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C1 Cálculo II, 2S 2007 (Secciones 1-6)

EnnaFrad Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 3 2007, 10:46 PM Publicado: #1
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 121 Registrado: 6-December 05 Desde: Las Condes - Chillán Miembro Nº: 460 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: <br />$ $ \\<br />MAT1512 - Control 1 \\<br />27 de Agosto de 2007 \\<br />$ $ \\<br />$\boxed{1}$ Represente el siguiente l\'imite como una integral y calc\'ulela \\<br />$$\lim\limits_{n \to \infty} \left ( \dfrac{1}{3n^2+4} + \dfrac{2}{3n^2+16} + \dfrac{1}{3n^2+36} + ... + \dfrac{n}{3n^2+4n^2} \right) $$ \\<br />$ $ \\<br />$\boxed{2}$ Evaluar $\displaystyle\int\limits_0^\pi \left \| 2 \sin (2x) +1 \right \| dx$.<br />$

Naxoo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 29 2008, 07:29 PM Publicado: #2
Staff FMAT Grupo: Moderador Mensajes: 2.604 Registrado: 2-March 07 Desde: Somewhere over the rainbow Miembro Nº: 4.244 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	en la 2 las barras son el valor absoluto? bueno, suponiendo que es asi, veamos el caso que: $TEX: \[<br />\left\| {2\sin (2x) + 1} \right\| > 0<br />\]<br />$ $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \int_0^\pi {\left( {2\sin (2x) + 1} \right)dx = \int_0^\pi {2\sin (2x)dx + } } \int_0^\pi {dx} = \int_0^\pi {2 \cdot 2\cos x\sin xdx + \left. x \right\|_0^\pi } + k \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> 4\int_0^\pi {\cos x\sin xdx} + \pi + k \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> u = \sin x \Rightarrow du = \cos xdx \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> 4\int_0^\pi {\cos x \cdot u \cdot \frac{1}<br />{{\cos x}}du} + \pi + k = 4\int_0^\pi {udu} + \pi + k \Leftrightarrow 4 \cdot \left. {\frac{{u^2 }}<br />{2}} \right\|_0^\pi + \pi + k \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> restituyendo: \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \left. {2\sin ^2 x} \right\|_0^\pi + \pi + k = 2\left( {\sin \pi } \right)^2 - 2\left( {\sin 0} \right)^2 + \pi + k = 2 \cdot 0 - 2 \cdot 0 + \pi + k \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \boxed{\int_0^\pi {\left( {2\sin (2x) + 1} \right)dx = \pi + k} } \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ ahora si: $TEX: \[<br />\left\| {2\sin (2x) + 1} \right\| < 0<br />\]<br />$ la integral queda asi: $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \int_0^\pi {\left( { - 2\sin (2x) - 1} \right)dx} = - \int_0^\pi {\left( {2\sin (2x) + 1} \right)dx} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> entonces: \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \boxed{\int_0^\pi {\left( { - 2\sin (2x) - 1} \right)dx} = - \pi + k} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ saludos! editado: aunque no estoy seguro si asi se trabaja con el valor absoluto dentro del integrando Mensaje modificado por naxoobkn el Feb 29 2008, 07:47 PM -------------------- INRIA - Francia, Sophia Antipolis Biocore Team Ingeniero Civil en Biotecnología Ingeniería Civil Químico “(…) los elementos que él (¿o Él?) [Dios] mismo nos ha dado (raciocinio, sensibilidad, intuición) no son en absoluto suficientes como para garantizarnos ni su existencia ni su no existencia. Gracias a una corazonada puedo creer en Dios y acertar o no creer en Dios y también acertar" Mario Benedetti $TEX: \[\iiint\limits_\Omega {\left( {\nabla \cdot \vec F} \right)dV} = \iint\limits_{\partial \Omega } {\left( {\vec F \cdot \hat n} \right)}dS\]<br />$

