Primer Nivel Individual

Primer Nivel Individual, Completamente Resuelta

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 29 2005, 10:56 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Problema 1. Se escriben los números del 1 al 100 como a continuación: 1 2 3 4 ... 98 99 100 ¿Es posible intercalar los símbolos + o - entre ellos de manera que el resultado de la operación sea 0?¿Cómo? ¿Es posible hacer lo mismo de manera que el resultado sea 1?¿Por qué? Problema 2. El promedio de 5 números es 40. Al eliminar dos de ellos el nuevo promedio es 36. ¿Cuál es el promedio de los dos números eliminados? -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

Corecrasher	May 29 2005, 11:20 PM Publicado: #2
Invitado	CITA(xsebastian @ May 29 2005, 11:56 PM) Problema 2. El promedio de 5 números es 40. Al eliminar dos de ellos el nuevo promedio es 36. ¿Cuál es el promedio de los dos números eliminados? Solucion: Sean $TEX: $a,b,c,d,e$$ numeros que al promediarlos dan como resultado 40. $TEX: \begin{eqnarray}<br />\dfrac{a+b+c+d+e}{5} & = & 40 \\<br />\dfrac{a+b+c}{3} & = & 36 \\<br /> & & \\<br />a+b+c+d+e & = & 200 \\<br />a+b+c & = & 108 \\<br /> & & \\<br />(a+b+c+d+e)-(a+b+c) & = & 200-108 \\<br />d+e & = & 92 \\<br />\dfrac{d+e}{2} & = & 46<br />\end{eqnarray}$ Saludos ^^ (Acumulando posts!)

Corecrasher	Jul 26 2005, 03:12 PM Publicado: #3
Invitado	CITA(xsebastian @ May 29 2005, 11:56 PM) Problema 1. Se escriben los números del 1 al 100 como a continuación: 1 2 3 4 ... 98 99 100 ¿Es posible intercalar los símbolos + o - entre ellos de manera que el resultado de la operación sea 0?¿Cómo? ¿Es posible hacer lo mismo de manera que el resultado sea 1?¿Por qué? Es posible, y todo porque basta con poner entre los numeros + - - +; de esta forma: 1 - 2 - 3 + 4 + 5 - 6 - 7 + 8 ... + 97 - 98 - 99 + 100 esto lo podemos hacer ya que $TEX: $100\equiv 0(\bmod 4)$$ . Por paridad , podemos concluir que es imposible ya que hay una cantidad par de impares . Cualquier tipo de ordenacion de signos dara par.

dex Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 26 2005, 08:44 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 725 Registrado: 17-July 05 Desde: Puente Alto-Santiago Miembro Nº: 148 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Puede que esto sirva En general: para determinar si es posible obtener 0, colocando signos positivos o negativos, delante de los numeros desde el 1 hasta $TEX: $n$$ , basta con saber si $TEX: $\dfrac{n(n+1)}{2}$$ es par o impar. Si es par, entonces es posible que la suma sea 0, si no lo es, entonces no es posible, y dara 1 o -1 -------------------- "Resolver un problema es una meta específica de la inteligencia e inteligencia es el don específico de los seres humanos: Resolver un problema es la actividad humana por excelencia"

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 26 2005, 09:32 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Ya tenemos todos los problemas resueltos en este nivel... en cuanto al primer problema, la solución de Corecrasher está correcta. Un comentario sobre la intervención de dex: él intentó generalizar. En el problema del CMAT, tenemos $TEX: $n=100$$ . Para el caso general, tenemos el truco de colocar signos en la forma "+ - - +", propuesto por Corecrasher. Este truco da muchas luces para resolver esta generalización Salu -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

GoChuck Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 24 2009, 07:15 PM Publicado: #6
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 400 Registrado: 27-October 09 Desde: ¡Qué te importa! Miembro Nº: 61.057 Universidad: Sexo:	También la 1 se puede demostrar usando el método que usó Gauss. Se forman 50 pares que suman 101.. Por lo tanto, es cosa de intercalar "-" y "+" en cada uno de esos pares (es decir sería algo así) $TEX: $+(1+100)-(99+2)+(98+3)....$$ Así el resultado da 0.. Luego la segunda idea es imposible, porque son pares cantidad de impares.. Por lo tanto, no hay manera...

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