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Certamen 1, AÑO 2006

Jorgeston Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 7 2007, 08:22 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Baneado Mensajes: 2.588 Registrado: 7-November 06 Miembro Nº: 2.747	Acá dejo el certamen del año pasado, bastante facil en realidad. Ojalá nos toque uno asi este lunes P1 Resuelva los siguienes ejercicios, fundamentando su respuesta ( 0,5 ptos cada uno): a) Dada la funcion de ecuacion $TEX: $u(x,y)=x^3-3xy^2$$ , determine la funcion armonica conjugada de $TEX: $u$$ b) Sea $TEX: $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ definida por $f(x+iy)=x^2+2y+i(x^2+y^2)$$ . Determine los puntos del plano complejo $TEX: $\mathbb{C}$$ donde $TEX: $f$$ es derivable. c) Dada la funcion : $TEX: $f(z)=\begin{cases}<br />\dfrac{(Re(z^2))^2}{\|z\|^2}&\text{si}\,\,\, z\neq 0\\<br />a&\text{si}\,\,\, z=0<br />\end{cases}$$ Determine, si existe, el valor de $TEX: $a$$ de manera que $TEX: $f$$ sea continua en $TEX: $z=0$$ ** P2 Haga ver que (0,5 ptos cada uno): a) $TEX: $\|cos(z)\|^2=cos^2(x)+sinh^2(y)$$ , donde $TEX: $z=x+iy$$ b) $TEX: $\|cosh(z)\|^2=sinh^2(x)+cos^2(y)$$ , donde $TEX: $z=x+iy$$ c) Si $TEX: $Re(z_1), Re(z_2)\in \mathbb{R}^+$$ entonces $TEX: $Log(z_1 z_2)=Log(z_1)+Log(z_2)$$ P3 (1,5 ptos) Suponga que $TEX: $f=u+iv:A \subset \mathbb{C}\to \mathbb{C}$$ es una funcion analitica en su dominio. Muestre que si $TEX: $u(x,y)=4$$ , $TEX: $(x,y)\in A$$ , entonces $TEX: $f$$ es constante. ** P4 (1,5 ptos) Suponga que $TEX: $f=u+iv:A \subset \mathbb{C}\to \mathbb{C}$$ es una funcion analitica en su dominio y que sus funciones componentes sn de clase $TEX: $\mathcal{C}^1$$ en $TEX: $A\subset \mathbb{R}^2$$ . Se define $TEX: $g=u_1+iv_1$$ donde $TEX: $u_1=u^2-v^2$$ y $TEX: $v_1=2uv$$ . Se afirma que $TEX: $g$$ es analitica en $TEX: $A$$ ¿Es verdadera la informacion?, justifique su respuesta.

Jorgeston Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 8 2007, 12:29 AM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Baneado Mensajes: 2.588 Registrado: 7-November 06 Miembro Nº: 2.747	P1 a) Sea $TEX: $v$$ la función a buscar. $TEX: <br />\noindent Por la ecuaciones de Cauchy- Riemman se tiene que $u_{x}=v_{y}$ y que $u_{y}=-v_{x}$. Entonces, de la primera ecuacion , tenemos $3x^2-3y^2=v_{y}$. Integrando parcialmente respecto a $y$, con parametro en $x$, implica que $3x^{2}y-y^{3}+c(x)=v$<br /><br />\noindent Luego derivamos $v$ respecto a $x$, y se tiene $v'(x)=6xy+c'(x)$. Por la primera ecuacion de Cauchy-Riemman, despejamos $c$, observando que $u_y=-6xy=-v_{x}=-6xy-c'(x)$, obteniendose que $c'(x)=0$, por lo que $c(x)=k$, con $k\in \mathbb{R}$<br /><br />\noindent Luego la funcion armonica conjugada de $u(x,y)$ es $v(x,y)=3x^{2}y-y^{3}+k$, con $k\in \mathbb{R}$$ saludos

