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C1 Cálculo I, MAT1503 2S 2007

EnnaFrad Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 4 2007, 12:42 AM Publicado: #1
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 121 Registrado: 6-December 05 Desde: Las Condes - Chillán Miembro Nº: 460 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: <br />$ $ \\<br />MAT1503 - Control 1 (A) \\<br />27 de Agosto de 2007 \\<br />$ $ \\<br />$\boxed{A1}$ [2p] Determine los valores de $a \in \mathbb{R}$ tal que para todo $x$ e $y$ en $\mathbb{R}$ \\<br />$$(x^2 + ax +1)y^2 + (x+a)y +1 > 0$$ \\<br />$ $ \\<br />$\boxed{A2}$ [2p] Resuelva la siguiente inecuaci\'on \\<br />$$ \dfrac {\|x-2\| - \sqrt{3x-6}}{\sqrt{2x^2+x+\|x\|+1}} < 0$$ \\<br />$ $ \\<br />$\boxed{A3}$ Sean $f$ y $g$ funciones tales que \\<br />$$f(x) = 3x-2$$ $$(f o g)(x)=\begin{cases}<br />x + \|x-2\| & \text{si } x < 2\\<br />\sqrt{x^2-4x+5} & \text{si } 2 \le x<br />\end{cases}$$ \\<br />Determine $g(x)$.$ $TEX: <br />$ $ \\<br />MAT1503 - Control 1 (B) \\<br />27 de Agosto de 2007 \\<br />$ $ \\<br />$\boxed{B1}$ [2p] Determine los valores de $a \in \mathbb{R}$ tal que para todo $x$ e $y$ en $\mathbb{R}$ \\<br />$$(x^2 + ax +1)y^2 + (x+a)y +1 > 0$$ \\<br />$ $ \\<br />$\boxed{B2}$ [2p] Resuelva la siguiente inecuaci\'on \\<br />$$ \dfrac {\|x-3\| - \sqrt{x-1}}{\sqrt{2x^2+x+\|x\|+1}} < 0$$ \\<br />$ $ \\<br />$\boxed{B3}$ Sean $f$ y $g$ funciones tales que \\<br />$$f(x) = 3x-2$$ $$(f o g)(x)=\begin{cases}<br />x + \|x-2\| & \text{si } x < 2\\<br />\sqrt{x^2-4x+5} & \text{si } 2 \le x<br />\end{cases}$$ \\<br />Determine $g(x)$. \\<br />$ $ \\<br />$A1 = B1$ \\<br />$A3 = B3$$

ironfrancisco Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 15 2008, 02:26 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 1.333 Registrado: 7-August 06 Desde: Ñuñoa, Santiago Miembro Nº: 1.872 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Alguien que sepa como se resuelve el A2 ojala me corrija para ver si aprendi :s $TEX: \noindent \fbox{Solucion A2}\\<br />\\<br />Resolver: $\dfrac{\|x-2\|-\sqrt{3x-6}}{\sqrt{2x^2+x+\|x\|+1}}<0$\\<br />\\<br />\\<br />\\<br />Primero veremos las restricciones que se nos presentan:\\<br />\\<br />i)$3x-6\geq 0$\\<br />\\<br />$x\geq 2$\\<br />\\<br />ii) $2x^2+x+\|x\|+1\geq 0$\\<br />\\<br />; pero hay dos casos que es si $x>0$ y $x<0$; luego para el primero nos queda:\\<br />\\<br />a)$2x^2+x+x+1>0$\\<br />\\<br />$2x^2+2x+1>0$\\<br />\\<br />pero: $\Delta <0$ entonces se cumple la desigualdad $\forall x \in \mathbb{R}$\\<br />\\<br />luego en el 2do caso: $2x^2+x-x+1>0$\\<br />\\<br />nos queda que tambien se cumple $\forall x \in \mathbb{R}$\\<br />\\<br />Volvemos al ejercicio:\\<br />\\<br />sea $x\geq 2$\\<br />\\<br />$\Longrightarrow \|x-2\|=x+2$\\<br />\\<br />$\Longrightarrow \dfrac{x-2 -\sqrt{3x-6}}{\sqrt{2x^2+x+x+1}}<0$\\<br />\\<br />para que esto ocurra o bien el numerador es positivo y el denominador negativo o viceversa:$ $TEX: \noindent Vemos que si el denominador fuese negativo tendria que cumplirse que:\\<br />\\<br />$\sqrt{2x^2+2x+1}<0$\\<br />\\<br />pero esto no es cierto ya que $\sqrt{a} \geq 0 \forall a \in \mathbb{R}$\\<br />\\<br />luego solo nos queda el caso de que el numerador sea negativo y el denominador sea positivo:\\<br />\\<br />es decir:\\<br />\\<br />$x-2-\sqrt{3x-6}<0$\\<br />\\<br />desarrollando llegamos a que:\\<br />\\<br />$x \in$ ]2,5[\\<br />\\<br />luego entonces la solucion es:\\<br />\\<br />$S=$ ]2,5[<br />$ esta bn???? gracias! -------------------- La practica hace al maestro... Manual de Latex Programa Generador de Latex =) Eres alumno de la PUC?? visita nuestro sector!!! Descarga la PSU nº2 de Fmat (solo usuarios registrados) Agregate al grupo de FMAT en Facebook

