuelto por Mauro

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 19 2005, 11:02 PM Publicado: #1
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Problemita Para cada real $TEX: u$ definamos $TEX: I(u)=\int_{0}^{\pi}ln(1-2ucosx+u^2)dx$ Probar que: $TEX: I(u)=I(-u)=\frac{1}{2}I(u^2)$ y entonces calcular $TEX: I(u)$ para todo $TEX: u$ real. -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Icaro Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 3 2006, 06:40 PM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 361 Registrado: 24-September 05 Desde: beaucheff #850 Stgo Miembro Nº: 324 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	tengo una duda es cos(x), o cos(u), es que el hecho de que definan I(u), me da la impresion que esa es la variable a tratar, es solo una pregunta para comenzar a hacerla, no quiuero matarme tratando de hacer algo que no tiene solucion, eso -------------------- Súmese a la campaña de conciencia energética Ahorre agua, tome chela $TEX: Save the Beerdrinker, Save the World$ $TEX: La velocidad de los profes en esta carrera se mide en Felmer, y Davila se mueve a 0.9 Felmer ...$

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 3 2006, 10:23 PM Publicado: #3
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Esta correctamente escrita..y honestamente..de los desafios que aqui anote este es uno de los dificiles...asi que no lo subestimes... Saludos PD:Cualquier duda solo hacerla...todas las consultas seran bien recibidas... -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Mauro Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 23 2006, 04:34 PM Publicado: #4
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 11 Registrado: 26-January 06 Desde: Seattle, WA Miembro Nº: 513	Una duda del planteamiento de la pregunta, luego de probar que $TEX: $I(x)=I(-x)=\frac12I(x^2)$$ , ¿hay que basarse sólo en eso para calcular $TEX: $I(x)$$ para todo valor de $TEX: $x$$ ?

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 24 2006, 12:40 AM Publicado: #5
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Mauro @ Feb 23 2006, 06:34 PM) Una duda del planteamiento de la pregunta, luego de probar que $TEX: $I(x)=I(-x)=\frac12I(x^2)$$ , ¿hay que basarse sólo en eso para calcular $TEX: $I(x)$$ para todo valor de $TEX: $x$$ ? Al menos en mi vision de este problema es crucial para una parte el que se cumplan estas propiedades. La solucion final es una funcion definida por partes que depende en que rango se encuentre el u. Si tu encuentras una forma de concluir, omitiendo esas propiedades, seria genial (pero si estan ahi, y no son tan dificiles de probar, entonces no es tan terrible el usarlas ) Saludos -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Mauro Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 13 2006, 11:09 PM Publicado: #6
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 11 Registrado: 26-January 06 Desde: Seattle, WA Miembro Nº: 513	A ver si por fin respondo esto... La primera identidad, $TEX: $I(u)=I(-u)$$ se obtiene de la sencilla sustitución o cambio de variable $TEX: $u=\pi-t$$ . La segunda se obtiene usando la anterior, ¿cómo? Asi: $TEX: <br />\begin{eqnarray}<br />2I(u)=I(u)+I(-u)&=&\int_{0}^{\pi}ln(1-2u\cos(x)+u^2)dx+\int_{0}^{\pi}ln(1+2u\cos(x)+u^2)dx\\<br />&=&\int_{0}^{\pi}ln(1-2u\cos(x)+u^2)(1+2u\cos(x)+u^2)dx\\<br />&=&\int_{0}^{\pi}ln (1+2u^2(1-2cos^2x)+u^4)dx\\<br />&=&\int_{0}^{\pi}ln (1-2u^2cos(2x)+u^4)dx<br />\end{eqnarray}$ Aquí hacemos $TEX: $y=2x$$ para obtener $TEX: \begin{eqnarray}<br />2I(u) &=&\frac12\int_{0}^{2\pi}ln (1-2u^2cos(y)+u^4)dy\\<br />4I(u)&=&\int_{0}^{\pi}ln (1-2u^2cos(y)+u^4)dy+\int_{\pi}^{2\pi}ln (1-2u^2cos(y)+u^4)dy\\<br />&=&2\int_{0}^{\pi}ln (1-2u^2cos(y)+u^4)dy<br />\end{eqnarray}$ de donde se obtiene lo pedido. Ahora calculemos $TEX: $I(u)$$ . Es trivial verificar de la definición que $TEX: $I(0)=0$$ . Por otra parte $TEX: $2I(1)=I(1)\Rightarrow I(-1)=I(1)=0$$ . En adelante asumo $TEX: $u>0$$ . Sea $TEX: $u<1$$ . Sigue que $TEX: $1-2u\cos(x)+u^2\geq 1-2u+u^2=(1-u)^2>0$$ y luego la función $TEX: $u\mapsto I(u)$$ es continua en el intervalo $TEX: $[-\delta,\delta]$$ para $TEX: $0<\delta<1$$ fijo. (TCD) Iterando la igualdad con $TEX: $u^2$$ se llega fácilmente a $TEX: $$I(u)=\frac{1}{2^k}I(u^{(2^k)})$$$ . Haciendo $TEX: $k\rightarrow\infty$$ , la continuidad en cero y el hecho que $TEX: $u<1$$ nos asegura que $TEX: $I(x^{(2^k)})$$ permanece acotado y entonces: $TEX: $$I(u)=\lim_{k\longrightarrow\infty}\frac{1}{2^k}I(u^{(2^k)})=0$$$ Concluimos que $TEX: $\forall~u\in[-1,1]~I(u)=0$$ . Para calcular el caso $TEX: $u>1$$ calcularemos $TEX: $I(\frac{1}{u})$$ (gracias a David por esta idea). $TEX: \begin{eqnarray}<br />I(\frac{1}{u}) &=&\int_{0}^{\pi}ln(1-\frac{2}{u}\cos(x)+\frac{1}{u^2})dx\\<br />&=&\int_{0}^{\pi}ln((u^2-2u\cos(x)+1)\frac{1}{u^2})dx\\<br />&=&I(u)-2\pi\ln(\mid u\mid)\end{eqnarray}<br />$ Luego si $TEX: $u>1$$ entonces $TEX: $\frac{1}{u}<1$$ por lo que $TEX: $I(\frac{1}{u})=0$$ de donde $TEX: $I(u)=2\pi\ln(\mid u\mid)$$ .

