Desigualdad en un Triangulito - Foro fmat.cl

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Desigualdad en un Triangulito, Resuelto por Guia Rojo [medio]

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 16 2005, 06:39 PM Publicado: #1
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Problemita Sean $TEX: a,b,c$ los lados de un triangulo,y $TEX: T$ su area. Probar que: $TEX: a^2+b^2+c^2\ge 4\sqrt{3}T$ ¿En que caso se cumple la igualdad? Third International Olympiad,1961 -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Corecrasher	Dec 16 2005, 07:29 PM Publicado: #2
Invitado	La igualdad se cumple para un $TEX: \triangle$ equilatero , puesto que para un $TEX: \triangle$ equilatero de lado $TEX: a$ el area es $TEX: (\frac{\sqrt3 \times a^2}{4})$ , entonces al multiplicar por $TEX: \sqrt3 \times 4$ nos quedara $TEX: 3a^2$ , cumpliendo la igualdad.

Guía Rojo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 17 2005, 02:02 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 903 Registrado: 28-May 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 69 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	No sé usar Latex!! filo... acá va mi solución... y se entenderá Se sabe que toda expresión real elevada al cuadrado es mayor o igual que cero: $TEX: \left(a^2-b^2\right)^2\ge 0$ $TEX: a^4-2a^2b^2+b^4\ge 0$ $TEX: a^4+b^4\ge 2(ab)^2$ Análogamente se demuestra que: $TEX: a^4+c^4\ge 2(ac)^2$ y $TEX: b^4+c^4\ge 2(bc)^2$ Sumando estas desigualdades: $TEX: 2(a^4+b^4+c^4)\ge 2((ab)^2+(ac)^2+(bc)^2)$ Luego: $TEX: 4(a^4+b^4+c^4)\ge 4((ab)^2+(ac)^2+(bc)^2)$ Separando (pura álgebra ): $TEX: a^4+b^4+c^4+2((ab)^2+(ac)^2+(bc)^2)\ge 6((ab)^2+(ac)^2+(bc)^2) - 3(a^4+b^4+c^4)$ Factorizando: $TEX: (a^2+b^2+c^2)^2\ge 3[2\left[(ab)^2+(ac)^2+(bc)^2\right]-(a^4+b^4+c^4)]$ Factorizando "creativamente" la segunda expresión: $TEX: (a^2+b^2+c^2)^2\ge 48\frac{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}{16}$ Extrayendo raíz cuadrada: $TEX: a^2+b^2+c^2\ge 4\sqrt{3}\sqrt{\frac{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}{16}}$ Tenemos en la expresión de la derecha a $TEX: 4\sqrt{3}$ multiplicando a la mismísima Fórmula de Herón para el área de un triángulo, la que denominamos $TEX: T$ . Entonces: $TEX: a^2+b^2+c^2\ge 4\sqrt{3}T$ Q.E.D. Guía Rojo -------------------- Bachiller en Ciencias (ex) Estudiante de Medicina Estudiante de Ingeniería Civil de Industrias, diploma en Ingeniería Matemática Pontificia Universidad Católica de Chile "El espíritu del matemático busca la belleza del pensamiento, y esa va de la mano con la filosofía." - Héctor Hardy Pastén Vásquez "¿Qué te hace pensar que si tienes dos elementos de un conjunto con otros dos elementos de otro conjunto se origina uno nuevo con cuatro? Es sólo el sentido común, no te imaginas que los elementos aparecen de la nada, pero resulta que con el sólo hecho de cuestionar el sentido común, se podría afirmar que cuando juntas cuatro elementos aparecen miles de elementos más. Y si lo demuestras, todo se basa en la razón." - Alonso Duque Vega, razonador por excelencia $TEX: $S=1+dfrac{1}{2}+dfrac{1}{3}+dfrac{1}{4}+dfrac{1}{5}+ldots$$ Esta serie converge! He encontrado una maravillosa demostración de esto, pero no cabe en la estrechez de esta firma...

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 17 2005, 05:13 PM Publicado: #4
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Te edite tu solucion usando latex...para que te motives a aprenderlo... Ahora me gustaria que explicaras el que todos sabemos que es el paso "creativo" pero fue el unico que no explicaste... (explicar bien las soluciones) Esperemos una bonita explicacion de tu factorizacion... Saludos -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Guía Rojo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 19 2005, 06:46 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 903 Registrado: 28-May 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 69 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Bueno, acá les van dos links sobre la Fórmula de Herón... Conseguidos gracias a una amiga que estaba tanto o más aburrida q yo Este es de la demostración que hizo Herón (tiene algunos errores, pero son fáciles captarlos) Y este es de una demostración moderna de la misma fórmula... ADVERTENCIA: ocupa trigonometría esop, buen aporte, jeje -------------------- Bachiller en Ciencias (ex) Estudiante de Medicina Estudiante de Ingeniería Civil de Industrias, diploma en Ingeniería Matemática Pontificia Universidad Católica de Chile "El espíritu del matemático busca la belleza del pensamiento, y esa va de la mano con la filosofía." - Héctor Hardy Pastén Vásquez "¿Qué te hace pensar que si tienes dos elementos de un conjunto con otros dos elementos de otro conjunto se origina uno nuevo con cuatro? Es sólo el sentido común, no te imaginas que los elementos aparecen de la nada, pero resulta que con el sólo hecho de cuestionar el sentido común, se podría afirmar que cuando juntas cuatro elementos aparecen miles de elementos más. Y si lo demuestras, todo se basa en la razón." - Alonso Duque Vega, razonador por excelencia $TEX: $S=1+dfrac{1}{2}+dfrac{1}{3}+dfrac{1}{4}+dfrac{1}{5}+ldots$$ Esta serie converge! He encontrado una maravillosa demostración de esto, pero no cabe en la estrechez de esta firma...