enAs Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 15 2008, 02:42 PM Publicado: #3
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 19 Registrado: 24-March 07 Miembro Nº: 4.697 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Una pregunta estaba viendo el desarrollo y llego hasta el punto donde te da lo del discriminante. Me pueden explicar que significa en este tipo de casos cuando el discriminante es negativo 0 o positivo?

ironfrancisco Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 15 2008, 02:44 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 1.333 Registrado: 7-August 06 Desde: Ñuñoa, Santiago Miembro Nº: 1.872 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(enAs @ Mar 15 2008, 03:36 PM) Una pregunta estaba viendo el desarrollo y llego hasta el punto donde te da lo del discriminante. Me pueden explicar que significa en este tipo de casos cuando el discriminante es negativo 0 o positivo? es que como el discriminante me dio negativo graficamente esa parabola nunca corta al eje X, entonces como sabemos que es feliz xD (es decir sus ramas se abren hacia arriba) siempre se cumple la desigualdad, se entiende? salu2 -------------------- La practica hace al maestro... Manual de Latex Programa Generador de Latex =) Eres alumno de la PUC?? visita nuestro sector!!! Descarga la PSU nº2 de Fmat (solo usuarios registrados) Agregate al grupo de FMAT en Facebook

enAs Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 15 2008, 03:03 PM Publicado: #5
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 19 Registrado: 24-March 07 Miembro Nº: 4.697 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Lo desarrolle hasta llegar a (x-5)(x-2) Ahora porque los intervalos no incluyen al 5 y al 2 :S? Soeey que pregunte tanto pero me pierdo en el desarrollo del ejercicio

ironfrancisco Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 15 2008, 03:06 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 1.333 Registrado: 7-August 06 Desde: Ñuñoa, Santiago Miembro Nº: 1.872 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(enAs @ Mar 15 2008, 03:57 PM) Lo desarrolle hasta llegar a (x-5)(x-2) Ahora porque los intervalos no incluyen al 5 y al 2 :S? Soeey que pregunte tanto pero me pierdo en el desarrollo del ejercicio si lo incluyeran seria 0 el numerador y por lo tanto la desigualdad no se cumpliria, caxaste? es que esos 2 numeros t anulan la expresion salu2 -------------------- La practica hace al maestro... Manual de Latex Programa Generador de Latex =) Eres alumno de la PUC?? visita nuestro sector!!! Descarga la PSU nº2 de Fmat (solo usuarios registrados) Agregate al grupo de FMAT en Facebook