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 13 2006, 11:32 PM Publicado: #7
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Mauro @ Mar 14 2006, 01:09 AM) A ver si por fin respondo esto... La primera identidad, $TEX: $I(u)=I(-u)$$ se obtiene de la sencilla sustitución o cambio de variable $TEX: $u=\pi-t$$ . La segunda se obtiene usando la anterior, ¿cómo? Asi: $TEX: <br />\begin{eqnarray}<br />2I(u)=I(u)+I(-u)&=&\int_{0}^{\pi}ln(1-2u\cos(x)+u^2)dx+\int_{0}^{\pi}ln(1+2u\cos(x)+u^2)dx\\<br />&=&\int_{0}^{\pi}ln(1-2u\cos(x)+u^2)(1+2u\cos(x)+u^2)dx\\<br />&=&\int_{0}^{\pi}ln (1+2u^2(1-2cos^2x)+u^4)dx\\<br />&=&\int_{0}^{\pi}ln (1-2u^2cos(2x)+u^4)dx<br />\end{eqnarray}$ Aquí hacemos $TEX: $y=2x$$ para obtener $TEX: \begin{eqnarray}<br />2I(u) &=&\frac12\int_{0}^{2\pi}ln (1-2u^2cos(y)+u^4)dy\\<br />4I(u)&=&\int_{0}^{\pi}ln (1-2u^2cos(y)+u^4)dy+\int_{\pi}^{2\pi}ln (1-2u^2cos(y)+u^4)dy\\<br />&=&2\int_{0}^{\pi}ln (1-2u^2cos(y)+u^4)dy<br />\end{eqnarray}$ de donde se obtiene lo pedido. Ahora calculemos $TEX: $I(u)$$ . Es trivial verificar de la definición que $TEX: $I(0)=0$$ . Por otra parte $TEX: $2I(1)=I(1)\Rightarrow I(-1)=I(1)=0$$ . En adelante asumo $TEX: $u>0$$ . Sea $TEX: $u<1$$ . Sigue que $TEX: $1-2u\cos(x)+u^2\geq 1-2u+u^2=(1-u)^2>0$$ y luego la función $TEX: $u\mapsto I(u)$$ es continua en el intervalo [tex=./tex/45776.gif' alt='TEX: $[-\delta,\delta]$'> para <img src='./tex/45777.gif]$0<\delta<1$[/tex] fijo. (TCD) Iterando la igualdad con $TEX: $u^2$$ se llega fácilmente a $TEX: $$I(u)=\frac{1}{2^k}I(u^{(2^k)})$$$ . Haciendo $TEX: $k\rightarrow\infty$$ , la continuidad en cero y el hecho que $TEX: $u<1$$ nos asegura que $TEX: $I(x^{(2^k)})$$ permanece acotado y entonces: $TEX: $$I(u)=\lim_{k\longrightarrow\infty}\frac{1}{2^k}I(u^{(2^k)})=0$$$ Concluimos que $TEX: $\forall~u\in[-1,1]~I(u)=0$$ . Para calcular el caso $TEX: $u>1$$ calcularemos $TEX: $I(\frac{1}{u})$$ (gracias a David por esta idea). $TEX: \begin{eqnarray}<br />I(\frac{1}{u}) &=&\int_{0}^{\pi}ln(1-\frac{2}{u}\cos(x)+\frac{1}{u^2})dx\\<br />&=&\int_{0}^{\pi}ln((u^2-2u\cos(x)+1)\frac{1}{u^2})dx\\<br />&=&I(u)-2\pi\ln(\mid u\mid)\end{eqnarray}<br />$ Luego si $TEX: $u>1$$ entonces $TEX: $\frac{1}{u}<1$$ por lo que $TEX: $I(\frac{1}{u})=0$$ de donde $TEX: $I(u)=2\pi\ln(\mid u\mid)$$ . Solucion simplemente impecable...claro que algunos detalles mas elementales estan omitidos y creo util que queden propuestos para el atento lector. Mis mas sinceras felicitaciones, todo impecable y esa ultima idea era solo una partecita de todo lo hecho...asi que el merito es tuyo Solo me queda por dar la solucion final del problema...que seria (resumiendo lo dicho por Mauro): $TEX: \begin{equation}<br />I(u)=\begin{cases}<br />0& \text{Si $\|u\|\le 1$}\\<br />2\pi ln(\|u\|)& \text{Si $\|u\|>1$}<br />\end{cases}<br />\end{equation}<br />$ Asi da gusto revisar las soluciones PD: A seguir resolviendo mas desafios..jejeje -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

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