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Pipecaro Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 22 2012, 09:18 PM Publicado: #4331
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 26 Registrado: 12-March 11 Desde: Osorno Miembro Nº: 84.725 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: $x=\dfrac{p(2x-y)}{2}^{^{2}}$$

lostres Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 22 2012, 10:00 PM Publicado: #4332
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 49 Registrado: 21-June 08 Desde: stgo Miembro Nº: 27.885 Nacionalidad: Sexo:	hola, un problema del rudin (intro al análisis), es un poco largo, planteo mis soluciones (bueno una es del profe). La idea es pedir opinión o solución alternativa o mas corta. Acá va. Sea $TEX: $a_n>0$ $\forall n$ , $A_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} a_k$$ , $TEX: $\sum {a_n}$$ diverge. a) Mostrar que $TEX: $\sum {\dfrac{a_n}{1+a_n}}$$ diverge. Supongamos que $TEX: $\sum {\dfrac{a_n}{1+a_n}}$$ converge. Entonces. $TEX: $\forall \varepsilon > 0$$ , $TEX: $\exists N_0 \in \mathbb{N}$$ tal que $TEX: $\forall m>n>N_0$ \ \ $\displaystyle\sum_{k=n}^{m} {\dfrac{a_n}{1+a_n}} <\varepsilon$$ D.P.Q. $TEX: $\displaystyle\sum_{k=n}^{m} {a_k}<\varepsilon$$ observamos que $TEX: $\displaystyle\sum_{k=n}^{m} {a_k\over {2}}<\displaystyle\sum_{k=n}^{m} {\dfrac{a_k}{1+a_k}} <\varepsilon$$ Así $TEX: $\ \ 2>1+a_k \Leftrightarrow a_k<1$$ Luego $TEX: $\Rightarrow \ \ \exists N_1 \in \mathbb{N}$$ tal que $TEX: $\forall n \ge N_1 ,\ \ a_n<1$$ hacemos $TEX: $N=max(N_0,N_1)$, $\ \ \forall m>n \ge N$$ $TEX: $\displaystyle\sum_{k=n}^{m} {a_k\over {2}}<\displaystyle\sum_{k=n}^{m} {\dfrac{a_k}{1+a_k}} <{\varepsilon\over {2}}$, $\ \Rightarrow \displaystyle\sum_{k=n}^{m} {a_k}<\varepsilon \Rightarrow \sum {a_n}$$ converge. b) Mostrar que $TEX: $\dfrac{a_{N+1}}{A_{N+1}}+ . . . + \dfrac{a_{N+k}}{A_{N+k}} \ge 1-\dfrac{A_N}{A_{N+k}}$$ y deducir que $TEX: $\displaystyle\sum{a_n\over A_n}$$ diverge. observamos que $TEX: $A_{N+k}>A_{N+i} \ \ \forall \ \ i=1,...,k$$ luego $TEX: $\dfrac{a_{N+1}}{A_{N+1}}+ . . . + \dfrac{a_{N+k}}{A_{N+k}} \ge \dfrac{a_{N+1}+...+a_{N+k}}{A_{N+k}}=\dfrac{A_{N+k}-A_N} {A_{N+k}}=1-\dfrac{A_N}{A_{N+k}}$$ Ahora supongamos que $TEX: $\displaystyle\sum \dfrac{a_n}{A_n}$$ converge, esto es $TEX: $\forall \varepsilon>0,\ \ \exists N \in \mathbb{N}$$ tal que $TEX: $\forall n>m \ge N, \ \ \displaystyle\sum_{j=m}^{n} \dfrac{a_j}{A_j}<\varepsilon$$ por problema anterior y para todo $TEX: $n>m \ge N+1$$ $TEX: $1-\dfrac{A_N}{A_{N+k}}<\varepsilon$$ se observa que cuando $TEX: $k \to \infty$$ la sucesión $TEX: $\left(1-\dfrac{A_N}{A_{N+k}}\right)_k \to 1$$ y así se da una contradicción cuando tomamos $TEX: $\varepsilon=\dfrac{1}{2}$$ por ejemplo, Luego $TEX: $\displaystyle\sum \dfrac{a_n}{A_n}$$ converge. Mensaje modificado por lostres el Feb 23 2012, 12:24 AM

