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> C2 Cálculo II, 2S 2007
EnnaFrad
mensaje Oct 3 2007, 09:45 PM
Publicado: #1


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TEX: <br />$ $ \\<br />Control 2 - C\'alculo II \\<br />1 Octubre 2007 \\<br />$ $ \\<br />$\boxed{1}$ (4 puntos) Sea $\alpha$ una constante positiva y sean \\<br /><br />$R_1 =$ regi\'on del plano acotada por el eje $X$, la recta $x=1$ y la curva $y=x^\alpha +x$ \\<br /><br />$R_2 =$ regi\'on del plano acotada por el eje $Y$, la recta $y=2$ y la curva $y=x^\alpha +x$ \\<br />$ $ \\<br />Hallar todos los valores de $\alpha > 0$ para los cuales los s\'olidos obtenidos girando $R_1$ alrededor del eje $X$ y $R_2$ alrededor del eje $Y$ tienen el mismo volumen.<br />$ $ \\<br />$ $ \\<br />$\boxed{2}$ (2 puntos) Hallar la longitud del arco de la curva $y=\dfrac{1}{3} \sqrt{x} (3x-1)$ desde el punto donde $x=1$ hasta el punto donde $x=4$.<br /><br />
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EnnaFrad
mensaje Oct 5 2007, 08:07 PM
Publicado: #2


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CITA(EnnaFrad @ Oct 4 2007, 12:45 AM) *
TEX: <br />$ $ \\<br />$\boxed{2}$ (2 puntos) Hallar la longitud del arco de la curva $y=\dfrac{1}{3} \sqrt{x} (3x-1)$ desde el punto donde $x=1$ hasta el punto donde $x=4$.<br /><br />


TEX: <br />$ $ \\<br />La longitud est\'a dada por la ecuaci\'on: \\<br />$$L = \displaystyle\int\limits_1^4 \sqrt{1+\left(\dfrac{dy}{dx} \right)^2} dx$$ \\<br />Sabemos que: \\<br />$$y' = \dfrac{1}{2} \left(3\sqrt{x} - \dfrac{1}{3\sqrt{x}} \right)$$ \\<br />Por lo tanto la longitud ser\'ia:<br />$$L = \displaystyle\int\limits_1^4 \sqrt{1+\dfrac{1}{4} \left(9x-2+\dfrac{1}{9x} \right)} dx$$<br />$$L = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int\limits_1^4 \sqrt{9x+2+\dfrac{1}{9x}} dx$$<br />$$L = \displaystyle\int\limits_1^4 \sqrt{\left(3\sqrt{x}+\dfrac{1}{3\sqrt{x}} \right)^2} dx$$<br />$$L = \displaystyle\int\limits_1^4 \left(3\sqrt{x}+\dfrac{1}{3\sqrt{x}}\right) dx$$<br />$$L = \left(x^{\frac{3}{2}} +\dfrac{\sqrt{x}}{3} \right) |_0^4 $$<br />$$L = \dfrac{22}{3}$$<br /><br />
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