Ernesto Piwonka Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 15 2008, 03:46 PM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Gold Mensajes: 874 Registrado: 18-October 07 Desde: The Matrix... Miembro Nº: 11.478 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(ironfrancisco @ Mar 15 2008, 04:20 PM) Alguien que sepa como se resuelve el A2 ojala me corrija para ver si aprendi :s $TEX: \noindent \fbox{Solucion A2}\\<br />\\<br />Resolver: $\dfrac{\|x-2\|-\sqrt{3x-6}}{\sqrt{2x^2+x+\|x\|+1}}<0$\\<br />\\<br />\\<br />\\<br />Primero veremos las restricciones que se nos presentan:\\<br />\\<br />i)$3x-6\geq 0$\\<br />\\<br />$x\geq 2$\\<br />\\<br />ii) $2x^2+x+\|x\|+1\geq 0$\\<br />\\<br />; pero hay dos casos que es si $x>0$ y $x<0$; luego para el primero nos queda:\\<br />\\<br />a)$2x^2+x+x+1>0$\\<br />\\<br />$2x^2+2x+1>0$\\<br />\\<br />pero: $\Delta <0$ entonces se cumple la desigualdad $\forall x \in \mathbb{R}$\\<br />\\<br />luego en el 2do caso: $2x^2+x-x+1>0$\\<br />\\<br />nos queda que tambien se cumple $\forall x \in \mathbb{R}$\\<br />\\<br />Volvemos al ejercicio:\\<br />\\<br />sea $x\geq 2$\\<br />\\<br />$\Longrightarrow \|x-2\|=x+2$\\<br />\\<br />$\Longrightarrow \dfrac{x-2 -\sqrt{3x-6}}{\sqrt{2x^2+x+x+1}}<0$\\<br />\\<br />para que esto ocurra o bien el numerador es positivo y el denominador negativo o viceversa:$ $TEX: \noindent Vemos que si el denominador fuese negativo tendria que cumplirse que:\\<br />\\<br />$\sqrt{2x^2+2x+1}<0$\\<br />\\<br />pero esto no es cierto ya que $\sqrt{a} \geq 0 \forall a \in \mathbb{R}$\\<br />\\<br />luego solo nos queda el caso de que el numerador sea negativo y el denominador sea positivo:\\<br />\\<br />es decir:\\<br />\\<br />$x-2-\sqrt{3x-6}<0$\\<br />\\<br />desarrollando llegamos a que:\\<br />\\<br />$x \in$ ]2,5[\\<br />\\<br />luego entonces la solucion es:\\<br />\\<br />$S=$ ]2,5[<br />$ esta bn???? gracias! A mí me parece que está correcto. Sólo un pequeño detalle: tu restricción ii) debe ser >0 y no mayor o igual. Esto, porque la expresión está en el denominador y por ende no puede ser cero. -------------------- Saludos, EPC http://epiwonka.blogspot.com

ironfrancisco Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 15 2008, 03:57 PM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 1.333 Registrado: 7-August 06 Desde: Ñuñoa, Santiago Miembro Nº: 1.872 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Ernesto Piwonka Carrasco @ Mar 15 2008, 04:40 PM) A mí me parece que está correcto. Sólo un pequeño detalle: tu restricción ii) debe ser >0 y no mayor o igual. Esto, porque la expresión está en el denominador y por ende no puede ser cero. muchas gracias arreglare ese detalle -------------------- La practica hace al maestro... Manual de Latex Programa Generador de Latex =) Eres alumno de la PUC?? visita nuestro sector!!! Descarga la PSU nº2 de Fmat (solo usuarios registrados) Agregate al grupo de FMAT en Facebook

Raskolnikov Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 15 2008, 04:12 PM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Platinum Mensajes: 1.067 Registrado: 11-September 07 Desde: Coquimbo Miembro Nº: 10.097 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	No soy de la PUC, pero estaba tentado de responder... por eso el spoiler. B2 $TEX: $\dfrac{\|x-3\|-\sqrt{x-1}}{\sqrt{2x^2+x+\|x\|+1}}<0$$ Notamos que esto se cumplirá cuando el denominador y el numerador tengan signos contrarios. Pero el denominador, en este caso será siempre positivo y además no existe ninguna restricción para "x" en él pues: $TEX: $2x^2+1>0, \forall x\in \mathbb{R}$$ $TEX: y si $x>0\Rightarrow \|x\|+x>0$$ $TEX: ; y el otro caso si $x\le 0 \Rightarrow \|x\|+x=0$$ $TEX: Luego, $2x^2+x+\|x\|+1>0, \forall x\in \mathbb{R}$$ Ahora entonces, veamos los casos en los que el numerador es negativo. $TEX: La raíz, debe cumplir que $x-1\ge 0 \Rightarrow x\in [1,\infty)$$ $TEX: y por otra parte, la sustracción debe resultar negativa. Entonces: $\|x-3\|<\sqrt{x-1}$$ $TEX: Lo cual se cumple si $x\in (2,5)$$ $TEX: Por tanto, la solución final es: $x\in (2,5)$$ Saludos. -------------------- "¿Qué es la vida? Una ilusión, una sombra, una ficción, y el mayor bien es pequeño: que toda la vida es sueño, y los sueños, sueños son."

enAs Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 15 2008, 04:38 PM Publicado: #10
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 19 Registrado: 24-March 07 Miembro Nº: 4.697 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	A todo esto el A1 y A3 como se desarrollan? Y al hacer el b2 me da que x es mayor o igual a 1. Luego como deberia seguir resolviendolo:S onda pa sacar el \|x-3\|? Mensaje modificado por enAs el Mar 15 2008, 04:45 PM

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