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C1 Cálculo II, 2S 2007 (Secciones 7 y 8)

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EnnaFrad Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 3 2007, 11:21 PM Publicado: #1
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 121 Registrado: 6-December 05 Desde: Las Condes - Chillán Miembro Nº: 460 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: <br />$ $ \\<br />MAT1512 - Control 1 \\<br />$ $ \\<br />$\boxed{1}$ (1,5 puntos c/u) \\<br />(a) Calcule $\displaystyle\int\limits_{-4}^4 (x-5) \sqrt{16-x^2} dx$ \\ <br />(b) Sea $x > 0$ y $f$ una funci\'on continua en los reales. Se define la funci\'on \\<br />$$H(x) = \dfrac{1}{x} \left ( 2+ \displaystyle\int\limits_0^x f(t) dt \right )$$ \\<br />Si $x_0$ es un real positivo tal que $H'(x_0) = 0$, entonces demuestre que \\<br />$$H(x_0) = f(x_0)$$ \\<br />$ $ \\<br />$\boxed{2}$ (3 puntos) \\<br />Sea $I = \displaystyle\int\limits_0^1 \dfrac{e^u}{1+u} du$. Calcule la constante $\lambda $ de manera que \\<br />$$\displaystyle\int\limits_{a-1}^a \dfrac{e^{-x}}{x-a-1} dx = \lambda I $$<br />$

FelipeK Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 26 2007, 01:57 AM Publicado: #2
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 107 Registrado: 22-August 07 Desde: Valparaiso-Castro Miembro Nº: 9.196 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: <br /><br />P1.-<br /><br />(a) Distribuimos la integral de la siguiente manera:\\<br /><br />$\displaystyle \int_{-4}^{4} x \sqrt{16-x^2}dx - \int_{-4}^{4} 5 \sqrt{16-x^2}dx$ \\<br /><br />La funcion de la integral de la izquierda es impar, y al evaluarla en los intervalos $-4$ y $4$, esta integral se anula.\\<br /><br />La funcion de la integral de la derecha es par, por lo tanto la podemos expresar de la siguiente manera:\\<br /><br />$\displaystyle -2 \int_{0}^{4} 5 \sqrt{16-x^2}dx$ \\<br /><br />Usamos la sustitucion $x = 4 senu $ \\<br />$-> dx = 4 cos u du$ \\<br />Ademas hacemos el cambio correspondiente en los limites de integracion:\\<br /><br />$\displaystyle = -10 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{16 - 16 sen^2 u} \ 4 cos u du$ \\<br /><br />$\displaystyle = -160 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} cos^2 u du$<br /><br />Usamos la identidad trigonometrica: $\displaystyle cos^2 x = \frac {1 + cos 2x}{2}$<br /><br />$\displaystyle = -80 [ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} du + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} cos 2u du ]$ <br /><br />$\displaystyle = -80[ u /_{0}^{\frac{\pi}{2}} + \frac {sen 2u}{2} /_{0}^{\frac{\pi}{2}}]$ \\<br /><br />$\displaystyle = -40 \pi$<br /><br />$ Saludos! Mensaje modificado por FelipeK el Nov 10 2007, 05:22 PM --------------------

FelipeK Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 26 2007, 02:26 AM Publicado: #3
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 107 Registrado: 22-August 07 Desde: Valparaiso-Castro Miembro Nº: 9.196 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: <br /><br />P1.-<br /><br />(b) $\displaystyle H(x) = \frac{1}{x} ( 2 + \int_{0}^{x} f(t) dt ) \ \ \ \ / \frac{d}{dx}$ \\<br /><br />Con ayuda del primer teorema fundamental del calculo: \\<br /><br />$\displaystyle H^{'} (x) = \frac{1}{x} f(x) - \frac{2}{\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{x}} \int_{0}^{x} f(t) dt $ \\<br /><br />Evaluamos en $x_{0}$ \\<br /><br />$\displaystyle 0 = \frac{1}{x_{0}} f(x_{0}) - \frac{2}{\sqrt{x_{0}}} - \frac{1}{\sqrt{x_{0}}} \int_{0}^{x_{0}} f(t) dt $ \\<br /><br />Con un poco de algebra llegamos a la siguiente expresion: \\<br /><br />$\displaystyle f(x_{0}) = \frac{1}{x_{0}} ( 2 + \int_{0}^{x_{0}} f(t) dt ) $ \\<br /><br />$\displaystyle f(x_{0}) = H(x_{0})$ \\<br /><br />Completando la demostracion.<br /><br />$ Mensaje modificado por FelipeK el Oct 26 2007, 02:27 AM --------------------

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