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Certamen 1 - 2007

Kamelot Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 28 2007, 06:53 PM Publicado: #1
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 165 Registrado: 8-February 06 Desde: Toronto Miembro Nº: 561 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent\textbf{1.} Sea $\left\{a_n\right\}_n$ una sucesi\'on de n\'umeros reales positivos y sea $L=\displaystyle\lim_{n\to\infty} n\left[1-\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right]$ Demuestre que si $L>1$, entonces la sucesi\'on converge a cero.\\\\\\<br />\textbf{2.} Si $\left\{a_n\right\}_n$ es una sucesi\'on de n\'umeros reales positivos. Demuestre que $$\lim \sup \sqrt[n]{x_n}\leq\lim\sup\dfrac{x_{n+1}}{x_n}$$\\\\<br />\textbf{3.} Demuestre que un conjunto $B$ es cerrado en $\mathbb{R}$ s\'i y s\'olo si $B'\subseteq B$\\\\\\<br />\textbf{4.} Encuentre los puntos interiores, los puntos de acumulaci\'on y los puntos frontera de los siguientes subconjuntos de $\mathbb{R}^2$, justifique.\\\\<br />$A=\left\{(x,y):x\in Q,\; y\in Q,\; y>x^2+1\right\}$\\<br />$B=\left\{(x,y):-1\leq x\leq0,\; -1\leq y<0\right\}\cup\left\{-\dfrac{1}{n}:\;n\in\mathbb{N}\right\}$\\<br />$C=\left\{(x,y):x^2+y^2=\dfrac{1}{n},\;n\in\mathbb{N}\right\}$\\\\\\<br />\textbf{5.} Demuestre que el conjunto de todas la sucesiones de n\'umeros reales formadas s\'olo por unos o ceros es no numerable.\\\\\\<br />\textbf{6.} Sea $C$ un subconjunto acotado y no vac\'io de $\mathbb{R}$. Pruebe que $Sup©\in C'$$ Saludos -------------------- The Little Kitty

Jorgeston Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 14 2008, 03:25 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Baneado Mensajes: 2.588 Registrado: 7-November 06 Miembro Nº: 2.747	CITA(Kamelot @ Sep 28 2007, 07:47 PM) $TEX: \textbf{3.} Demuestre que un conjunto $B$ es cerrado en $\mathbb{R}$ s\'i y s\'olo si $B'\subseteq B$\\\\\\$ $TEX: ($\rightarrow$)<br /><br />\noindent Si $B$ es cerrado, contiene a todos sus puntos limite. Como los puntos de acumulacion son puntos limites, tenemos que $B$ contiene a todos sus puntos de acumulación.<br /><br /><br />( $\leftarrow$) <br /><br />\noindent Ahora, supongamos que $B' \subseteq B$. Tomemos un punto $b\in B^{c}$ arbitrario . <br /><br />\noindent Ahora razonemos por absurdo.Supongamos que $b\notin int(B^{c})$. Entonces si tomamos una sucesion $a_n$ de $B$ cualquiera , se tiene que $a_n$ converge a $b$. Pero $b\in B^{c}$, lo que nos dice que $B'$ no es subconjunto de $B$, que es una contradiccion. Luego, necesariamente $b\in B^{c}$. Esto nos dice que $B^{c}$ es abierto. Por lo que se concluye que $B$ es cerrado$ saludos Mensaje modificado por jorgeston el Mar 14 2008, 03:30 PM

C.F.Gauss Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 6 2008, 01:40 AM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 1.912 Registrado: 10-January 08 Desde: Un Sobolev Miembro Nº: 14.530 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Kamelot @ Sep 28 2007, 08:47 PM) $TEX: <br />\textbf{6.} Sea $C$ un subconjunto acotado y no vac\'io de $\mathbb{R}$. Pruebe que $Sup©\in C'$$ $TEX: \noindent \textbf{Idea de la demostración:}\\<br />Usamos la siguiente caracterización del supremo: una cota superior $p$ de un conjunto $C\subseteq \mathbb{R}$ cumple con la propiedad de que $p=\sup C$ si y sólo si:<br />$$\forall \varepsilon>0,\exists a\in C\textrm{ tal que } p-\varepsilon<a\leq p$$<br />\noindent Sea $p=\sup C$ (el cual existe por axioma de Completitud). Ya que $p\not\in C$, se tiene que<br />$$\forall \varepsilon>0,\exists a\in C\textrm{ tal que } p-\varepsilon<a<p$$<br />Luego, $p-a>0 $ y $p-a=\|p-a\|$, y (usando la métrica usual de $\mathbb{R}$):<br />\begin{eqnarray}<br />p-\varepsilon < a&\Rightarrow&p-a<\varepsilon\\<br />&\Rightarrow&\|p-a\|<\varepsilon\\<br />&\Rightarrow&d(p,a)<\varepsilon\\<br />&\Rightarrow&a\in B(p,\varepsilon)<br />\end{eqnarray}<br />Así, es cierto que $\forall \varepsilon >0,\exists a\in C,a\neq p\textrm{ tal que }a\in B(p,\varepsilon)$. Por lo tanto, $p=\sup C\in C'$.-<br />$ -------------------- Dos crudas realidades CITA(Pasten @ Jun 5 2014, 09:21 AM) ¿Dónde están las nuevas generaciones? wasapeando y actualizando su perfil de face. CITA(Zefidu @ Sep 3 2013, 09:55 PM) (...)FMAT es una gran comunidad con grandes usuarios... A excepción de algunos que se les sube el humo a la cabeza...