Guía Rojo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 1 2008, 05:17 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 903 Registrado: 28-May 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 69 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(naxoobkn @ Feb 29 2008, 08:25 PM) veamos el caso que: $TEX: \[<br />\left\| {2\sin (2x) + 1} \right\| > 0<br />\]<br />$ ... ahora si: $TEX: \[<br />\left\| {2\sin (2x) + 1} \right\| < 0<br />\]<br />$ cuidado con esto.. lo que quieres decir es $TEX: $2\sin (2x)+1>0$$ , y en el otro caso $TEX: $2\sin (2x)+1<0$$ PD: EnnaFrad, en el P1 me desconcierta la expresión $TEX: $\dfrac{1}{3n^2+36}$$ .. es así, o (como supongo) el numerador es 3 en vez de 1? saludos Mensaje modificado por Guía Rojo el Mar 1 2008, 05:25 PM -------------------- Bachiller en Ciencias (ex) Estudiante de Medicina Estudiante de Ingeniería Civil de Industrias, diploma en Ingeniería Matemática Pontificia Universidad Católica de Chile "El espíritu del matemático busca la belleza del pensamiento, y esa va de la mano con la filosofía." - Héctor Hardy Pastén Vásquez "¿Qué te hace pensar que si tienes dos elementos de un conjunto con otros dos elementos de otro conjunto se origina uno nuevo con cuatro? Es sólo el sentido común, no te imaginas que los elementos aparecen de la nada, pero resulta que con el sólo hecho de cuestionar el sentido común, se podría afirmar que cuando juntas cuatro elementos aparecen miles de elementos más. Y si lo demuestras, todo se basa en la razón." - Alonso Duque Vega, razonador por excelencia $TEX: $S=1+dfrac{1}{2}+dfrac{1}{3}+dfrac{1}{4}+dfrac{1}{5}+ldots$$ Esta serie converge! He encontrado una maravillosa demostración de esto, pero no cabe en la estrechez de esta firma...

Uchiha Itachi Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 1 2008, 05:41 PM Publicado: #4
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 4.857 Registrado: 2-January 08 Miembro Nº: 14.268 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \int_0^\pi {\left\| {2sen(2x) + 1} \right\|} dx \hfill \\<br /> \int_{\frac{\pi }<br />{2}}^\pi {\left( {1 - 2sen(2x)} \right)dx} + \int_0^{\pi /2} {\left( {2sen(2x) + 1} \right)} dx \hfill \\<br /> \int_{\pi /2}^\pi {dx} - 2\int_{\pi /2}^\pi {sen(2x)} + 2\int_0^{\pi /2} {sen(2x)} + \int_0^{\pi /2} {dx} \hfill \\<br /> \left[ x \right]_{\pi /2}^\pi - 2\int_{\pi /2}^\pi {sen(2x)} + 2\int_0^{\pi /2} {sen(2x)} + \left[ x \right]_0^{\pi /2} \hfill \\<br /> \pi - \frac{\pi }<br />{2} + \frac{\pi }<br />{2} - 0 - 2\int_{\pi /2}^\pi {sen(2x)} + 2\int_0^{\pi /2} {sen(2x)} \hfill \\<br /> 2\int_0^{\pi /2} {sen(2x)} - 2\int_{\pi /2}^\pi {sen(2x)} + \pi \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{Usando la sustitucion:}} \hfill \\<br /> u = 2x \Rightarrow du = 2dx \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> 2\int_0^\pi {sen(u)} - 2\int_\pi ^{2\pi } {sen(u)} + \pi \hfill \\<br /> 2\left[ { - \cos (u)} \right]_0^\pi - 2\left[ { - \cos (u)} \right]_\pi ^{\pi /2} + \pi \hfill \\<br /> 2\left[ { - \cos (\pi ) + \cos (0)} \right] - 2\left[ { - \cos (\pi /2) + \cos (\pi )} \right] + \pi \hfill \\<br /> 2\left[ {1 + 1} \right] - 2\left[ {0 - 1} \right] + \pi \hfill \\<br /> 4 + 2 + \pi = \boxed{6 + \pi } \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \therefore \boxed{\int_0^\pi {\left\| {2sen(2x) + 1} \right\|} dx = 6 + \pi } \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> saludos \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ Mensaje modificado por Uchiha Itachi el Mar 1 2008, 05:56 PM -------------------- Candidato a doctor en Cs. De la ingeniería mención modelamiento matemático, DIM. Universidad de Chile Magíster en ciencias mención matemática, Profesor de estado en matemáticas y computación, Licenciado en educación matemáticas y computación, USACH

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 1 2008, 07:07 PM Publicado: #5
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	La respuesta de Uchiha Itachi tampoco es correcta. (Notar que el integrando posee dos ceros.)

EnnaFrad Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 5 2008, 07:51 PM Publicado: #6
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 121 Registrado: 6-December 05 Desde: Las Condes - Chillán Miembro Nº: 460 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Guía Rojo @ Mar 1 2008, 07:13 PM) cuidado con esto.. lo que quieres decir es >.. es así, o (como supongo) el numerador es 3 en vez de 1? saludos Toda la razón! Error de tipeo P.D: no se como modificar la pregunta.. la tecnologia me consumió jajajaj, asi q si alguien puedo hacerlo se lo agradeceria en el alma ajajjaa Mensaje modificado por EnnaFrad el Mar 5 2008, 07:54 PM

