Desigualdad en un Triangulito - Foro fmat.cl

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Desigualdad en un Triangulito, Resuelto por Guia Rojo [medio]

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 28 2006, 12:58 AM Publicado: #11
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Dadas las dudas presentadas por MasterIN® en el siguiente topico, retomare esta pregunta y dare una nueva solucion alternativa a la de Guia Rojo Usando la formula de Heron, mas el hecho de que $TEX: $G\le A$$ tendremos que: $TEX: $\displaystyle 16T^2=(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)\le (a+b+c)\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3$$ Luego: $TEX: $\displaystyle 4T\le \frac{(a+b+c)^2}{3\sqrt{3}}\Rightarrow 4\sqrt{3}T\le \frac{(a+b+c)^2}{3}$$ [] Pero es ultra sabido que: $TEX: $\displaystyle \frac{(a+b+c)^2}{3}\le a^2+b^2+c^2$$ [] (solo es necesario saber la desigualdad del ejemplo 3 en el siguiente link* , o bien que $TEX: $C\ge A$$ ) Usando [] y [] se tiene lo pedido. -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat* (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 28 2006, 01:37 AM Publicado: #12
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Bueno..y ahora otra solucion mas al mismo problema Es bien sabido que: $TEX: $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$$ [] Ademas es bien conocida la formula para el Area de un Triangulo via Trigonometria. Esto es: $TEX: $\displaystyle T=\frac{1}{2}ab sen{\gamma}=\frac{1}{2}bc sen{\alpha}=\frac{1}{2}ca sen{\beta}$$ [] Usando [] y [] tendremos que: $TEX: $\displaystyle a^2+b^2+c^2\ge 2T\left(\frac{1}{sen(\alpha)}+\frac{1}{sen(\beta)}+\frac{1}{sen(\gamma)}\right)$$ [] Pero si definimos $TEX: $\displaystyle f(x)=\frac{1}{sen(x)}$$ notamos que $TEX: $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=\frac{2cos^2(x)+sen^2(x)}{sen^3(x)}\ge 0$$ para $TEX: $x\in(0,\pi)$$ . Luego $TEX: $f$$ es convexa en $TEX: $(0,\pi)$$ . Luego aplicando Jensen a la funcion $TEX: $f$$ , con $TEX: $\alpha,\beta,\gamma\in (0,\pi)$$ y con $TEX: $\displaystyle \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=\frac{1}{3}$$ , tendremos que: $TEX: $\displaystyle \frac{1}{3}f(\alpha)+\frac{1}{3}f(\beta)+\frac{1}{3}f(\gamma)\ge f\left(\frac{\alpha+\beta+\gamma}{3}\right)=f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$$ Finalmente amplificando esta desigualdad por 3, tendremos que: $TEX: $\displaystyle \frac{1}{sen(\alpha)}+\frac{1}{sen(\beta)}+\frac{1}{sen(\gamma)}\ge 2\sqrt{3}$$ [*] Usando [] y [*] se concluye lo pedido. -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?**)

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 28 2006, 02:05 AM Publicado: #13
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Y si aun no se convencen..aca vamos con una desigualdad mas fuerte que la de este problema... Notemos que usando lo del post anterior tendremos: $TEX: $2a^2+2b^2+2c^2=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2+2(ab+bc+ca)$$ $TEX: $\ge (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2+2(4\sqrt{3}T)$$ Dividiendo por dos a ambos lados de la desigualdad concluimos que: $TEX: $\displaystyle a^2+b^2+c^2\ge \frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{2}+4\sqrt{3}T$$ Saludos -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Guía Rojo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 28 2006, 02:29 PM Publicado: #14
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 903 Registrado: 28-May 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 69 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(Kenshin @ Jan 28 2006, 03:37 AM) Bueno..y ahora otra solucion mas al mismo problema Es bien sabido que: $TEX: $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$$ [] Ademas es bien conocida la formula para el Area de un Triangulo via Trigonometria. Esto es: $TEX: $\displaystyle T=\frac{1}{2}ab sen{\gamma}=\frac{1}{2}bc sen{\alpha}=\frac{1}{2}ca sen{\beta}$$ [] Usando [] y [] tendremos que: $TEX: $\displaystyle a^2+b^2+c^2\ge 2T\left(\frac{1}{sen(\alpha)}+\frac{1}{sen(\beta)}+\frac{1}{sen(\gamma)}\right)$$ [] Pero si definimos $TEX: $\displaystyle f(x)=\frac{1}{sen(x)}$$ notamos que $TEX: $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=\frac{2cos^2(x)+sen^2(x)}{sen^3(x)}\ge 0$$ para $TEX: $x\in(0,\pi)$$ . Luego $TEX: $f$$ es convexa en $TEX: $(0,\pi)$$ . Luego aplicando Jensen a la funcion $TEX: $f$$ , con $TEX: $\alpha,\beta,\gamma\in (0,\pi)$$ y con $TEX: $\displaystyle \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=\frac{1}{3}$$ , tendremos que: $TEX: $\displaystyle \frac{1}{3}f(\alpha)+\frac{1}{3}f(\beta)+\frac{1}{3}f(\gamma)\ge f\left(\frac{\alpha+\beta+\gamma}{3}\right)=f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$$ Finalmente amplificando esta desigualdad por 3, tendremos que: $TEX: $\displaystyle \frac{1}{sen(\alpha)}+\frac{1}{sen(\beta)}+\frac{1}{sen(\gamma)}\ge 2\sqrt{3}$$ [*] Usando [] y [*] se concluye lo pedido. PERO QUÉ SOLUCIÓN MÁS FEA!!! sería alguien capaz de masacrar a una hormiga aplastándola con un tanque, como lo hace Kenshin?? -------------------- Bachiller en Ciencias (ex) Estudiante de Medicina Estudiante de Ingeniería Civil de Industrias, diploma en Ingeniería Matemática Pontificia Universidad Católica de Chile "El espíritu del matemático busca la belleza del pensamiento, y esa va de la mano con la filosofía." - Héctor Hardy Pastén Vásquez "¿Qué te hace pensar que si tienes dos elementos de un conjunto con otros dos elementos de otro conjunto se origina uno nuevo con cuatro? Es sólo el sentido común, no te imaginas que los elementos aparecen de la nada, pero resulta que con el sólo hecho de cuestionar el sentido común, se podría afirmar que cuando juntas cuatro elementos aparecen miles de elementos más. Y si lo demuestras, todo se basa en la razón." - Alonso Duque Vega, razonador por excelencia $TEX: $S=1+dfrac{1}{2}+dfrac{1}{3}+dfrac{1}{4}+dfrac{1}{5}+ldots$$ Esta serie converge!** He encontrado una maravillosa demostración de esto, pero no cabe en la estrechez de esta firma...

