Desafio I Opciones

[Rurouni Kenshin]

Problemita

[hola]

Vemos que f es estrictamente creciente pues f´(x) > 0 para todo x.
f´(x) --> 0 cuando x-->+ 00 , luego f converge cuando x--> +00 ( Si no convergiese , sólo sería por divergencia a +00, pero como f´(x) converge a cero, se asegura el acotamiento).
Sea L = lim f(x) (x-->+00)

Como f es estrictamente creciente , se tiene que
f´(x) = 1 / ( x^2 + (f(x))^2) < 1 / ( x^2 +1) ( f(1) = 1 ) ( para x mayor que 1)
Como ambas funciones son positivas , integramos entre M y 1 , y se mantiene la desigualdad.

f(M) - f(1) <arctan (M) - arctan (1)
<-->
f(M) <arctan (M) - ∏/4 + 1
y finalmente tomando límite cuando M--> +00
L < ∏/2 - ∏/4 + 1 = 1 + ∏/4.

[Rurouni Kenshin]

Holas a "hola"
Tu solucion esta basicamente correcta....solo algunos detalles creo que incluso estan de mas y no los explicaste adecuadamente(aunque la verdad estan de mas pues con lo que escribiste ya tienes casi todo bueno)

f´(x) --> 0 cuando x-->+ 00 , luego f converge cuando x--> +00 ( Si no convergiese , sólo sería por divergencia a +00, pero como f´(x) converge a cero, se asegura el acotamiento).

Esta afirmacion no lo demostraste...de hecho..estas seguro que se cumple?...bueno...igual esta de mas pues despues igual puedes concluir la convergencia de f.

Como f es estrictamente creciente , se tiene que
f´(x) = 1 / ( x^2 + (f(x))^2) < 1 / ( x^2 +1) ( f(1) = 1 ) ( para x mayor que 1)
Como ambas funciones son positivas , integramos entre M y 1 , y se mantiene la desigualdad.

Excelente...de hecho aqui esta lo creativo de este problema.

f(M) - f(1) <arctan (M) - arctan (1)
<-->
f(M) <arctan (M) - ∏/4 + 1

Impecable...

Aca en vez de tomar limites,puedes afirmar que (esto se cumple para todo M real)
Luego esta acotada y es creciente,por lo cual converge y su limite es inferior a la cota ya dicha.

Saludos y felicitaciones....te recomendaria registrarte y asi podremos llamarte por tu nombre y podremos conocerte mejor,tendras la opcion de mandar MP y podras ver los sectores que estan ocultos para los usuarios invitados.
Tambien te recomiendo que leas el manual de latex para poder escribir bonitas tus soluciones(como usuario registrado puedes editar tus soluciones y si despues quisieras postear este mismo problema pero mas "bonito" no tengo ningun problema y te borro este y te dejo el ultimo.
Y ademas puedes subir de rango

Manual de Latex:
http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=1339 (lo mas basico)

http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=1342(aqui mas detalles)

http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=1315(aqui para practicar lo aprendido)