Primer Nivel Individual Opciones

[S. E. Puelma Moy...]

Problema 1 En un colegio hay estudiantes. Se sabe que es capicúa. Además, si los alumnos se forman en filas de a 3, entonces en la última fila quedan 2 alumnos. Si se forman en filas de a 4, quedan 3 alumnos en la última fila. Finalmente, si se forman en filas de a 5, quedan 5 en la última fila. Determine el valor de

Problema 2: Considere los círculos , que no se intersecan. En el círculo hay 6 puntos, en el círculo hay 12 puntos, en el círculo hay 18 puntos y en el círculo hay 24 puntos. ¿Cuántos cuadriláteros se pueden dibujar uniendo un punto de cada círculo?

[Corecrasher]

SOLU:

Veamos un caso mas simple , sean 4 circunferencias con 1 , 2 , 3 y 4 puntos respectivamente , para formar todos los cuadrilateros posibles nos damos cuenta que debemos unir cada con todos sus posibles vecinos de esta forma:


screen.width*0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width*0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaño original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img234.echo.cx/img234/37/dibujitosadasd7sw.jpg');}" />


Nos damos cuenta que si el 1 vertice puede unirse con 2 puntos , son 2 posibles cuadrilateros , luego al de 4 , son 2 x 4 cuadrilateros , y luego al unir al de 3 , son 2x4x3 cuadrilateros posibles ; Conclusion , los cuadrilateros posibles son el producto de los puntos de cada circunferencia.

Asi el nº de cuadrilateros posibles sera 6x12x18x24 = 31104.

Bytez ^^

[Corecrasher]

P1) Se sabe por enunciado que el número es múltiplo de 5 , por lo tanto puede terminar en 5 o en 0 , eliminamos la segunda opción ya que ningún número puede empezar en 0 (Ademas si fuera el número ,por ejemplo , 0330 , seria en realidad 330 , el cual no es capicúa). Notamos que único caso posible con dos cifras seria el 55 que no cumple las condiciones del enunciado.Tambien se sabe que la suma de los digitos de nuestro numero capicua no puede ser multiplo de 3(pues el numero debe dejar resto 2 al dividirlo por 3), asi que se elimina la opcion 5115 , 5445 , 5775. Nos quedan las opciones 5005 , 5225 , 5335, 5555, 5665 , 5885 y 5995 los cuales al dividirse por 3 deben dejar resto 2 y al dividirse por 4 resto 3. Luego de probar podemos decir que 5005 no puede ser ya que al dividirse por 3 deja resto 1 , 5225 tampoco ya que al dividirse por 4 deja resto 1 , 5335 tampoco ya que al dividirse por 3 deja resto 1 , 5665 tampoco ya que al ser dividido por 3 deja resto 1 , 5885 tampoco ya que al ser dividido por 4 deja resto 1 y 5995 tampoco ya que al ser dividido por 3 deja resto 1. Por tanto el numero posible de alumnos es el 5555. Sien embargo podemos encontrar soluciones mas pequeñas del número y muchas mas grandes que solo suplan ser de la forma k donde k=2(mod3) y k=3(mod4) , en el caso del mas pequeño sabemos que los posibles son 515 , 525, 535,545,555,565,575,585,595,505 ; de los cuales automaticamente 8) eliminamos los multiplos de 3 que son el 525 , 555 , 585. Y los que no dejan resto 2 al dividirlos por 3 son 505 (ya que 10 - 1 es div. por 3) 535 (ya que 13-1 es div. por 3) 565 (ya que 16 - 1 es div. por 3) 595 (ya que 19-1 es div. por 3) ; se descarta el 545 ya que 545 - 1 es div. por 4. Por lo tanto los numeros que suplen lo pedido son el 515 , 575 y 595.

^^u , Saludos!

[S. E. Puelma Moy...]

El problema 2 esencialmente está bueno. En cuanto al problema 1, cuando dicen que el número es capicúa, quiere decir que se lee de la misma forma de izquierda a derecha, o viceversa. Sin embargo eso no descarta números de tres cifras, por ejemplo 969 es capicúa. Lo que te faltó en este caso fue estudiar la posibilidad de hallar otras soluciones, y en este caso hay más soluciones, incluso más pequeñas.

Más allá de esos detalles, no queda más que felicitarte. Preocúpate de editar tus soluciones para reparar estos detallitos

[paz lamperein]

cual seria la respuesta correcta al problema 1

[Kaissa]

no te diste el trabajo de leer la solución publicada, veo.

[Zefidu]

Parece que tampoco leíste que la solución estaba incompleta :3

[Kaissa]

problema con hartas soluciones... qué sorpresa...

[Laulieth´]

El P.1

Sea , los estudiantes se cumplirá que: , y . Calramente son coprimos. Luego por el teorema chino del resto el sistema tiene solución.

Hagamos . Reemplazando en la segunda congruencia , reduciendo ésto último se tiene . Ahora bien, hagamos y reemplazemos éste valor en . Así pues, . Reemplazemos éste valor en la tercera congruencia, entonces, . Claramente , entonces . Reemplazemos éste valor en . Luego o bien .

Ahora viene el problema . Dándole arbitrariamente un par de valores a . Por ejemplo, para se obtienen los valores y , los cuales claramente con capicúa. No he podido generalizar este resultado, por ejemplo para un capicúa de la forma .

Si algún pro me diéra una mano sería buenísimo xD.

Saludos