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 28 2006, 02:38 PM Publicado: #15
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Guía Rojo @ Jan 28 2006, 04:29 PM) PERO QUÉ SOLUCIÓN MÁS FEA!!! sería alguien capaz de masacrar a una hormiga aplastándola con un tanque, como lo hace Kenshin?? No amerita comentario....quien no quiere aprender ya no puede obligarse a hacerlo...en especial tratandose de una desigualdad archiconocida(me refiero a la trigonometrica, de hecho hay varias mas analogas para el seno, coseno, tangente...etc...) En especial encuentro absurdo creer que se trata de un tanque aplicar una desigualdad tan comun y silvestre como la de Jensen....(si le hicieras este comentario a cualquier competidor de Olimpiadas en el extranjero...no se que pensaria... ) Saludos -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Guía Rojo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 24 2006, 09:25 PM Publicado: #16
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 903 Registrado: 28-May 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 69 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Sí, es archi-conocida, pero por lo fea... Mi amigo Chen me dijo que los norteamericanos y los ingleses manejan la teoría que "el 90% de los problemas de desigualdades sale con $TEX: $A\ge G$$ y el restante 10% sale con Jensen, cuando se agotan los medios 'lindos' para resolver una desigualdad". Y Caetano me lo confirmó... xD -------------------- Bachiller en Ciencias (ex) Estudiante de Medicina Estudiante de Ingeniería Civil de Industrias, diploma en Ingeniería Matemática Pontificia Universidad Católica de Chile "El espíritu del matemático busca la belleza del pensamiento, y esa va de la mano con la filosofía." - Héctor Hardy Pastén Vásquez "¿Qué te hace pensar que si tienes dos elementos de un conjunto con otros dos elementos de otro conjunto se origina uno nuevo con cuatro? Es sólo el sentido común, no te imaginas que los elementos aparecen de la nada, pero resulta que con el sólo hecho de cuestionar el sentido común, se podría afirmar que cuando juntas cuatro elementos aparecen miles de elementos más. Y si lo demuestras, todo se basa en la razón." - Alonso Duque Vega, razonador por excelencia $TEX: $S=1+dfrac{1}{2}+dfrac{1}{3}+dfrac{1}{4}+dfrac{1}{5}+ldots$$ Esta serie converge! He encontrado una maravillosa demostración de esto, pero no cabe en la estrechez de esta firma...

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 24 2006, 09:48 PM Publicado: #17
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Guía Rojo @ Feb 24 2006, 11:25 PM) Sí, es archi-conocida, pero por lo fea... Mi amigo Chen me dijo que los norteamericanos y los ingleses manejan la teoría que "el 90% de los problemas de desigualdades sale con $TEX: $A\ge G$$ y el restante 10% sale con Jensen, cuando se agotan los medios 'lindos' para resolver una desigualdad". Y Caetano me lo confirmó... xD Eso lo se, de hecho ese dicho es super conocido......sin embargo si el problema es directo usando Jensen, no tiene nada de feo. Insisto, creo que aun no imaginas que tan complejo puede ser Jensen...y no bromeo al decir que la aplicacion de Jensen usado es demasiado elemental(es mental). Bueno...no importa, no discutire sobre algo tan simple... Saludos -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

