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C1 Cálculo I, MAT1503 2S 2007

XaPi Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 15 2008, 07:47 PM Publicado: #11
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.872 Registrado: 9-March 06 Desde: Welcome Miembro Nº: 614 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \boxed{A3}$ es aplicar el significado de la composicion de funciones. $TEX: $f\circ g (x) = f(g(x)) = 3g(x) + 2$$ y esto tiene que ser igual a cada parte de la funcion, dependiendo del valor de x. Puedes continuar? Saludos PD: Si te vence la curiosidad... Para $TEX: $x<2$$ , se necesita que $TEX: $3g(x) - 2 = x + \|x-2\| \implies g(x) =\dfrac{x + \|x-2\| + 2}{3}$$ Análogamente, si $TEX: $x\ge2$$ se tiene que $TEX: $3g(x) - 2 = \sqrt{x^2-4x+5} \implies g(x) = \dfrac{\sqrt{x^2-4x+5} + 2}{3}$$ $TEX: \[<br />g(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}<br /> {\frac{{x + \|x - 2\| + 2}}<br />{3}} & {x < 2} \\<br /> {\frac{{\sqrt {x^2 - 4x + 5} }}<br />{3}} & {x \geqslant 2} \\<br /><br /> \end{array} } \right.<br />\]<br />$ -------------------- USA MAPLE ANTES QUE L'HOPITAL!!!! --- fan ----------------- CURRICULUM VITAE ----------------- 296 pts en la PSU de Matemáticas Admisión 2010. Estudiante de Primer Año de Licenciatura en Historia, Ciencias Sociales y Filosofía Jurídica U. de Talca VII Region Chile

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 15 2008, 07:52 PM Publicado: #12
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(XaPi @ Mar 15 2008, 08:41 PM) $TEX: \boxed{A3}$ es aplicar el significado de la composicion de funciones. $TEX: $f\circ g (x) = f(g(x)) = 3g(x) + 2$$ y esto tiene que ser igual a cada parte de la funcion, dependiendo del valor de x. Puedes continuar? Saludos PD: Si te vence la curiosidad... Para $TEX: $x<2$$ , se necesita que $TEX: $3g(x) - 2 = x + \|x-2\| \implies g(x) =\dfrac{x + \|x-2\| + 2}{3}$$ Análogamente, si $TEX: $x\ge2$$ se tiene que $TEX: $3g(x) - 2 = \sqrt{x^2-4x+5} \implies g(x) = \dfrac{\sqrt{x^2-4x+5} + 2}{3}$$ $TEX: \[<br />g(x) = \left\{ {\begin{array}{{20}c}<br /> {\frac{{x + \|x - 2\| + 2}}<br />{3}} & {x < 2} \\<br /> {\frac{{\sqrt {x^2 - 4x + 5} }}<br />{3}} & {x \geqslant 2} \\<br /><br /> \end{array} } \right.<br />\]<br />$ No entendí mucho, pero aer si el concepto es el mismo. Yo pensé que ya que tengo $TEX: $(fog)(x)$$ y $TEX: $f(x)$$ , entonces puedo determinar $TEX: $f^{-1}(x)$$ y combinarla con $TEX: $(fog)(x)$$ para obtener $TEX: $g(x)$$ . Esta bien? -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation*}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

XaPi Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 15 2008, 09:47 PM Publicado: #13
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.872 Registrado: 9-March 06 Desde: Welcome Miembro Nº: 614 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Abu-Khalil @ Mar 15 2008, 09:46 PM) No entendí mucho, pero aer si el concepto es el mismo. Yo pensé que ya que tengo $TEX: $(fog)(x)$$ y $TEX: $f(x)$$ , entonces puedo determinar $TEX: $f^{-1}(x)$$ y combinarla con $TEX: $(fog)(x)$$ para obtener $TEX: $g(x)$$ . Esta bien? Es aplicar la definicion nomas, no hay mucho que entender (bueno, hay que entender la definicion ) pero si, es lo mismo, gracias a la funcion f(x) que te dieron Saludos -------------------- USA MAPLE ANTES QUE L'HOPITAL!!!! --- fan ----------------- CURRICULUM VITAE ----------------- 296 pts en la PSU de Matemáticas Admisión 2010. Estudiante de Primer Año de Licenciatura en Historia, Ciencias Sociales y Filosofía Jurídica U. de Talca VII Region Chile