lostres Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 23 2012, 11:53 AM Publicado: #4333
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 49 Registrado: 21-June 08 Desde: stgo Miembro Nº: 27.885 Nacionalidad: Sexo:	este ejercicio viene de considere $TEX: $a_n>0 \ \ \forall n \in \mathbb{N} ,\ \ \displaystyle\sum a_n $$ diverge y $TEX: $ A_n=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k$$ c) mostrar que $TEX: $\dfrac{a_n}{{A_n}^2} \le \dfrac{1}{A_{n-1}}-\dfrac{1}{A_n} $$ y deducir que $TEX: $\displaystyle\sum \dfrac{a_n}{{A_n}^2}$$ converge. Sea $TEX: $\dfrac{a_n}{{A_n}^{2}}=\dfrac{a_n}{A_nA_n} \le \dfrac{a_n}{A_{n-1}A_n}=\dfrac{A_n-A_{n-1}}{A_{n-1}A_n}$$ ya que $TEX: $A_j>A_i \ \ \forall j>i$$ luego $TEX: $\dfrac{a_n}{{A_n}^2} \le \dfrac{1}{A_{n-1}}-\dfrac{1}{A_n} ,\ \ \forall n>0 $$ luego observamos que $TEX: $\displaystyle\sum_{k=m}^n \dfrac{a_k}{{A_k}^2}$$ es acotada, por lo tanto $TEX: $\displaystyle\sum \dfrac{a_n}{{A_n}^2}$$ converge. d) y este si que tengo duda, con las mismas hipótesis, estudiar el comportamiento de $TEX: $\displaystyle\sum\dfrac{a_n}{1-na_n}$$ yo he encontrado puras series divergentes que cumplen esa condición, onda con $TEX: $a_n=n$$ por ejemplo, la serie en cuestión da que diverge (por comparación con la armónica) y no he podido encontrar un $TEX: $a_n$$ divergente que haga que $TEX: $\displaystyle\sum\dfrac{a_n}{1-na_n}$$ de convergente. Por favor si alguien pudiese encontrar un ejemplo estaría muy agradecido, ya que según el profe esa serie puede converger o diverger dependiendo del $TEX: $a_n$$ (pero el $TEX: $a_n$$ es siempre divergente por las hipótesis del problema). Mensaje modificado por lostres el Feb 23 2012, 12:41 PM

lostres Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 27 2012, 12:36 PM Publicado: #4334
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 49 Registrado: 21-June 08 Desde: stgo Miembro Nº: 27.885 Nacionalidad: Sexo:	hola, quien se auspicia con este ejercicio porfas.. $TEX: $\displaystyle\int_{\mathbb{R}} \dfrac{1}{x^{2n}+1}dx$$ o para mayor simplicidad Mensaje modificado por lostres el Feb 27 2012, 12:37 PM

Inox94 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 28 2012, 08:21 PM Publicado: #4335
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 5 Registrado: 11-November 11 Miembro Nº: 96.983 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: En un país, si se compara la población al final de cada año con la población a fines del año anterior durante un <br />decenio,se observa que durante los 5 primeros años la población disminuyó en un 10% cada año y durante los siguientes 5 años la población creció un 10\% anualmente. Si al comienzo del decenio mencionado la población era P0 .¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.$ $TEX: A) Al final de los primeros 5 años la población era $0,5P_{0}$.$ $TEX: B) Al final del decenio la población era $0,5(1,1)^5P_{0}$.$ $TEX: C) Al final del decenio la población era $P_{0}$$ $TEX: D) Al final del decenio la población era 50\% mayor que la población al final de los primeros 5 años.$ Mensaje modificado por Inox94 el Feb 28 2012, 08:44 PM --------------------

juanpamat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 29 2012, 09:49 PM Publicado: #4336
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 373 Registrado: 29-December 08 Desde: santiago Miembro Nº: 41.467 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: \[<br />\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } <br />\]$ Mensaje modificado por juanpamat el Feb 29 2012, 10:03 PM -------------------- * "Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo" * "Las matemáticas son el lenguaje de la naturaleza." Galileo Galilei.

juanpamat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 29 2012, 10:05 PM Publicado: #4337
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 373 Registrado: 29-December 08 Desde: santiago Miembro Nº: 41.467 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: \[<br />\sqrt {a^2 + b^2 } <br />\]$ -------------------- * "Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo" * "Las matemáticas son el lenguaje de la naturaleza." Galileo Galilei.

juanpamat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 29 2012, 10:14 PM Publicado: #4338
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 373 Registrado: 29-December 08 Desde: santiago Miembro Nº: 41.467 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: \[<br />\sum\limits_{n = 2}^{1995} {\log _{1996!}^{n + 1} } <br />\]$ -------------------- * "Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo" * "Las matemáticas son el lenguaje de la naturaleza." Galileo Galilei.

gynna.ter Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 1 2012, 02:28 AM Publicado: #4339
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 5 Registrado: 10-February 12 Miembro Nº: 101.053 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	tex$fracasando en latex$(a^3+1)$/tex -------------------- yo.

»führer« Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 10 2012, 11:42 PM Publicado: #4340
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.271 Registrado: 16-May 11 Miembro Nº: 88.746	$TEX: $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1}(i^2+1)=(-1)^{1-1}(1^2+1)+(-1)^{2-1}(2^2+1)+$$ $TEX: $...+(-1)^{n-2}(n^2-2n+2)+(-1)^n(n^2+1)$$ Mensaje modificado por blitz el Mar 10 2012, 11:47 PM -------------------- cambié de cuenta, adiós

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