Tercer Nivel Individual - Foro fmat.cl

Portal Matemático

¿Qué es FMAT?

Foro fmat.cl > Sector Preparación Olimpiadas > Competencias y Olimpiadas > Campeonato Interescolar > Campeonato Interescolar 2003 > Primera Fecha

Reply to this topic

Start new topic

Tercer Nivel Individual

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 29 2005, 10:59 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Problema 1. Sabiendo que el número $TEX: $\sqrt{1+2000\cdot 2001\cdot 2002\cdot 2003}$$ es entero, encuentre su valor Problema 2. Un barquillo de helado en Planilandia está formado por un $TEX: $\triangle ABC$$ equilátero (la base del barquillo) y un círculo de radio 1 (el helado), tangente a $TEX: $\overline{AB}$$ y $TEX: $\overline{AC}$$ . El centro del círculo $TEX: $O$$ está sobre el lado $TEX: $\overline{BC}$$ Cuando se derrite el helado, éste cae dentro del barquillo. ¿Cuál es la altura del helado líquido dentro del barquillo? -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

Caetano Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 3 2005, 09:42 PM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 293 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 3 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Aqui esta la solucion para el problema 1 Reemplazamos el 2000 por $TEX: $x$$ , y reduzcamos: $TEX: \begin{eqnarray}<br />\sqrt{1+2000\cdot 2001\cdot 2002\cdot 2003} & = & \sqrt{1+x\cdot(x+1)\cdot(x+2)\cdot(x+3)} \\<br /> & = & \sqrt{1+(x^2+x)\cdot(x^2+5x+6)} \\<br /> & = & \sqrt{1+x^4+5x^3+6x^2+x^3+5x^2+6x} \\<br /> & = & \sqrt{x^4+9x^2+1+6x^3+2x^2+6x} \\<br /> & = & \sqrt{(x^2+3x+1)^2} \\<br /> & = & x^2+3x+1 \\<br /> & = & 2000^2+3\cdot 2000+1 \\<br /> & = & 4000000+6000+1\\<br /> & = & 4006001<br />\end{eqnarray}<br />$ nos vemos :hola: --------------------

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 3 2005, 10:30 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Impecable, aunque es medio artificial tomar el polinomio de grado 4 y factorizarlo como $TEX: $(x^2+3x+1)^2$$ . Una forma + sencilla de verlo es multiplicando $TEX: $x(x+3)$$ por una parte y $TEX: $(x+1)(x+2)$$ por otra. En este caso hicimos $TEX: $\sqrt{(x^2+3x+1)^2}=x^2+3x+1$$ , porque sabemos de antemano que $TEX: $x=2000$$ , y así la cantidad $TEX: $x^2+3x+1$$ es positiva Esperamos la respuesta para la otra pregunta -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

tt14123 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 1 2006, 12:46 PM Publicado: #4
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 228 Registrado: 8-August 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 194	2) screen.width0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaÃ±o original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img491.imageshack.us/img491/8692/cono5av.jpg');}" /> Sabemos que el área del círculo es $TEX: $\pi$$ y como sabemos el triángulo formado por el helado derretidoes semejante al cono; por lo que es equilátero. Digamos que el lado del nuevo triángilo es $TEX: x$ el área de este seria $TEX: $x^{2}\sqrt{3}$<br />/4$ Entonces $TEX: $x^{2}\sqrt{3}/4 = \pi$$ $TEX: x = 2$\sqrt{3\pi\sqrt{3}}$/3$ $TEX: x$\sqrt{3}/2 = \sqrt{\pi\sqrt{3}}$$ $TEX: $\sqrt{\pi\sqrt{3}<br />}$$ es la altura del nuevo triángulo

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 1 2006, 03:24 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Ahora tenemos esta prueba completamente resuelta, consideramos que estos dos problemas no son de un nivel de dificultad tan alto (incluso en CMAT he visto algunas pruebas de 3° más difíciles) Tengo una objeción a la solución del problema 2: el dibujo no es un aporte para la solución del problema, o sea no es consecuente con lo que desarrollaste. Quien mire el dibujo, muy probablemente se va a perder de tu solución Salu -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 15 2006, 12:21 AM Publicado: #6
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Para explicar de mejor manera la factorizacion que hizo Caetano, siguiendo la indicacion de xsebastian, tendremos que: $TEX: \begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />1+x(x+1)(x+2)(x+3) &=1+[x(x+3)][(x+1)(x+2)]\\<br />&= 1+[x^2+3x][x^2+3x+2]\\<br />&= 1+[x^2+3x][(x^2+3x)+2]\\<br />&= 1+(x^2+3x)^2+2(x^2+3x)\\<br />&= ((x^2+3x)+1)^2<br />\end{aligned}<br />\end{equation}$ Saludos PD: Por ende solo tenia que conocer una de las mas simples factorizaciones, conocida como cuadrado de binomio: $TEX: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$ -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

« Posterior · Primera Fecha · Anterior »

Reply to this topic

Start new topic

1 usuario(s) está(n) leyendo esta discusión (1 invitado(s) y 0 usuario(s) anónimo(s))

0 miembro(s):

Modo de Ver: Estándar · Cambiar a: Lineal+ · Cambiar a: Outline

Suscribirse · Enviar por correo · Imprimir · Suscribirse a este foro

Versión Lo-Fi

Fecha y Hora actual: 6th March 2025 - 09:57 PM

Powered By IP.Board 2.2.1 © 2007 IPS, Inc.