Cuarto Nivel Individual Opciones

[orly]

15 de mayo del 2004

Problema 1. Enontrar el mayor número natural N de modo que cumpla las siguientes condiciones:

(a) [N/3] tiene sus tres cifras iguales;

(b) Existe n perteneciente a los naturales tal que [N/3] = 1+2+...+n.

Nota La expresion [Q] se refiere a la parte entera del número Q.



Problema 2. Consideremos un triángulo equilátero y un punto P dentro del mismo.
Desde P trazamos las perpendiculares a los tres lados de triángulo.







¿Qué figura describen todos los puntos P tales que el ángulo FDE = 90º?

[Nico]

Este problema, me acuerdo, fue el primer problema oficial que enfrente en las olimpíadas...me acuerdo que gasté todo el tiempo disponible para sacarlo...y ahora veo una forma mucho más corta a la q propuse en esa ocasión....ahí les va:

Veamos q nuestro número [N/3] ha de tener sus tres cifras iguales, luego puede escribirse como 111*k ,donde k puede tomar valores naturales desde 1 a 9. Ahora bien, 111*k se puede escribir como 37*3*k, notemos que 37 es un número primo!!(más adelante veremos como afecta esto al problema.
Notemos también que como [N/3] = 1+2+3+...+p, lo podemos expresar de la siguiente manera [N/3]=(p*(p+1))/2 (Suma conocida).
Analicemos ahora lo que tenemos, por una parte sabemos que
[N/3]=37*(3*k), y por otra
[N/3]=(p(p+1))/2
Como 37 es primo, o bien p=37 o bien p+1=37 (no puede ser el producto de dos factores)
Luego, tenemos dos posibilidades [N/3]=(37*38 )/2 ó [N/3]=(36*37)/2, pero claramente, la primera forma no es la correcta pues [N/3] sería 703 y no se cumpliría la primera condición; "afortunadamente" la segunda forma nos entrega un valor para [N/3] de 666, lo que sí cumple con la primera condición(y con la segunda, pues es de la forma (p*(p+1))/2 ).
Finalmente, veamos que N podría ser 1998,1999 o 2000 pues
[1998/3]=[1999/3]=[2000/3]=666
pero como N ha de ser el mayor número q cumpla las condiciones N=2000!!!

esop, pregunten si no se entiende la solución...saludos

[dex]

pk el valor de "p" solo puede tomar los valors 36 o 37 ??
se que es un numero primo, y que solo tiene factores uno y si mismo.. pero en que involucra a "p"??

[S. E. Puelma Moy...]

Nosotros tenemos la igualdad: , donde , y (cualquiera). Nos conviene multiplicar por 2 para obtener:

, o bien:

Como el lado izquierdo de la igualdad es múltiplo de 37, entonces también (es lo mismo). El hecho que 37 sea primo, significa que él debe dividir a uno de los dos factores, o sea:

(en este caso particular no ocurre con ambos a la vez, porque y son consecutivos)

De ahí que o bien , en realidad hay otras opciones como 73, 74, 110, 111, etc. Pero se descartan todas porque dan resultados muy grandes, y no debemos olvidar que debe tener tres cifras

Nota: el símbolo indica divisibilidad, es universal en libros de teoría de números

[dex]

haaa muy bien, ahora entiendo el ejercicio anterior.

vale, me quedo clarito

[El Geek]

Problema 2

Agradecimientos a Heiricar por el pituto de sonidista y publicista, y a Pedantic por sostener la regla, aunqe como las... saludos.