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I1 Cálculo II

EnnaFrad Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 24 2007, 11:46 PM Publicado: #1
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 121 Registrado: 6-December 05 Desde: Las Condes - Chillán Miembro Nº: 460 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Pontificia Universidad Católica de Chile Facultad de Matemáticas 10 de Septiempre de 2007 MAT1512 - Cálculo II Interrogación N°1 1. i) Demuestre que si $TEX: ${0 < a < b}$$ , entonces $TEX: $${\dfrac{b-a}{b} < \ln{\left(\dfrac{b}{a}\right)} < \dfrac{b-a}{a}}$$$ ii) Calcule $TEX: ${\displaystyle\int\limits_{ - 2}^3 {\left\| {\left\| x \right\| - 1} \right\|dx}}$$ 2. Sea $TEX: ${f(t) = \displaystyle\int\limits_0^t {\sin(y^3)dy}}$$ . Se definen funciones $TEX: $${G(x) = \int\limits_0^x {f(t)dt}}$$$ $TEX: $${H(x) = \int\limits_0^x {(x-t)\sin(t^3)}dt}$$$ Demuestre que $TEX: ${G(x) = H(x)}$$ 3. i) Sea $TEX: ${f}$$ una funcion continua tal que $TEX: $${ \int\limits_0^2 {f(x)dx} = 3}$$$ $TEX: $${ \int\limits_0^5 {f(x)dx} = 7}$$$ Hallar el valor de $TEX: $${ \int\limits_0^1 {f(2+3x)dx}}$$$ ii) Si $TEX: ${I_n = \displaystyle\int\limits_0^1 {\dfrac{t^n}{\sqrt{a^2+t^2}}}dt}$$ , demuestre que $TEX: $${I_n=\dfrac{1}{n}(\sqrt{a^2+a}-(n-1)a^2 I_{n-2})}$$$ 4. Calcular i) $TEX: $${\int {\tan ^4 (x)} dx}$$$ ii) $TEX: $${\int {\sqrt{1+e^x}}}$$$ Ahi está.. tarde pero bueno Mensaje modificado por EnnaFrad el Sep 26 2007, 11:41 AM

Guía Rojo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 27 2007, 12:24 AM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 903 Registrado: 28-May 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 69 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(EnnaFrad @ Sep 25 2007, 12:46 AM) 4. Calcular i) $TEX: $${\int {\tan ^4 (x)} dx}$$$ ii) $TEX: $${\int {\sqrt{1+e^x}}}$$$ i) $TEX: \noindent $I=\displaystyle\int \tan ^4(x)dx=\displaystyle\int \tan^2(x)\left[\sec^2(x)-1\right]dx$\\<br />\\<br />$=\displaystyle\int \tan^2(x)\sec^2(x)dx\ -\ \displaystyle\int \tan^2(x)dx$\\<br />\\<br />$=\displaystyle\int \tan^2(x)\sec^2(x)dx\ -\ \displaystyle\int \left[\sec^2(x)-1\right]dx$\\<br />\\<br />$=\displaystyle\underbrace{\int \tan^2(x)\sec^2(x)dx\ -\ \displaystyle\int \sec^2(x)dx}_{u=tan(x)\ \Longrightarrow \ du=\sec^2(x)dx}\ +\ \displaystyle\int dx$\\<br />\\<br />$=\displaystyle\int u^2du\ -\ \displaystyle\int du\ +\ \displaystyle\int dx$\\<br />\\<br />$=\dfrac{u^3}{3}-u+x+C\ \ ,\ \ C\in\mathbb{R}$\\<br />\\<br />$=\boxed{\dfrac{\tan^3(x)}{3}-\tan(x)+x+C\ \ ,\ \ C\in\mathbb{R}}$$ ii) $TEX: \noindent $I=\displaystyle\underbrace{\int \sqrt{1+e^x}\ dx}_{e^x=\tan^2\alpha \ \Longrightarrow \ dx=\frac{2\sec^2\alpha \ d\alpha }{\tan \alpha }}=\displaystyle\int \sqrt{1+\tan^2\alpha }\ \dfrac{2\sec^2\alpha \ d\alpha }{\tan\alpha }$\\<br />\\<br />$=\displaystyle\int \dfrac{2\sec^3\alpha \ d\alpha }{\tan \alpha }=\displaystyle\underbrace{\int \dfrac{2\sin\alpha \ d\alpha }{\cos^2\alpha \left(1-\cos^2\alpha \right)}}_{u=\cos \alpha \ \Longrightarrow \ du=-\sin \alpha \ d\alpha }$\\<br />\\<br />$=\displaystyle\int \dfrac{-2du}{u^2(1-u^2)}=\displaystyle\int \dfrac{-2du}{u^2}\ +\ \displaystyle\int \dfrac{-2du}{1-u^2}$\\<br />\\<br />$=\displaystyle\int \dfrac{-2du}{u^2}\ +\ \displaystyle\int \dfrac{-du}{1+u}\ +\ \displaystyle\int \dfrac{du}{u-1}$\\<br />\\<br />$=\dfrac{2}{u}-\ln \|1+u\|+\ln \|u-1\|+C\ \ ,\ \ C\in\mathbb{R}$\\<br />\\<br />$=\dfrac{2}{u}+\ln \|\dfrac{-u^2+2u-1}{1-u^2}\|+C\ \ ,\ \ C\in\mathbb{R}$\\<br />\\<br />$=\dfrac{2}{\cos\alpha }+\ln \|\dfrac{-\cos^2\alpha +2\cos\alpha -1}{\sin^2\alpha }\|+C\ \ ,\ \ C\in\mathbb{R}$\\<br />\\<br />$=2\sqrt{1+\tan^2\alpha }+\ln \|-\dfrac{2}{\tan^2\alpha }-1+\dfrac{2\sqrt{1+\tan^2\alpha }}{\tan^2\alpha }\|+C\ \ ,\ \ C\in\mathbb{R}$\\<br />\\<br />$=\boxed{2\sqrt{1+e^x}+\ln \|\dfrac{-2-e^x+2\sqrt{1+e^x}}{e^x}\|+C\ \ ,\ \ C\in\mathbb{R}}$$ -------------------- Bachiller en Ciencias (ex) Estudiante de Medicina Estudiante de Ingeniería Civil de Industrias, diploma en Ingeniería Matemática Pontificia Universidad Católica de Chile "El espíritu del matemático busca la belleza del pensamiento, y esa va de la mano con la filosofía." - Héctor Hardy Pastén Vásquez "¿Qué te hace pensar que si tienes dos elementos de un conjunto con otros dos elementos de otro conjunto se origina uno nuevo con cuatro? Es sólo el sentido común, no te imaginas que los elementos aparecen de la nada, pero resulta que con el sólo hecho de cuestionar el sentido común, se podría afirmar que cuando juntas cuatro elementos aparecen miles de elementos más. Y si lo demuestras, todo se basa en la razón." - Alonso Duque Vega, razonador por excelencia $TEX: $S=1+dfrac{1}{2}+dfrac{1}{3}+dfrac{1}{4}+dfrac{1}{5}+ldots$$ Esta serie converge! He encontrado una maravillosa demostración de esto, pero no cabe en la estrechez de esta firma...

