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NM4, fecha recuperativa(VIII región)

alvaro Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 2 2007, 12:08 AM Publicado: #1
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 163 Registrado: 5-August 06 Desde: Concepción, Octava región. Miembro Nº: 1.853 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: \textbf{Problema 1:}$ $TEX: Se tiene una caja con 8 fichas blancas y 5 fichas negras. Se sacan 11 fichas al azar ordenadamente, sin reposici\'on. Encuentre la probabilidad de que vayan saliendo con colores alternados.$ $TEX: \textbf{Problema 2:}$ $TEX: Encuentre la cantidad de soluciones de la ecuaci\'on:<br /> $$sin(x)=\dfrac{x}{666}$$$ $TEX: \textbf{Problema 3:}$ $TEX: \noindent Sea $\vartriangle$$A_1A_2A_3$ un tri\'angulo equil\'atero de lado 1.<br />Se marcan los puntos $P_1,P_2,...,P_n$ en la frontera del tri\'angulo(se consideran los v\'ertices). Demostrar que para cierto $i$ de 1,2,3 se verifica: $$\overline{A_iP_1}^2+\overline{A_iP_2}^2+...+\overline{A_iP_n}^2\leq\dfrac{2n}{3}$$$ Una prueba bien especial, creada por una persona especial xD Mensaje modificado por alvaro el Sep 2 2007, 12:42 AM -------------------- "Me esfuerzo por ser mejor; y no él mejor" A.Flores

Pasten Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 2 2007, 10:10 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 765 Registrado: 6-December 05 Miembro Nº: 458 Nacionalidad: Sexo:	CITA(alvaro @ Sep 2 2007, 01:08 AM) Una prueba bien especial, creada por una persona especial xD -------------------- Pasten, un buen muchacho en quien confiar.

Zirou Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 3 2007, 11:25 PM Publicado: #3
Máquina que convierte café en teoremas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 1.665 Registrado: 18-August 05 Desde: Concepción Miembro Nº: 247 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Otra solucion. $TEX: {\bf Problema 1}\\<br />Notando que la úncia combinaci\'on posible es empezar con blancas se tiene el sigueinte esquema B-N-B-N-B-N-B-N-B-N-B, se tiene, por laplace que la probabilidad es:\\<br />$$\dfrac{8}{13}\cdot\dfrac{5}{12}\cdot\dfrac{7}{11}\cdot\dfrac{4}{10}\cdot\dfrac{6}{9}\cdot\dfrac{3}{8}\cdot\dfrac{5}{7}\cdot\dfrac{2}{6}\cdot\dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{3}{3}$$<br />Reduciendo terminos semejantes nos queda:<br />$$\dfrac{1}{13\cdot11\cdot9}=\dfrac{1}{1287}$$<br />$ Mi argumento tambien me convence.. Saludos -------------------- $TEX: $mathcal{Z}$ $imath$ $Re$ $varnothing$ $mho$$ Manual para subir imágenes y archivos a fmat (con servidor propio) Manual de latex Estilo Propio Lista de libros en fmat "Un Matemático es una máquina que trasforma café en teoremas"(Erdös) --- Consultas, sugerencias, reclamos via mp o a los correos mencionados.

