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I1 Cálculo I, MAT1503 2S 2007

EnnaFrad Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 4 2007, 01:28 AM Publicado: #1
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 121 Registrado: 6-December 05 Desde: Las Condes - Chillán Miembro Nº: 460 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: <br />$ $\\<br />MAT1503 - Interrogaci\'on 1 \\<br />7 de Septiembre de 2007 \\<br />$ $ \\<br />$\boxed{1}$ a) Demuestre que para todo $a,b \in \mathbb{R}$ \\<br />$$\left\| \|a\| - \|b\| \right \| \le \| a-b \|$$ \\<br />b) Resuelva la siguiente inecuaci\'on: \\<br />$$\sqrt{\|\|x-2\|-1\|-3} < 4$$ \\<br />$ $ \\<br />$\boxed{2}$ Sea $a > 0$. Demuestre que la siguiente funci\'on es inyectiva: \\<br />$$f(x)=\begin{cases}<br />\dfrac{x}{x^2+a}&\text{si } \|x\| < \sqrt{a}\\<br />\frac{x}{2a} &\text{si } \sqrt{a} \le \|x\|<br />\end{cases}$$ \\<br />$ $ \\<br />b) Sea $p(x) = x^5 + ax^3 + bx +1$. Determine $a$ y $b$ de manera tal que al dividir $p(x)$ por $x^2-3x+2$, el resto sea $x+1+2a+3b$. \\<br />$ $ \\<br />$\boxed{3}$ Sea $ \left\{ {a_n } \right\}_{n=1}^\infty$ una sucesi\'on de n\'umeros reales tal que $3a_{n+1} - a_n = 3a_1 - 3$ \\<br />$ $ \\<br />b) Sea $b_n = a_{n+1} - a_n$. Demuestre que $ \left\{ {b_n } \right\}_{n=1}^\infty$ es una P.G. Determine la raz\'on y el primer t\'ermino.\\<br />$ $ \\<br />$\boxed{4}$ a) Calcule la suma de los n'umeros naturales que no son m\'ultiplos de 6, no son m\'ultiplos de 5, son mayores o iguales a 30 y menores o iguales a 9000. \\<br />$ $ \\<br />b) Calcule \\<br />$$\sum\limits_{k=0}^n \left[\dfrac{1}{(k+1)(k+2)(k+3)} \left( {\begin{array}{{20}c}<br /> n \\<br /> k \\<br /> \end{array} } \right) \right] $$<br />$ Mensaje modificado por EnnaFrad* el Oct 4 2007, 01:29 AM

caf_tito Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 26 2008, 10:18 AM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 1.605 Registrado: 25-June 05 Miembro Nº: 123 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \left\| x \right\|\left\{ \begin{gathered}<br /> - x{\text{ Si }}x < 0 \hfill \\<br /> x{\text{ Si }}x > 0 \hfill \\ <br />\end{gathered} \right. \hfill \\<br /> {\text{De esto es inmediato que}} \hfill \\<br /> - \left\| x \right\| \leqslant x \leqslant \left\| x \right\| \hfill \\<br /> {\text{Y de lo expuesto al comienzo podemos demostrar}} \hfill \\<br /> {\text{Si }}y \geqslant 0 \Rightarrow - y \leqslant \left\| x \right\| \leqslant y \hfill \\<br /> {\text{Aplicando estos dos ultimos resultados se obtiene}} \hfill \\<br /> \left\| {a + b} \right\| \leqslant \left\| a \right\| + \left\| b \right\| \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ Con éstos resultados previos estamos en condiciones de resolver el 1) a Solución: $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{Por el resultado anterior se sabe que}} \hfill \\<br /> \left\| {a - b + b} \right\| \leqslant \left\| {a - b} \right\| + \left\| b \right\| \hfill \\<br /> \left\| a \right\| - \left\| b \right\| \leqslant \left\| {a - b} \right\| \hfill \\<br /> {\text{Analogamente}} \hfill \\<br /> \left\| b \right\| - \left\| a \right\| \leqslant \left\| {a - b} \right\| \Rightarrow - \left\| {a - b} \right\| \leqslant \left\| a \right\| - \left\| b \right\| \hfill \\<br /> {\text{O sea}} \hfill \\<br /> - \left\| {a - b} \right\| \leqslant \left\| a \right\| - \left\| b \right\| \leqslant \left\| {a - b} \right\| \hfill \\<br /> {\text{Aplicamos }} \hfill \\<br /> \left\| {\left\| a \right\| - \left\| b \right\|} \right\| \leqslant \left\| {a - b} \right\| \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ $TEX: \[<br />{\text{ Si }}y \geqslant 0,{\text{ Entonces }}\left\| x \right\| \leqslant y \Leftrightarrow - y \leqslant x \leqslant y<br />\]$ No demostré todas las propiedades que usé porque o sino me iba a alargar mucho. Mensaje modificado por caf_tito el Feb 26 2008, 10:23 AM --------------------