Guía Rojo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 16 2008, 03:12 AM Publicado: #14
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 903 Registrado: 28-May 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 69 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(EnnaFrad @ Oct 4 2007, 01:36 AM) $TEX: \noindent Determine los valores de $a \in \mathbb{R}$ tal que para todo $x$ e $y$ en $\mathbb{R}$ \\<br />$$(x^2 + ax +1)y^2 + (x+a)y +1 > 0$$$ $TEX: \noindent la expresi\'on equivale a $\left[\left(x+\dfrac{a}{2}\right)y+\dfrac{1}{2}\right]^2+y^2\left(1-\dfrac{a^2}{4}\right)+y\cdot \dfrac{a}{2}+\dfrac{3}{4}$\\<br />\\<br />como $\left[\left(x+\dfrac{a}{2}\right)y+\dfrac{1}{2}\right]^2\ge 0$ , veremos lo que sucede con el resto de la expresi\'on\\<br />\\<br />necesitamos $f(y)=y^2\left(1-\dfrac{a^2}{4}\right)+y\cdot \dfrac{a}{2}+\dfrac{3}{4}>0$ : el coeficiente de $y^2$ no puede ser negativo, pues la funci\'on ser\'ia estrictamente decreciente en el intervalo $[\frac{a}{a^2-4},\infty [$, por lo que existir\'ia $y_0$ tal que $f(y_0)\le 0$ ; ni tampoco puede ser cero, pues $f(y)$ ser\'ia una recta de pendiente $\pm 1$, y claramente existir\'ia $y_0$ tal que $f(y_0)\le 0$\\<br />\\<br />luego, imponemos la condici\'on $1-\dfrac{a^2}{4}>0$ , con lo que $\sqrt{4-a^2}$ est\'a definido en $\mathbb{R}^+$\\<br />\\<br />$f(y)=\left(\dfrac{\sqrt{4-a^2}}{2}y+\dfrac{a}{2\sqrt{4-a^2}}\right)^2+\dfrac{3}{4}-\dfrac{a^2}{4(4-a^2)}$\\<br />\\<br />como $\left(\dfrac{\sqrt{4-a^2}}{2}y+\dfrac{a}{2\sqrt{4-a^2}}\right)^2\ge 0$ , veremos el resto de la expresi\'on\\<br />\\<br />se necesita $\dfrac{3}{4}-\dfrac{a^2}{4(4-a^2)}>0$, lo que se cumple para $-\sqrt{3}<a<\sqrt{3}$\\<br />\\<br />por tanto, el intervalo $]-\sqrt{3},\sqrt{3}[$ es soluci\'on del problema, ya que satisface los valores que debe tomar $a$ para que la expresi\'on inicial sea positiva para cualesquiera $x,y$ reales$ saludos Mensaje modificado por Guía Rojo el Mar 16 2008, 03:16 AM -------------------- Bachiller en Ciencias (ex) Estudiante de Medicina Estudiante de Ingeniería Civil de Industrias, diploma en Ingeniería Matemática Pontificia Universidad Católica de Chile "El espíritu del matemático busca la belleza del pensamiento, y esa va de la mano con la filosofía." - Héctor Hardy Pastén Vásquez "¿Qué te hace pensar que si tienes dos elementos de un conjunto con otros dos elementos de otro conjunto se origina uno nuevo con cuatro? Es sólo el sentido común, no te imaginas que los elementos aparecen de la nada, pero resulta que con el sólo hecho de cuestionar el sentido común, se podría afirmar que cuando juntas cuatro elementos aparecen miles de elementos más. Y si lo demuestras, todo se basa en la razón." - Alonso Duque Vega, razonador por excelencia $TEX: $S=1+dfrac{1}{2}+dfrac{1}{3}+dfrac{1}{4}+dfrac{1}{5}+ldots$$ Esta serie converge! He encontrado una maravillosa demostración de esto, pero no cabe en la estrechez de esta firma...

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 16 2008, 09:23 PM Publicado: #15
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(EnnaFrad @ Oct 4 2007, 01:36 AM) $TEX: <br />$ $ \\<br />MAT1503 - Control 1 (A) \\<br />27 de Agosto de 2007 \\<br />$ $ \\<br />$\boxed{A1}$ [2p] Determine los valores de $a \in \mathbb{R}$ tal que para todo $x$ e $y$ en $\mathbb{R}$ \\<br />$$(x^2 + ax +1)y^2 + (x+a)y +1 > 0$$ \\<br />$ $ \\<br />$ "Otra" forma de verlo: $TEX: \noindent Sea $f(y) = (x^2 + ax +1)y^2 + (x+a)y +1$ una función de la forma $f(x)=ax^2+bx+c$, entonces $f(y)>0, \forall y\in\mathbb{R}\iff\triangle_{1}<0$. Mirando $f(y)$ tenemos que<br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />\triangle_{1}&=b^2-4ac\\<br />&=(x+a)^2-4(x^2+ax+1)\cdot 1\\<br />&=x^2+2ax+a^2-4x^2-4ax-4\\<br />\triangle_{1}&=-3x^2-2ax+(a^2-4)\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />Necesitamos también que $\triangle_{1}<0,\forall x\in\mathbb{R}$ y también se puede observar que puede ser $\triangle_{1}$ puede adoptar la forma de $f(x)=ax^2+bx+c$, con $a<0$, lo que representaría una parábola cuyas ramas se abren hacia abajo. Luego si $\triangle_{2}$ es el discriminante de $f(x)$ tal que $\triangle_{2}<0$ entonces $f(x)=\triangle_{1}<0,\forall x\in\mathbb{R}$.\\<br />Entonces procedemos a analizar $\triangle_{2}$\\<br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />\triangle_{2}&=b^2-4ac\\<br />&=(-2a)^2-4(-3\cdot(a^2-4))\\<br />&=4a^2+12a^2-48\\<br />\triangle_{2}&=16a^2-48\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />Recordando que para que se cumple la condición $\iff \triangle_{2}<0$<br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />\triangle_{2}=16a^2-48&<0\\<br />a^2-3&<0\\<br />(a^2+\sqrt{3})(a^2-\sqrt{3})&<0\\<br />\Longrightarrow a\in\mathbb{R}&/a\in\{]-\sqrt{3},\sqrt{3}[\} \\<br />\end{aligned}\end{equation}$ -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

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