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 19 2005, 07:29 PM Publicado: #6
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Jajajajaja....yo me referia a la factorizacion de: $TEX: 3[2\left[(ab)^2+(ac)^2+(bc)^2\right]-(a^4+b^4+c^4)]$ Saludos -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Guía Rojo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 19 2005, 09:13 PM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 903 Registrado: 28-May 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 69 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	jajaja, si = sirvieron mis links... bueno, la verdad es q yo siempre había trabajado con esta fórmula para cuando kiero calcular el área de un triángulo sabiendo la medida de sus lados... y ya me sabía la descomposición del polinomio *s(s-a)(s-b)(s-c) así que para mí era obvia... jeje y la otra obviedad: 3 = 48/16 y eso es todo... jeje -------------------- Bachiller en Ciencias (ex) Estudiante de Medicina Estudiante de Ingeniería Civil de Industrias, diploma en Ingeniería Matemática Pontificia Universidad Católica de Chile "El espíritu del matemático busca la belleza del pensamiento, y esa va de la mano con la filosofía." - Héctor Hardy Pastén Vásquez "¿Qué te hace pensar que si tienes dos elementos de un conjunto con otros dos elementos de otro conjunto se origina uno nuevo con cuatro? Es sólo el sentido común, no te imaginas que los elementos aparecen de la nada, pero resulta que con el sólo hecho de cuestionar el sentido común, se podría afirmar que cuando juntas cuatro elementos aparecen miles de elementos más. Y si lo demuestras, todo se basa en la razón." - Alonso Duque Vega, razonador por excelencia $TEX: $S=1+dfrac{1}{2}+dfrac{1}{3}+dfrac{1}{4}+dfrac{1}{5}+ldots$$ Esta serie converge!** He encontrado una maravillosa demostración de esto, pero no cabe en la estrechez de esta firma...

Francisco Muñoz Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 23 2005, 09:53 PM Publicado: #8
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 414 Registrado: 19-May 05 Desde: puente alto, santiago Miembro Nº: 45 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Totalmente de acuerdo, falta argumentar como se factorizo $TEX: $2[(ab)^2+(ac)^2+(bc)^2]-(a^4+b^4+c^4)$$ , para llegar a : $TEX: $(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(-a+b+c)$$ eso es lo que esta en deuda de esta solución, ojala luego sea posteada, para darlo como resuelto Francisco Muñoz Espinoza -------------------- "No tenemos la solucion a todos los problemas del mundo en nuestras manos... Pero frente a los problemas del mundo tenemos nuestras manos..." Teresa de Calcuta

Guía Rojo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 24 2005, 02:38 PM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 903 Registrado: 28-May 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 69 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Bueno, aquí va el desarrollo de la factorización: $TEX: $2\left[a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2\right]-\left(a^4+b^4+c^4\right)=$$ $TEX: $=c^2\left[2a^2+2b^2\right]+2a^2b^2-a^4-b^4-c^4=$$ $TEX: $=c^2\left[a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2\right]-c^4-\left(a^4-2a^2b^2+b^4\right)=$$ $TEX: $=c^2\left[\left(a+b\right)^2+\left(a-b\right)^2\right]-c^4-\left(a^2-b^2\right)^2=$$ $TEX: $=\left(a+b\right)^2c^2-c^4-\left(a+b\right)^2\left(a-b\right)^2+c^2\left(a-b\right)^2=$$ $TEX: $=\left[\left(a+b\right)^2-c^2\right]\left[c^2-\left(a-b\right)^2\right]=$$ $TEX: $=(a+b+c)(a+b-c)(c+(a-b))(c-(a-b))=$$ $TEX: $=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)$$ FELIZ NAVIDAD A TODOS!! -------------------- Bachiller en Ciencias (ex) Estudiante de Medicina Estudiante de Ingeniería Civil de Industrias, diploma en Ingeniería Matemática Pontificia Universidad Católica de Chile "El espíritu del matemático busca la belleza del pensamiento, y esa va de la mano con la filosofía."* - Héctor Hardy Pastén Vásquez "¿Qué te hace pensar que si tienes dos elementos de un conjunto con otros dos elementos de otro conjunto se origina uno nuevo con cuatro? Es sólo el sentido común, no te imaginas que los elementos aparecen de la nada, pero resulta que con el sólo hecho de cuestionar el sentido común, se podría afirmar que cuando juntas cuatro elementos aparecen miles de elementos más. Y si lo demuestras, todo se basa en la razón." - Alonso Duque Vega, razonador por excelencia $TEX: $S=1+dfrac{1}{2}+dfrac{1}{3}+dfrac{1}{4}+dfrac{1}{5}+ldots$$ Esta serie converge! He encontrado una maravillosa demostración de esto, pero no cabe en la estrechez de esta firma...

Francisco Muñoz Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 25 2005, 03:13 PM Publicado: #10
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 414 Registrado: 19-May 05 Desde: puente alto, santiago Miembro Nº: 45 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	ehhh Ahora si tenemos la factorizacion que pediamos, con esto el problema pasa al sector de problemas resueltos. Felicitaciones. Feliz Navidad Francisco Muñoz Espinoza -------------------- "No tenemos la solucion a todos los problemas del mundo en nuestras manos... Pero frente a los problemas del mundo tenemos nuestras manos..." Teresa de Calcuta

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