Naxoo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 5 2008, 12:52 AM Publicado: #7
Staff FMAT Grupo: Moderador Mensajes: 2.604 Registrado: 2-March 07 Desde: Somewhere over the rainbow Miembro Nº: 4.244 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Aca va la 1 $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{1}<br />{{3n^2 + 4}} + \frac{2}<br />{{3n^2 + 16}} + \frac{3}<br />{{3n^2 + 36}} + ... + \frac{n}<br />{{3n^2 + 4n^2 }}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{k}<br />{{3n^2 + 4k^2 }}} \hfill \\<br /> = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\left( {\frac{{\frac{k}<br />{n}}}<br />{{3 + 4\left( {\frac{k}<br />{n}} \right)^2 }}} \right)\left( {\frac{1}<br />{n}} \right)} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Teniendo siempre presente que }}n \to \infty {\text{ considero un }}X_k ,{\text{ cuando }}k = 1 \Rightarrow X_k = 0 \hfill \\<br /> {\text{y cuando }}k = n \Rightarrow X_k = \frac{1}<br />{7},{\text{ por lo cual tendria la siguiente funcion:}} \hfill \\<br /> f:\left[ {0,\frac{1}<br />{7}} \right] \to \mathbb{R}{\text{ definida por }}f(x) = \frac{x}<br />{{3 + 4x^2 }} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{La particion quedaria por lo tanto:}} \hfill \\<br /> P_n = \left\{ {\frac{1}<br />{{3 + 1^2 }} + \frac{2}<br />{{3 + 4^2 }} + ... + \frac{1}<br />{7}} \right\} \hfill \\<br /> {\text{Con lo cual queda una suma de Riemann cuyo largo del intervalo es 1/7}}{\text{, para ello}} \hfill \\<br /> {\text{arreglare un poco la suma}}{\text{, para que se exprese como una integral}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> I = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\left( {\frac{{\frac{k}<br />{n}}}<br />{{3 + 4\left( {\frac{k}<br />{n}} \right)^2 }}} \right)\left( {\frac{1}<br />{n}} \right)} = 7\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\left( {\frac{{\frac{k}<br />{n}}}<br />{{3 + 4\left( {\frac{k}<br />{n}} \right)^2 }}} \right)\left( {\frac{{\frac{1}<br />{7}}}<br />{n}} \right) = 7\int_0^{1/7} {\frac{x}<br />{{3 + 4x^2 }}dx} } \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{sea: }}u = 3 + 4x^2 \Rightarrow du = 8xdx \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> I = \frac{7}<br />{8}\int_3^{151/49} {\frac{1}<br />{u}du} = \frac{7}<br />{8}\log \left( {\frac{{151}}<br />{{147}}} \right) \Leftrightarrow \boxed{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{k}<br />{{3n^2 + 4k^2 }}} = \frac{7}<br />{8}\log \left( {\frac{{151}}<br />{{147}}} \right)} \hfill \\<br /> \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ no estoy seguro ya que me cuesta un poco este tema, asi que cualquiero correcion, la agradeceria mucho -------------------- INRIA - Francia, Sophia Antipolis Biocore Team Ingeniero Civil en Biotecnología Ingeniería Civil Químico “(…) los elementos que él (¿o Él?) [Dios] mismo nos ha dado (raciocinio, sensibilidad, intuición) no son en absoluto suficientes como para garantizarnos ni su existencia ni su no existencia. Gracias a una corazonada puedo creer en Dios y acertar o no creer en Dios y también acertar" Mario Benedetti $TEX: \[\iiint\limits_\Omega {\left( {\nabla \cdot \vec F} \right)dV} = \iint\limits_{\partial \Omega } {\left( {\vec F \cdot \hat n} \right)}dS\]<br />$

Anibal_17 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 5 2008, 01:28 AM Publicado: #8
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 64 Registrado: 22-December 06 Desde: Mi casa Miembro Nº: 3.440	Según yo los límites de integración serían 0 y 1 (inferior y superior respectivamente) Pero a mi no me creo mucho

