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Tercer Nivel Individual

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 29 2005, 10:59 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Problema 1. Sabiendo que el número $TEX: $\sqrt{1+2000\cdot 2001\cdot 2002\cdot 2003}$$ es entero, encuentre su valor Problema 2. Un barquillo de helado en Planilandia está formado por un $TEX: $\triangle ABC$$ equilátero (la base del barquillo) y un círculo de radio 1 (el helado), tangente a $TEX: $\overline{AB}$$ y $TEX: $\overline{AC}$$ . El centro del círculo $TEX: $O$$ está sobre el lado $TEX: $\overline{BC}$$ Cuando se derrite el helado, éste cae dentro del barquillo. ¿Cuál es la altura del helado líquido dentro del barquillo? -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

Caetano Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 3 2005, 09:42 PM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 293 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 3 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Aqui esta la solucion para el problema 1 Reemplazamos el 2000 por $TEX: $x$$ , y reduzcamos: $TEX: \begin{eqnarray}<br />\sqrt{1+2000\cdot 2001\cdot 2002\cdot 2003} & = & \sqrt{1+x\cdot(x+1)\cdot(x+2)\cdot(x+3)} \\<br /> & = & \sqrt{1+(x^2+x)\cdot(x^2+5x+6)} \\<br /> & = & \sqrt{1+x^4+5x^3+6x^2+x^3+5x^2+6x} \\<br /> & = & \sqrt{x^4+9x^2+1+6x^3+2x^2+6x} \\<br /> & = & \sqrt{(x^2+3x+1)^2} \\<br /> & = & x^2+3x+1 \\<br /> & = & 2000^2+3\cdot 2000+1 \\<br /> & = & 4000000+6000+1\\<br /> & = & 4006001<br />\end{eqnarray}<br />$ nos vemos :hola: --------------------

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 3 2005, 10:30 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Impecable, aunque es medio artificial tomar el polinomio de grado 4 y factorizarlo como $TEX: $(x^2+3x+1)^2$$ . Una forma + sencilla de verlo es multiplicando $TEX: $x(x+3)$$ por una parte y $TEX: $(x+1)(x+2)$$ por otra. En este caso hicimos $TEX: $\sqrt{(x^2+3x+1)^2}=x^2+3x+1$$ , porque sabemos de antemano que $TEX: $x=2000$$ , y así la cantidad $TEX: $x^2+3x+1$$ es positiva Esperamos la respuesta para la otra pregunta -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

tt14123 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 1 2006, 12:46 PM Publicado: #4
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 228 Registrado: 8-August 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 194	2) screen.width0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaÃ±o original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img491.imageshack.us/img491/8692/cono5av.jpg');}" /> Sabemos que el área del círculo es $TEX: $\pi$$ y como sabemos el triángulo formado por el helado derretidoes semejante al cono; por lo que es equilátero. Digamos que el lado del nuevo triángilo es $TEX: x$ el área de este seria $TEX: $x^{2}\sqrt{3}$<br />/4$ Entonces $TEX: $x^{2}\sqrt{3}/4 = \pi$$ $TEX: x = 2$\sqrt{3\pi\sqrt{3}}$/3$ $TEX: x$\sqrt{3}/2 = \sqrt{\pi\sqrt{3}}$$ $TEX: $\sqrt{\pi\sqrt{3}<br />}$$ es la altura del nuevo triángulo

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 1 2006, 03:24 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Ahora tenemos esta prueba completamente resuelta, consideramos que estos dos problemas no son de un nivel de dificultad tan alto (incluso en CMAT he visto algunas pruebas de 3° más difíciles) Tengo una objeción a la solución del problema 2: el dibujo no es un aporte para la solución del problema, o sea no es consecuente con lo que desarrollaste. Quien mire el dibujo, muy probablemente se va a perder de tu solución Salu -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 15 2006, 12:21 AM Publicado: #6
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Para explicar de mejor manera la factorizacion que hizo Caetano, siguiendo la indicacion de xsebastian, tendremos que: $TEX: \begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />1+x(x+1)(x+2)(x+3) &=1+[x(x+3)][(x+1)(x+2)]\\<br />&= 1+[x^2+3x][x^2+3x+2]\\<br />&= 1+[x^2+3x][(x^2+3x)+2]\\<br />&= 1+(x^2+3x)^2+2(x^2+3x)\\<br />&= ((x^2+3x)+1)^2<br />\end{aligned}<br />\end{equation}$ Saludos PD: Por ende solo tenia que conocer una de las mas simples factorizaciones, conocida como cuadrado de binomio: $TEX: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$ -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

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