Jorgeston Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 11 2008, 11:46 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Baneado Mensajes: 2.588 Registrado: 7-November 06 Miembro Nº: 2.747	CITA(Kamelot @ Sep 28 2007, 07:43 PM) $TEX: \noindent<br />\textbf{5.} Demuestre que el conjunto de todas la sucesiones de n\'umeros reales formadas s\'olo por unos o ceros es no numerable.\\\\\\$ $TEX: Suponga que tal conjunto ( la llamaremos como $A$ ) es numerable.<br /><br />Como $A$ es numerable, lo podemos enumerar de la siguiente forma. $ A=\{a_{n}^{k}\}_{n\in \mathbb{N}}:a_n^{k}=\{0, 1\}$<br /><br />$\{a_{1}^{k}\}=a_{1}^{1}, a_{1}^{2}, a_{1}^{3}, \ldots$<br /><br />$\{a_{2}^{k}\}=a_{2}^{1}, a_{2}^{2}, a_{2}^{3}, \ldots$<br /><br />$\{a_{3}^{k}\}=a_{3}^{1}, a_{3}^{2}, a_{3}^{3}, \ldots$<br /><br />$\vdots$<br /><br />Contruyamos una sucesion $b_{n}$ como $(b_{n}=0\iff a_{n}^{n}=1) \wedge (b_{n}=1\iff a_{n}^{n}=0)$<br /><br />Pero nos damos cuenta que $b_{n}$ pertenece a $A$ porque es una sucesion de puros ceros y unos, y a la vez , no pertenece a $A$ porque no perteneceria a ninguna susecion $\{a_{n}^{k}\}$, y la contradicción se forma al suponer que $A$ es numerable $\blacksquare$$ saludos Mensaje modificado por Jorgeston el Aug 11 2008, 11:50 PM

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 27 2011, 01:11 AM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Kamelot @ Sep 28 2007, 07:53 PM) $TEX: \noindent\textbf{1.} Sea $\left\{a_n\right\}_n$ una sucesi\'on de n\'umeros reales positivos y sea $L=\displaystyle\lim_{n\to\infty} n\left[1-\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right]$ Demuestre que si $L>1$, entonces la sucesi\'on converge a cero.\\\\\$ Sea $TEX: $b_n:=n\left(1-\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right)$$ para todo $TEX: $n\in \mathbb{N}$$ . Como $TEX: $\{b_n\}_n$$ es convergente, se cumple que existe $TEX: $n_0\in \mathbb{N}$$ tal que $TEX: $\|b_n-L\|<\dfrac{L-1}{2}$$ si $TEX: $n\ge n_0$$ Esto significa que si $TEX: $n\ge n_0$$ , entonces $TEX: $1+\dfrac{L-1}{2}=\dfrac{L+1}{2}<b_n$$ O equivalentemente $TEX: $0<\dfrac{L-1}{2}<b_n-1=\dfrac{(n-1)a_n-na_{n+1}}{a_n}$ ()$ Sea $TEX: $c_n:=na_{n+1}$$ . Como $TEX: $a_n>0$$ , se sigue de () que $TEX: $c_{n-1}>c_n$$ para $TEX: $n\ge n_0$$ . Es decir, $TEX: $\{c_n\}_{n\ge n_0}$$ es decreciente (). Como $TEX: $c_n>0$$ para todo $TEX: $n\in \mathbb{N}$$ se sigue que $TEX: $\{c_n\}_n$$ es convergente, digamos que a $TEX: $c$$ . Veamos que $TEX: $c_n\ge c$$ para todo $TEX: $n\ge n_0$$ . En efecto, si existiera $TEX: $m$$ tal que $TEX: $c_m<c$$ y llamamos $TEX: $d=c-c_m$$ (de modo que $TEX: $d>0$$ ), se cumple que existe $TEX: $M$$ tal que para todo $TEX: $n\ge M$$ entonces $TEX: $\|c_n-c\|<d/2$$ . Luego si tomamos $TEX: $n>max\{M,m\}$$ entonces se sigue que $TEX: $c_m=c-d<c-d/2<c_n$$ . Como $TEX: $m<n$$ , esto contradice (). Por lo tanto $TEX: $c_n\ge c$$ para todo $TEX: $n\ge n_0$$ . Veamos que por () se tiene que $TEX: $0<a_n<\dfrac{2}{L-1}(c_{n-1}-c_n)$$ para todo $TEX: $n\ge n_0$$ . Sea $TEX: $N>n_0$$ . Entonces $TEX: $0\leq \displaystyle \sum_{k=n_0}^N a_k<\dfrac{2}{L-1}\displaystyle \sum_{k=n_0}^N (c_{k-1}-c_k)=\dfrac{2}{L-1}(c_{n_0-1}-c_N)$$ Como $TEX: $c_N\ge c$$ , se concluye que $TEX: $0< \sum_{k=n_0}^N a_k<\frac{2}{L-1}(c_{n_0-1}-c)$$ Sea $TEX: $\{s_n\}_{n\ge n_0}$$ definida como $TEX: $s_n= \sum_{k=n_0}^n a_k$$ . Como $TEX: $s_{n+1}-s_n=a_{n+1}>0$$ tenemos que $TEX: $\{s_n\}_{n\ge n_0}$$ es monótona. Al ser acotada (por lo visto previamente), se sigue que $TEX: $\{s_n\}_{n\ge n_0}$$ es convergente. Por lo tanto $TEX: $a_n\to 0$$ cuando $TEX: $n\to \infty$$ -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico:* Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

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