hpoincare Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 13 2006, 08:31 PM Publicado: #18
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 73 Registrado: 13-April 06 Miembro Nº: 841	Hola. He aquí una solución hipercorta. Basta comprobar (en dos renglones, como máximo) que $TEX: $a^2+b^2+c^2-4\sqrt{3}T=2(b-c)^2+4bc(1-cos(A-\frac{\pi}{3}))\geq 0$$ Este resultado se llama Desigualdad de Weitzenböch. La Generalización que han probado con Jensen, es un caso particular de la que se llama Desigualdad de Finsler-Hadwiger. La que posteo más abajo. Una aplicación, que espero les guste, es la siguiente. $TEX: \noindent Sea $\triangle ABC$ un triangulo y $P$ un punto interior. Si $\alpha=\widehat{PAB}$, $\beta=\widehat{PBC}$ y $\gamma=\widehat{PCA}$, entonces al menos uno de los angulos $\alpha$, $\beta$ o $\gamma$ es no superior a $\dfrac{\pi}{6}$.$

hpoincare Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 14 2006, 04:57 PM Publicado: #19
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 73 Registrado: 13-April 06 Miembro Nº: 841	La deigualdad de Finsler-Hadwiger es la siguiente: $TEX: $\sum a^2\geq \sum(a-b)^2+4\sqrt{3}T$$ donde $TEX: $T=[ABC]$.$ Sketch. Usando la Ley del Coseno es fácil ver que $TEX: $a^2=(b-c)^2+4T\mathrm{tan}\frac{A}{2}$$ Sumando resulta $TEX: $\sum a^2=\sum (a-b)^2+4T\sum\mathrm{tan}\frac{A}{2}$$ Es suficiente probar que $TEX: $\sum\tan\frac{A}{2}\geq\sqrt{3}$$ Para demostrarlo basta usar la convexidad de $TEX: $\tan$$ en $TEX: $(0,\pi/2)$$ y aplicar Jensen.

brandoowin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 17 2008, 11:33 AM Publicado: #20
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 42 Registrado: 29-April 08 Desde: Mexico Miembro Nº: 21.625 Sexo:	Les dejo mi solucion a mi parecer es bastante simple jejej chequenla ahi va: Como un triangulo equilatero de lado $TEX: \[<br />a<br />\]<br />$ tiene area igual a $TEX: \[<br />{\textstyle{{\sqrt 3 } \over 4}}a^2 <br />\]<br />$ , la igualdad se alcanza en tal caso. Tratare,os de comparar lo que sucede en un triangulo cualquiera respecto a lo que pasa en un triangulo equilatero de lado $TEX: \[<br />a<br />\]<br />$ . Sea AD la altura del triandulo desde A, su longitud la podemos escribir de la forma $TEX: \[<br />h = {\textstyle{{\sqrt 3 } \over 2}}a + y<br />\]<br />$ , donde $TEX: \[<br />y<br />\]<br />$ mide su defecto respecto a la altura del triangulo equilatero su defecto con respecto a la altura del triangulo equilatero. Tambien escribimos $TEX: \[<br />BD = {\textstyle{a \over 2}} - x<br />\]<br />$ y $TEX: \[<br />DC = {\textstyle{a \over 2}} + x<br />\]<br />$ donde $TEX: \[<br />x<br />\]<br />$ se puede interpretar como el defecto que tiene el pie de la altura con respecto al pìe de la altura en el caso equilatero(que en este caso es punto medio de BC) Tenemos que: $TEX: \[<br />a^2 + b^2 + c^2 - 4\sqrt 3 T = <br />\]<br />$ $TEX: \[<br /> = a^2 + h^2 + ({\textstyle{a \over 2}} + x)^2 + h^2 + ({\textstyle{a \over 2}} - x)^2 - 4\sqrt 3 {\textstyle{{ah} \over 2}}<br />\]<br />$ $TEX: \[<br /> = \frac{3}{2}a^2 + 2h^2 + 2x^2 - 2\sqrt {3a} ({\textstyle{{\sqrt 3 } \over 2}}a + y)<br />\]<br />$ $TEX: \[<br /> = \frac{3}{2}a^2 + 2({\textstyle{{\sqrt 3 } \over 2}}a + y)^2 + 2x^2 - 3a^2 - 2\sqrt 3 ay<br />\]<br />$ $TEX: \[<br /> = \frac{3}{2}a^2 + \frac{3}{2}a^2 + 2\sqrt 3 ay + 2y^2 + 2x^2 - 3a^2 - 2\sqrt 3 ay<br />\]<br />$ $TEX: \[<br /> = 2(x^2 + y^2 ) \ge 0<br />\]<br />$ Ademas la igualdad se da si y solo si $TEX: \[<br />x = y = 0<br />\]<br />$ si y solo si el triangulo es equilatero Mensaje modificado por brandoowin el May 17 2008, 11:34 AM

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