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 27 2007, 12:45 PM Publicado: #3
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	CITA(EnnaFrad @ Sep 24 2007, 11:46 PM) ii) $TEX: $${\int {\sqrt{1+e^x}}}\,dx$$$ $TEX: \begin{eqnarray}<br /> \int {\sqrt {1 + e^x } \,dx} &=& 2\int {\frac{{u^2 }}<br />{{u^2 - 1}}\,du}\\<br /> &=& 2\left( {\int {du} + \frac{1}<br />{2}\int {\frac{{(u + 1) - (u - 1)}}<br />{{(u + 1)(u - 1)}}\,du} } \right)\\<br /> &=& 2\left( {u + \frac{1}<br />{2}\ln \left\| {\frac{{u - 1}}<br />{{u + 1}}} \right\|} \right) + k\\<br /> &=& 2\sqrt {1 + e^x } + \ln \left\| {\frac{{\sqrt {1 + e^x } - 1}}<br />{{\sqrt {1 + e^x } + 1}}} \right\| + k<br />\end{eqnarray}$ Donde $TEX: $u^2=1+e^x$$

EnnaFrad Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 27 2007, 06:09 PM Publicado: #4
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 121 Registrado: 6-December 05 Desde: Las Condes - Chillán Miembro Nº: 460 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(EnnaFrad @ Sep 25 2007, 02:46 AM) 1. i) Demuestre que si $TEX: ${0 < a < b}$$ , entonces $TEX: $${\dfrac{b-a}{b} < \ln{\left(\dfrac{b}{a}\right)} < \dfrac{b-a}{a}}$$$ $TEX: <br />$ $ \\<br />Sabemos por propiedades del logaritmo e integrales que: \\<br />${\ln{\left(\dfrac{b}{a} \right)} = \ln{b} - \ln{a} = \displaystyle\int \limits_a^b \dfrac{du}{u}}$ \\<br />Por teorema del valor medio de integrales: \\<br />$${\displaystyle\int \limits_a^b \dfrac{1}{u} du = \dfrac{1}{c} \left(b-a \right)}$$ \\<br />Donde ${a < c < b}$\\<br />Esto equivale a decir que: ${\dfrac{1}{b} < \dfrac{1}{c} < \dfrac{1}{a}}$, ya que ${a,b,c > 0}$<br />Por lo tanto: \\<br />$${\dfrac{b-a}{b} < \displaystyle\int \limits_a^b \dfrac{1}{u} du < \dfrac{b-a}{a}}$$ \\<br />$${\dfrac{b-a}{b} < \ln{\left(\dfrac{b}{a}\right)} < \dfrac{b-a}{a}}$$$

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