Polinomio muy especial - Foro fmat.cl

Polinomio muy especial, Resuelto por Caetano [medio]

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 16 2005, 06:25 PM Publicado: #1
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Problemita Los numeros reales $TEX: a,b,a_2,a_3,\ldots,a_{n-2}$ con $TEX: ab\not=0$ ,son los coeficientes de la ecuacion: $TEX: ax^n-ax^{n-1}+a_2x^{n-2}+\ldots+a_{n-2}x^2-n^2bx+b=0$ que tiene sus n raices positivas. Demostrar que todas sus raices son iguales. Olimpiada de Bulgaria,1984 -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Caetano Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 16 2005, 07:20 PM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 293 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 3 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Para resolver este problema utilizaremos lo siguiente: probar ke la media aritmetica de las raices y la media armonica de estas son iguales. Ocuparemos esto porke con los datos ke tenemos podemos obtener ambas. Denotaremos las raices de este polinomio por $TEX: x_1,x_2,\cdots,x_n$ . Por las relaciones de cardano vieta tenemos ke $TEX: S_1 = x_1 + x_2 +\ldots+ x_n =1$ . Ahora obtendremos el valor de $TEX: S_2 = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \ldots + \frac{1}{x_n}$ , pero lo anterior es igual a: $TEX: \frac{x_2x_3x_4\cdots x_n + x_1x_3\cdots x_n + \ldots + x_2\cdots x_{n-1}}{x_1x_2\cdots x_n} = \frac{(-1)^{n-1} \displaystyle \frac{-n^2b}{a}}{(-1)^{n} \displaystyle \frac{b}{a}} = n^2$ entonces tenemos que por Desigualdad entre medias aritmetica $TEX: MA$ y armonica $TEX: MH$ : $TEX: \frac{S_1}{n} \ge \frac{n}{S_2} \Rightarrow \frac{1}{n} \ge \frac{n}{n^2} \Rightarrow MA=MH$ , pero la igualdad se obtiene solo cuando $TEX: x_1=x_2=\ldots=x_n$ , y por lo tanto todas las raices del polinomio son iguales. Saludos --------------------

Francisco Muñoz Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 17 2005, 12:11 AM Publicado: #3
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 414 Registrado: 19-May 05 Desde: puente alto, santiago Miembro Nº: 45 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	La respuesta esta impecable, te felicito muy buena la solucion. Seria bueno poner cuales son las relaciones a las que haces referencia , para que todos aprendan y entiendan la solucion. Nuevamente felicitaciones , ademas queda muy bien usando latex. por el momento no la movere a problemas resueltos, porque noto que los usuarios visitan mas este sector, y esta solución esta muy buena para motivar el estudio de materias un poco mas olvidadas o ""desconocidas"". En unas de las primera ibero tambien se ocupa un metodo bastante similar, para el problema 3 de esa prueba. Asi que analicen bien la solucion y si no entienden de una, proponganse estudiar los temas ocupados y despues de seguro la entenderan. Francisco Muñoz Espinoza. PD si alguien tiene un buen link de Relaciones de Cardano , posteelo ,y yo despues lo traslado al sector conocimientos. -------------------- "No tenemos la solucion a todos los problemas del mundo en nuestras manos... Pero frente a los problemas del mundo tenemos nuestras manos..." Teresa de Calcuta

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