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 28 2009, 10:47 AM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(alvaro @ Sep 2 2007, 02:08 AM) $TEX: $\textbf{Problema 3:}$$ $TEX: Sea $\triangle A_{1}A_{2}A_{3}$ un triangulo equilatero de lado 1. Se marcan los puntos $P_1,P_2,...,P_n$ en la frontera del tri\'angulo(se consideran los v\'ertices). Demostrar que para cierto $i$ de 1,2,3 se verifica: $$\overline{A_iP_1}^2+\overline{A_iP_2}^2+...+\overline{A_iP_n}^2\leq\dfrac{2n}{3}$$<br />$ Supongamos que no existe $TEX: $i\in \{1,2,3\}$$ tal que $TEX: $\sum_{k=1}^{n} \overline{A_{i}P_{k}}^2\leq 2n/3$$ . Entonces $TEX: $S=\sum_{i=1}^{3} \sum_{k=1}^{n} \overline{A_{i}P_{k}}^2>2n$$ (). Sea $TEX: $(Q_{1}, Q_{2},....,Q_{n})$$ una permutacion de $TEX: $(P_{1}, P_{2},..., P_{n})$$ tal que $TEX: $Q_{1}, Q_{2},...Q_{r}\in \overline{A_{1}A_{2}}$$ ; $TEX: $Q_{r+1}, Q_{r+2},....Q_{m}\in \overline{A_{2}A_{3}}$$ y $TEX: $Q_{m+1}, Q_{m+2},...,Q_{n}\in \overline{A_{3}A_{1}}$$ , $TEX: $1\leq r\leq m\leq n$$ . Sea $TEX: $Q_{j}\in \overline{A_{1}A_{2}}$$ . Veamos que: $TEX: $\overline{A_{1}Q_{j}}^2+\overline{A_{2}Q_{j}}^2\leq (\overline{A_{1}Q_{j}}+\overline{Q_{j}A_{2}})^2=\overline{A_{1}A_{2}}^2=1$$ (con igualdad si y solo si $TEX: $Q_{j}$$ coincide con uno de los vertices $TEX: $A_{1}$$ o $TEX: $A_{2}$$ ) Aplicando este razonamiento, obtenemos que: $TEX: $S_{1}=\displaystyle \sum_{k=1}^{r} (\overline{A_{1}Q_{k}}^2+\overline{A_{2}Q_{k}}^2)+\displaystyle \sum_{k=r+1}^{m} (\overline{A_{2}Q_{k}}^2+\overline{A_{3}Q_{k}}^2)+\displaystyle \sum_{k=m+1}^{n} (\overline{A_{3}Q_{k}}^2+\overline{Q_{k}A_{1}}^2)$$ $TEX: $\leq r+(m-r)+(n-m)=n$$ Por otra parte, consideremos de nuevo el punto $TEX: $Q_{j}$$ . Por el teorema del coseno: $TEX: $\overline{A_{3}Q_{j}}^2=1+\overline{A_{1}Q_{j}}^2-\overline{A_{1}Q_{j}}\leq 1$$ (pues $TEX: $0\leq \overline{A_{1}Q_{j}}^2\leq \overline{A_{1}Q_{j}}\leq 1$$ ). Aplicando este razonamiento, se sigue que: $TEX: $S_{2}=\displaystyle \sum_{k=1}^{r} \overline{A_{3}Q_{k}}^2+\displaystyle \sum_{k=r+1}^{m} \overline{A_{1}Q_{k}}^2+\displaystyle \sum_{k=m+1}^{n} \overline{A_{2}Q_{k}}^2\leq r+(m-r)+(n-m)=n$$ Notemos que $TEX: $S=\sum_{i=1}^{3} \sum_{k=1}^{n} \overline{A_{i}Q_{k}}^2=S_{1}+S_{2}\leq 2n$$ ; lo cual contradice (). Por lo tanto $TEX: $\exists \, i\in \{1,2,3\}$$ tal que $TEX: $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \overline{A_{i}P_{k}}^2\leq \displaystyle \frac{2n}{3}$$ $TEX: $\blacksquare$$ -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

Cristóbaal Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 15 2012, 11:47 PM Publicado: #5
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 100 Registrado: 17-April 11 Miembro Nº: 87.227 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	asdasdasd Mensaje modificado por Cristóbaal el Jul 16 2012, 12:09 AM --------------------

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 15 2012, 11:48 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	existe una forma explícita de hacerlo. salut! -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

El Geek Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 15 2012, 11:49 PM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.818 Registrado: 3-October 09 Miembro Nº: 59.773 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Hey... x/666 es una recta... sen(x) es una función que va cortando a x/666 puntito a puntito... ¿No se te hace raro que supuestamente sean infinitas? revise su argumento. Mensaje modificado por El Geek el Jul 15 2012, 11:52 PM -------------------- Me voy, me jui.

Cristóbaal Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 15 2012, 11:58 PM Publicado: #8
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 100 Registrado: 17-April 11 Miembro Nº: 87.227 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Pero que cosa de mi solución está mal ? --------------------

El Geek Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 16 2012, 12:02 AM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.818 Registrado: 3-October 09 Miembro Nº: 59.773 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Yo me estoy haciendo la pregunta de por qué está bien eso. O sea, concluir que dadas dos funciones dentro de un mismo intervalo, hace que tengan infinitos puntos de contacto, es algo no tan claro. Por otra parte, para x=667, se rompe la desigualdad que propones. -------------------- Me voy, me jui.

Cristóbaal Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 16 2012, 12:05 AM Publicado: #10
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 100 Registrado: 17-April 11 Miembro Nº: 87.227 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Pero si x = 667, la igualdad no se cumple D:, por que quedaría sen(x) = 1, tanto.. lo que sen(x) no puede tomar ese valor --------------------

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