DressedToKill Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 5 2008, 01:46 AM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.818 Registrado: 21-December 06 Miembro Nº: 3.434	CITA(naxoobkn @ Sep 5 2008, 01:42 AM) Aca va la 1 $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{1}<br />{{3n^2 + 4}} + \frac{2}<br />{{3n^2 + 16}} + \frac{3}<br />{{3n^2 + 36}} + ... + \frac{n}<br />{{3n^2 + 4n^2 }}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{k}<br />{{3n^2 + 4k^2 }}} \hfill \\<br /> = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\left( {\frac{{\frac{k}<br />{n}}}<br />{{3 + 4\left( {\frac{k}<br />{n}} \right)^2 }}} \right)\left( {\frac{1}<br />{n}} \right)} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Teniendo siempre presente que }}n \to \infty {\text{ considero un }}X_k ,{\text{ cuando }}k = 1 \Rightarrow X_k = 0 \hfill \\<br /> {\text{y cuando }}k = n \Rightarrow X_k = \frac{1}<br />{7},{\text{ por lo cual tendria la siguiente funcion:}} \hfill \\<br /> f:\left[ {0,\frac{1}<br />{7}} \right] \to \mathbb{R}{\text{ definida por }}f(x) = \frac{x}<br />{{3 + 4x^2 }} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{La particion quedaria por lo tanto:}} \hfill \\<br /> P_n = \left\{ {\frac{1}<br />{{3 + 1^2 }} + \frac{2}<br />{{3 + 4^2 }} + ... + \frac{1}<br />{7}} \right\} \hfill \\<br /> {\text{Con lo cual queda una suma de Riemann cuyo largo del intervalo es 1/7}}{\text{, para ello}} \hfill \\<br /> {\text{arreglare un poco la suma}}{\text{, para que se exprese como una integral}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> I = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\left( {\frac{{\frac{k}<br />{n}}}<br />{{3 + 4\left( {\frac{k}<br />{n}} \right)^2 }}} \right)\left( {\frac{1}<br />{n}} \right)} = 7\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\left( {\frac{{\frac{k}<br />{n}}}<br />{{3 + 4\left( {\frac{k}<br />{n}} \right)^2 }}} \right)\left( {\frac{{\frac{1}<br />{7}}}<br />{n}} \right) = 7\int_0^{1/7} {\frac{x}<br />{{3 + 4x^2 }}dx} } \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{sea: }}u = 3 + 4x^2 \Rightarrow du = 8xdx \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> I = \frac{7}<br />{8}\int_3^{151/49} {\frac{1}<br />{u}du} = \frac{7}<br />{8}\log \left( {\frac{{151}}<br />{{147}}} \right) \Leftrightarrow \boxed{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{k}<br />{{3n^2 + 4k^2 }}} = \frac{7}<br />{8}\log \left( {\frac{{151}}<br />{{147}}} \right)} \hfill \\<br /> \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ no estoy seguro ya que me cuesta un poco este tema, asi que cualquiero correcion, la agradeceria mucho Sino me equivoco para hacer la suma de Riemann necesitas tener algo del tipo $TEX: $\displaystyle\sum_{k=0}^n f\left(a + b \cdot \dfrac{k}{n}\right) \cdot h_n$ con $h_n$ el largo del intervalo$ [a y b los extremos del intervalo] (no puse el límite pero se que va antes de la sumatoria). Pero en este caso tienes $TEX: $\dfrac{\dfrac{k}{n}}{3 + 4 \cdot \left(\dfrac{k}{n}\right)^2}$$ , lo que si te fijas, sólo es funcion de $TEX: $\dfrac{k}{n}$$ , por lo que intervalo va de 0 a 1. Entonces para este caso el problema se reduce a calcular $TEX: $\displaystyle\int_0^1 {\dfrac{x}{3+4x^2}} dx = \dfrac{1}{8}\cdot (ln(7) - ln(8)$$ . Mensaje modificado por DressedToKill el Sep 5 2008, 01:47 AM -------------------- http://www.youtube.com/watch?v=sp_WV91jx8E...feature=related

Anibal_17 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 5 2008, 02:07 AM Publicado: #10
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 64 Registrado: 22-December 06 Desde: Mi casa Miembro Nº: 3.440	Intentaré explicar lo que dije antes: Consideremos la gráfica de la función $TEX: $$<br />f(x) = \frac{x}<br />{{3 + 4x^2 }}<br />$$<br />$ en $TEX: $$[0,1]$$$ El área en términos de una integral sería: $TEX: $$\int\limits_0^1 {\frac{x}{{3 + 4x^2 }}} dx$$$ Pero también podemos plantearla como una suma infinita. Es fácil ver que si usamos una particion regular del intervalo, entonces: $TEX: $$<br />A_f = f(\frac{1}<br />{n})\frac{1}<br />{n} + f(\frac{2}<br />{n})\frac{1}<br />{n} + f(\frac{3}<br />{n})\frac{1}<br />{n} + ... + f(\frac{n}<br />{n})\frac{1}<br />{n} = \frac{1}<br />{n}\sum\limits_{k = 1}^n {f(\frac{k}<br />{n})} = \frac{1}<br />{n}\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{\frac{k}<br />{n}}}<br />{{3 + \left( {\frac{k}<br />{n}} \right)^2 }}} <br />$$<br />$ Haciendo tender n a infinito lo anterior se transforma en: $TEX: $$<br />\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}<br />{n}\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{\frac{k}<br />{n}}}<br />{{3 + \left( {\frac{k}<br />{n}} \right)^2 }}} <br />$$<br />$ Y como ambas expresiones representarían el área asdasdasdasd Ojalá esté bueno ajajajja

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