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Desafio Algebraico, Resuelto por Guía Rojo [básico]

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Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 19 2005, 10:10 PM Publicado: #1
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Problemita Si $TEX: \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0$ , demostrar que el producto de $TEX: \frac{a^2-bc}{b+c}+\frac{b^2-ca}{c+a}+\frac{c^2-ab}{a+b}$ por $TEX: \frac{b+c}{a^2-bc}+\frac{c+a}{b^2-ca}+\frac{a+b}{c^2-ab}$ es igual a $TEX: 3\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}$ -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 30 2005, 03:23 AM Publicado: #2
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Hint: Traten de probar que: $TEX: $\displaystyle \frac{a^2-bc}{b+c}=-(a+b+c)\frac{a^3}{abc}$$ Les puede ser de utilidad el hecho de que $TEX: $bc=-a(b+c)$$ Saludos PD:Puse un hint a peticion de uno de los usuarios del foro(el que la sigue la consigue) -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Guía Rojo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 30 2005, 02:44 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 903 Registrado: 28-May 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 69 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	David prácticamente puso la respuesta... De acuerdo a esa igualdad, se tiene: $TEX: $\displaystyle\frac{a^2-bc}{b+c}=\displaystyle\frac{a^2+a(b+c)}{bc}=(a+b+c)\displaystyle\frac{a}{b+c}$$ Se tiene (de acuerdo al hint): $TEX: $b+c=\displaystyle\frac{-bc}{a}$$ Entonces: $TEX: $(a+b+c)\displaystyle\frac{a}{b+c}=-(a+b+c)\displaystyle\frac{a^2}{bc}=-(a+b+c)\displaystyle\frac{a^3}{abc}$$ Análogamente se demuestra: $TEX: $\displaystyle\frac{b^2-ca}{c+a}=-(a+b+c)\displaystyle\frac{b^3}{abc}$$ $TEX: $\displaystyle\frac{c^2-ab}{a+b}=-(a+b+c)\displaystyle\frac{c^3}{abc}$$ Entonces, la suma de los tres términos del primer factor es: $TEX: $\displaystyle\frac{a^2-bc}{b+c}+\displaystyle\frac{b^2-ca}{c+a}+\displaystyle\frac{c^2-ab}{a+b}=-(a+b+c)\displaystyle\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}$$ De la primera igualdad obtenida en esta demostración, se tiene que: $TEX: $\displaystyle\frac{b+c}{a^2-bc}=\displaystyle\frac{1}{a+b+c}\displaystyle\frac{b+c}{a}$$ Análogamente: $TEX: $\displaystyle\frac{c+a}{b^2-ca}=\displaystyle\frac{1}{a+b+c}\displaystyle\frac{c+a}{b}$$ $TEX: $\displaystyle\frac{a+b}{c^2-ab}=\displaystyle\frac{1}{a+b+c}\displaystyle\frac{a+b}{c}$$ Entonces, la suma de los tres términos del segundo factor es: $TEX: $\displaystyle\frac{b+c}{a^2-bc}+\displaystyle\frac{c+a}{b^2-ca}+\displaystyle\frac{a+b}{c^2-ab}=\displaystyle\frac{1}{a+b+c}\left(a\left(\displaystyle\frac{1}{b}+\displaystyle\frac{1}{c}\right)+b\left(\displaystyle\frac{1}{c}+\displaystyle\frac{1}{a}\right)+c\left(\displaystyle\frac{1}{a}+\displaystyle\frac{1}{b}\right)\right)=$$ $TEX: $=\displaystyle\frac{1}{a+b+c}\left(a\left(\displaystyle-\frac{1}{a}\right)+b\left(\displaystyle-\frac{1}{b}\right)+c\left(\displaystyle-\frac{1}{c}\right)\right)=\displaystyle\frac{-3}{a+b+c}$$ Multiplicando el primer factor por el segundo (lo pedido en el enunciado): $TEX: $\left(\displaystyle\frac{a^2-bc}{b+c}+\displaystyle\frac{b^2-ca}{c+a}+\displaystyle\frac{c^2-ab}{a+b}\right)\left(\displaystyle\frac{b+c}{a^2-bc}+\displaystyle\frac{c+a}{b^2-ca}+\displaystyle\frac{a+b}{c^2-ab}\right)=$$ $TEX: $=\left(-(a+b+c)\displaystyle\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}\right)\left(\displaystyle\frac{-3}{a+b+c}\right)=3\displaystyle\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}$$ Guía Rojo -------------------- Bachiller en Ciencias (ex) Estudiante de Medicina Estudiante de Ingeniería Civil de Industrias, diploma en Ingeniería Matemática Pontificia Universidad Católica de Chile "El espíritu del matemático busca la belleza del pensamiento, y esa va de la mano con la filosofía."* - Héctor Hardy Pastén Vásquez "¿Qué te hace pensar que si tienes dos elementos de un conjunto con otros dos elementos de otro conjunto se origina uno nuevo con cuatro? Es sólo el sentido común, no te imaginas que los elementos aparecen de la nada, pero resulta que con el sólo hecho de cuestionar el sentido común, se podría afirmar que cuando juntas cuatro elementos aparecen miles de elementos más. Y si lo demuestras, todo se basa en la razón." - Alonso Duque Vega, razonador por excelencia $TEX: $S=1+dfrac{1}{2}+dfrac{1}{3}+dfrac{1}{4}+dfrac{1}{5}+ldots$$ Esta serie converge! He encontrado una maravillosa demostración de esto, pero no cabe en la estrechez de esta firma...

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 3 2006, 10:58 PM Publicado: #4
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Una de tus soluciones mas hermosamente explicadas y hecha con Latex.... Mis Felicitaciones....realmente quedo de lujo tu explicacion... Se pasa gustosamente a problemas resueltos Saludos -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

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