Jorgeston Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 8 2007, 12:39 AM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Baneado Mensajes: 2.588 Registrado: 7-November 06 Miembro Nº: 2.747	P1 b) $TEX: \noindent $f(x+iv)=x^2+2y+i(x^2+y^2)$<br /><br />\noindent Sea $u(x,y)=x^2+2y$ y $v(x,y)=x^2+y^2$. Las ecuaciones de Cauchy- Riemman implican analiticidad si las funciones $u$ y $v$ son clase $\mathcal{C}^1$, lo que es obvio pues son funciones polinomiales. La analiticidad implica derivabilidad obviamente. Entonces, aplicamos C-R :<br /><br />\noindent $u_x= 2x \,\,\, u_y=2 \,\,\, v_x= 2x \,\,\, v_y=2y$, Luego se tiene que $ 2x=2y\implies x=y$ y que $2=-2y\implies y=-1\implies x=-1$<br /><br />\noindent Por lo tanto, $f$ es derivable solamente en $z=-1-i$$ salu2!

Jorgeston Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 8 2007, 12:53 AM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Baneado Mensajes: 2.588 Registrado: 7-November 06 Miembro Nº: 2.747	P1 c) $TEX: \noindent Calculamos $\displaystyle\lim_{z\to 0}\frac{(Re(z^2))^2}{\|z\|^2}$<br /><br />\noindent Notemos que $(\forall x\in \mathbb{C}) Re(x)\leq \|x\|$, entonces, $\displaystyle \frac{(Re(z^2))^2}{\|z\|^2} \leq \frac{(\|z\|^2)^2}{\|z\|^2} =\frac{\|z\|^{4}}{\|z\|^{2}}=\|z\|^2$ y cuando $z\to 0\implies \|z\|^2\to 0$<br /><br />\noindent Por teorema del sandwich, se concluye que $\displaystyle\lim_{z\to 0}\frac{(Re(z^2))^2}{\|z\|^2}=0$ por lo que $a=0$ para que $f$ sea continua en $z=0$$ salu2

Jorgeston Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 8 2007, 01:00 AM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Baneado Mensajes: 2.588 Registrado: 7-November 06 Miembro Nº: 2.747	CITA(jorgeston @ Sep 7 2007, 09:22 PM) ** P3 (1,5 ptos) Suponga que $TEX: $f=u+iv:A \subset \mathbb{C}\to \mathbb{C}$$ es una funcion analitica en su dominio. Muestre que si $TEX: $u(x,y)=4$$ , $TEX: $(x,y)\in A$$ , entonces $TEX: $f$$ es constante. ** $TEX: \noindent Como $f$ es analitica en su dominio se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemman. Luego, $u_x=v_y$ y $u_y=-v_x$ Como $u(x,y)=4$, las derivadas valen 0 y por las ecuaciones de Cauchy-Riemman, se tiene $v_x=v_y=0$, por lo que $\nabla v=\theta$ y eso nos dice que $v$ es constante tambien, digamos, $v=c$, con $c\in \mathbb{R}$, esto nos dice que $f=4+ic$, con $c\in \mathbb{R}$ . Se conluye que $f$ es constante$ salu2!

Jorgeston Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 9 2007, 03:12 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Baneado Mensajes: 2.588 Registrado: 7-November 06 Miembro Nº: 2.747	CITA(jorgeston @ Sep 7 2007, 09:22 PM) P4 (1,5 ptos) Suponga que $TEX: $f=u+iv:A \subset \mathbb{C}\to \mathbb{C}$$ es una funcion analitica en su dominio y que sus funciones componentes sn de clase $TEX: $\mathcal{C}^1$$ en $TEX: $A\subset \mathbb{R}^2$$ . Se define $TEX: $g=u_1+iv_1$$ donde $TEX: $u_1=u^2-v^2$$ y $TEX: $v_1=2uv$$ . Se afirma que $TEX: $g$$ es analitica en $TEX: $A$$ ¿Es verdadera la informacion?, justifique su respuesta. $TEX: <br />\noindent Notemos que $g=u^2-v^2+i(2uv)=(u+iv)^2$. Sea $h(z)=z^2$. Entonces se puede decir que $g=h\circ f$. Como $f$ es analitica en su dominio y $h$ es entera ( analitica en todo el plano complejo), se puede afirmar que $g$ es analitica en $A$, pues la composicion de funciones est\'a bien definida, y la composici\'on de funciones analitica es analitica, por lo que la afirmaci\'on propuesta es verdadera.$ salu2