Bazikstano Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 28 2008, 12:27 PM Publicado: #3
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 337 Registrado: 14-March 06 Desde: Osorno Miembro Nº: 625 Nacionalidad: Sexo:	oye cat_fito si te gustan tanto las matemáticas, tienes tantas habilididades y haces ejercicios en el verano ...¿por qué estudiarás medicina? Te lo digo en buena. -------------------- Mi pc es mejor que el tuyo El cancer mato a mi abuelo, pero el folding le vengara ¿Recorrer la Panamericana? ¡Click en la foto!

Guía Rojo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 30 2008, 03:04 AM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 903 Registrado: 28-May 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 69 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(EnnaFrad @ Oct 4 2007, 02:22 AM) $TEX: \noindent $\boxed{3}$ Sea $ \left\{ {a_n } \right\}_{n=1}^\infty$ una sucesi\'on de n\'umeros reales tal que $3a_{n+1} - a_n = 3a_1 - 3$ \\<br />$ $ \\<br />Sea $b_n = a_{n+1} - a_n$. Demuestre que $ \left\{ {b_n } \right\}_{n=1}^\infty$ es una P.G. Determine la raz\'on y el primer t\'ermino.\\<br />$ $TEX: \noindent $\dfrac{b_{n+1}}{b_n}=\dfrac{9b_{n+1}}{9b_n}=\dfrac{9a_{n+2}-9a_{n+1}}{9a_{n+1}-9a_n}=\dfrac{(3a_{n+1}+9a_1-9)-(3a_n+9a_1-9)}{(3a_n+9a_1-9)-9a_n}=$\\<br />\\<br />$=\dfrac{3a_{n+1}-3a_n}{-6a_n+9a_1-9}=\dfrac{(a_n+3a_1-3)-3a_n}{3\cdot (-2a_n+3a_1-3)}=\dfrac{-2a_n+3a_1-3}{3\cdot (-2a_n+3a_1-3)}=\dfrac{1}{3}$$ $TEX: $b_1=a_2-a_1=\dfrac{1}{3}(a_1+3a_1-3)-a_1=\dfrac{1}{3}a_1-1$$ ahora, respondiéndole a Bazikstano, qué tienen que ver sandías con choclos? una cosa es ver la matemática como un arte del que se puede disfrutar en tiempos libres de igual forma que la música, y otra es estudiar algo que la involucre a cabalidad.. y ahora está en la carrera más linda que existe saludos -------------------- Bachiller en Ciencias (ex) Estudiante de Medicina Estudiante de Ingeniería Civil de Industrias, diploma en Ingeniería Matemática Pontificia Universidad Católica de Chile "El espíritu del matemático busca la belleza del pensamiento, y esa va de la mano con la filosofía." - Héctor Hardy Pastén Vásquez "¿Qué te hace pensar que si tienes dos elementos de un conjunto con otros dos elementos de otro conjunto se origina uno nuevo con cuatro? Es sólo el sentido común, no te imaginas que los elementos aparecen de la nada, pero resulta que con el sólo hecho de cuestionar el sentido común, se podría afirmar que cuando juntas cuatro elementos aparecen miles de elementos más. Y si lo demuestras, todo se basa en la razón." - Alonso Duque Vega, razonador por excelencia $TEX: $S=1+dfrac{1}{2}+dfrac{1}{3}+dfrac{1}{4}+dfrac{1}{5}+ldots$$ Esta serie converge! He encontrado una maravillosa demostración de esto, pero no cabe en la estrechez de esta firma...