Jorgeston Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 9 2007, 04:13 PM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Baneado Mensajes: 2.588 Registrado: 7-November 06 Miembro Nº: 2.747	CITA(jorgeston @ Sep 7 2007, 09:22 PM) **** P2 Haga ver que (0,5 ptos cada uno): a) $TEX: $\|cos(z)\|^2=cos^2(x)+sinh^2(y)$$ , donde $TEX: $z=x+iy$$ $TEX: $\|cos(z)\|^2= cos(z))(\overline{cos(z)})=\left( \dfrac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} \right) \left( \dfrac{e^{i\overline{z}}+e^{-i\overline{z}}}{2} \right)$$ $TEX: $=\dfrac{1}{4}(e^{2xi}+e^{-2y}+e^{2y}+e^{-2xi})=\dfrac{1}{4}((e^{2xi}+e^{-2xi}+2)+(e^{2y}-2+e^{-2y}))$$ $TEX: $=\left( \dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} \right)^2+ \left( \dfrac{e^{y}-e^{-y}}{2} \right)^2$$ $TEX: $=cos^2(x)+sinh^2(y)\blacksquare$$ la b) es analoga salu2

C.F.Gauss Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 29 2009, 11:08 AM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 1.912 Registrado: 10-January 08 Desde: Un Sobolev Miembro Nº: 14.530 Nacionalidad: Sexo:	CITA(jorgeston @ Sep 7 2007, 10:22 PM) c) Si $TEX: $Re(z_1), Re(z_2)\in \mathbb{R}^+$$ entonces $TEX: $Log(z_1 z_2)=Log(z_1)+Log(z_2)$$ $TEX: \noindent Sean $z_1=x_1+iy_1$, $z_2=x_2+iy_2$, con $x_1,x_2>0$, lo que implica que $\Theta=\mathrm{Arg}\,z_1\in\,\left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[$ y que $\Phi=\mathrm{Arg}\,z_2\in\,\left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[$. ()\\<br />Además, si $r_1$ y $r_2$ respresentan los módulos de $z_1$ y $z_2$, respectivamente, se tiene:<br />$$\log(z_1z_2)=\log(r_1r_2\exp(\Theta +\Phi))=\ln(r_1r_2)+i(\Theta + \Phi)$$<br /><br />\noindent Por (), se tiene que el ángulo $\Gamma=(\Theta +\Phi)\in\,]-\pi,\pi[$, por lo que estamos frente al valor principal del logartimo y así, podemos escribir:<br />$$\mathrm{Log}\,(z_1z_2)=\ln(r_1r_2)+i\Gamma,\textrm{ con $-\pi<\Gamma<\pi$}$$<br /><br />\noindent Ahora bien:<br />\begin{align}<br />\mathrm{Log}\,(z_1)=\ln r_1+i\Theta,\quad-\dfrac{\pi}{2}<\Theta<\dfrac{\pi}{2}\\<br />\mathrm{Log}\,(z_2)=\ln r_2+i\Phi,\quad-\dfrac{\pi}{2}<\Phi<\dfrac{\pi}{2}<br />\end{align}<br />\noindent Luego, usando las propiedades del logartimo real:<br />\begin{align}<br />\mathrm{Log}\,(z_1)+\mathrm{Log}\,(z_2)&=\ln r_1+i\Theta + \ln r_2+i\Phi\\<br />&=\ln(r_1r_2)+i(\Theta +\Phi)\\<br />&=\ln(r_1r_2)+i\Gamma,\textrm{ con $-\pi<\Gamma<\pi$} <br />\end{align}<br />de donde se concluye lo pedido.<br />$ -------------------- Dos crudas realidades CITA(Pasten @ Jun 5 2014, 09:21 AM) ¿Dónde están las nuevas generaciones? wasapeando y actualizando su perfil de face. CITA(Zefidu @ Sep 3 2013, 09:55 PM) (...)FMAT es una gran comunidad con grandes usuarios... A excepción de algunos que se les sube el humo a la cabeza...

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