Guía Rojo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 30 2008, 03:48 AM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 903 Registrado: 28-May 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 69 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(EnnaFrad @ Oct 4 2007, 02:22 AM) $TEX: \noindent $\boxed{4}$ a) Calcule la suma de los n\'umeros naturales que no son m\'ultiplos de 6, no son m\'ultiplos de 5, son mayores o iguales a 30 y menores o iguales a 9000. \\<br />$ $ \\<br />b) Calcule \\<br />$$\sum\limits_{k=0}^n \left[\dfrac{1}{(k+1)(k+2)(k+3)} \left( {\begin{array}{{20}c}<br /> n \\<br /> k \\<br /> \end{array} } \right) \right] $$<br />$ $TEX: \noindent (a)\\<br />La suma corresponde a $\displaystyle{\sum_{k=30}^{9000}k-\left(\sum_{k=6}^{1800}5k+\sum_{k=5}^{1500}6k-\sum_{k=1}^{300}30k\right)}$ . Basta leerla bien para entender por qu\'e.\\<br />\\<br />$\displaystyle{\sum_{k=30}^{9000}k-\left(\sum_{k=6}^{1800}5k+\sum_{k=5}^{1500}6k-\sum_{k=1}^{300}30k\right)}=\displaystyle{\sum_{k=30}^{9000}k-\left(5\sum_{k=6}^{1800}k+6\sum_{k=5}^{1500}k-30\sum_{k=1}^{300}k\right)}$\\<br />\\<br />\\<br />$=\dfrac{9000\cdot 9001-29\cdot 30}{2}-\left(5\dfrac{1800\cdot 1801-5\cdot 6}{2}+6\dfrac{1500\cdot 1501-4\cdot 5}{2}-30\dfrac{300\cdot 301}{2}\right)$\\<br />\\<br />$=\dfrac{9000\cdot 9001}{2}-435-\dfrac{9000\cdot 1801}{2}+75-\dfrac{9000\cdot 1501}{2}+60+\dfrac{9000\cdot 301}{2}$\\<br />\\<br />$=\dfrac{9000\cdot (9001-1801-1501+301)}{2}-300=\dfrac{9000\cdot 6000}{2}-300$\\<br />\\<br />$=300\cdot (90000-1)=26999700=2^2\cdot 3\cdot 5^2\cdot 7\cdot 13\cdot 23\cdot 43$$ $TEX: \noindent (b)\\<br />$\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\left[\dfrac{1}{(k+1)(k+2)(k+3)}\binom{n}{k}\right]=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\left[\dfrac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}\binom{n+3}{k+3}\right]$\\<br />\\<br />$=\dfrac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}\displaystyle\sum_{k=3}^{n+3}\binom{n+3}{k}=\dfrac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}\left[2^{n+3}-\displaystyle\sum_{k=0}^{2}\binom{n+3}{k}\right]$\\<br />\\<br />$=\dfrac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}\left[2^{n+3}-1-(n+3)-\dfrac{(n+3)(n+2)}{2}\right]$\\<br />\\<br />$=\dfrac{2^{n+3}-1}{(n+1)(n+2)(n+3)}-\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}-\dfrac{1}{2(n+1)}$$ -------------------- Bachiller en Ciencias (ex) Estudiante de Medicina Estudiante de Ingeniería Civil de Industrias, diploma en Ingeniería Matemática Pontificia Universidad Católica de Chile "El espíritu del matemático busca la belleza del pensamiento, y esa va de la mano con la filosofía."* - Héctor Hardy Pastén Vásquez "¿Qué te hace pensar que si tienes dos elementos de un conjunto con otros dos elementos de otro conjunto se origina uno nuevo con cuatro? Es sólo el sentido común, no te imaginas que los elementos aparecen de la nada, pero resulta que con el sólo hecho de cuestionar el sentido común, se podría afirmar que cuando juntas cuatro elementos aparecen miles de elementos más. Y si lo demuestras, todo se basa en la razón." - Alonso Duque Vega, razonador por excelencia $TEX: $S=1+dfrac{1}{2}+dfrac{1}{3}+dfrac{1}{4}+dfrac{1}{5}+ldots$$ Esta serie converge! He encontrado una maravillosa demostración de esto, pero no cabe en la estrechez de esta firma...

.Bu. Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 30 2008, 07:26 PM Publicado: #6
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 39 Registrado: 30-March 08 Miembro Nº: 18.500 Nacionalidad: Sexo:	Alguien hizo el ejercicio b del item 1?... A mí me dio ]-17, -1] U [6, 22[... pero necesito la respuesta correcta para confirmar mi resultado. Muchas gracias.

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 30 2008, 07:39 PM Publicado: #7
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	El intervalo solución es $TEX: $]-18,-2[\,\cup\,]6,22[,$$ es decir, estuviste casi casi

.Bu. Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 30 2008, 07:43 PM Publicado: #8
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 39 Registrado: 30-March 08 Miembro Nº: 18.500 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Krizalid @ Mar 30 2008, 08:33 PM) El intervalo solución es $TEX: $]-18,-2[\,\cup\,]6,22[,$$ es decir, estuviste casi casi Muchas gracias... revisaré mi error!... Saludos

enAs Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 31 2008, 05:04 PM Publicado: #9
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 19 Registrado: 24-March 07 Miembro Nº: 4.697 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(Krizalid @ Mar 30 2008, 08:33 PM) El intervalo solución es $TEX: $]-18,-2[\,\cup\,]6,22[,$$ es decir, estuviste casi casi Me dio lo mismo Alguien puede hacer el 2 porfa O postear el resultado. Y ademas postear tambien la demostracion de la inyectividad de esa funcion. Gracias. Mensaje modificado por enAs el Mar 31 2008, 05:04 PM

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