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Fecha Recuperativa Cemat 2007, 3er NIvel VIII Región Individual

Nilrem Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 1 2007, 11:13 PM Publicado: #1
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 122 Registrado: 6-October 06 Desde: VIII Región Miembro Nº: 2.438 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Problema\ 1$ $TEX: <br />\[<br />\begin{array}{l}<br /> Sea\ {\rm }x \ne 0\ un{\rm }\ numero{\rm }\ real.{\rm }\ Encuentre{\rm }\ el{\rm }\ menor{\rm }\ valor{\rm }\ de \\ <br /> {\rm x}^{\rm 2} + \frac{1}{{x^2 }} \\ <br /> \end{array}<br />\]<br />$ $TEX: Problema\ 2$ $TEX: Se\ dan\ 9\ puntos\ dentro\ de\ un\ cuadrado\ de\ lado\ 1\ de\ modo\ que\ no\ hay\ 3\ colineales.\ Pruebe\ que\ es\ posible\ encontrar\ 3\ puntos\ entre\ los\ dados,\ de\ modo\ que\ son\ vertices\ de\ un\ triangulo\ con\ area\ menor\ que\ $\frac{1}{8}$.$ $TEX: Problema\ 3$ $TEX: Encontrar\ la\ cantidad de\ enteros\ positivos\ mayores\ que\ 9\ que\ tienen\ sus\ digitos\ estrictamente\ crecientes\ de\ izquierda\ a derecha.$

JoNy_SaTiE Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 2 2007, 09:22 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Gold Mensajes: 1.118 Registrado: 11-September 05 Desde: Valdivia/Ancud Miembro Nº: 302 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: <br />Problema 1<br /><br />Como $x^2$ y $x^{-2}$ son positivos y adem\'as un t\'ermino es el rec\'iproco del otro, se puede decir que si uno de ellos aumenta, el otro disminuye y si uno disminuye el otro aumenta. Por lo que se concluye que la suma m\'inima aparece cuando los t\'erminos son iguales.<br /><br />$$ x^2=\frac{1}{x^2} \Rightarrow x=-1,1$$<br /><br />que genera la suma m\'inima $S(1)=1+1=2$<br />$ -------------------- Comienza a crear documentos con LaTeX. Ya usas LaTeX y quieres aprender un poco más ... pincha aquí Si eres de la UaCH ... únete a la causa !!! J. Jonathan H. Oberreuter A. Universidad Austral de Chile - RWTH Aachen alumni Est. Magister en Acústica y Vibraciones Ingeniero Civil Acústico (E) Bachiller y Licenciado en Cs. de la Ingeniería

GlagosSA Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 2 2007, 09:30 PM Publicado: #3
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 380 Registrado: 22-April 06 Desde: Chillan, chile, sudamerica, el mundo Miembro Nº: 912 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent \textbf{Solucion Alternativa Problema 1}<br />\\<br />Sea la funcion $f(x)=x^2+\dfrac{1}{x^2}$, podemos determinar su minimo con la primera derivada.<br />$$f(x)=x^2+\dfrac{1}{x^2}$$<br />$$f'(x)=2x-\dfrac{2x}{x^4}$$<br />Que igualada a 0 nos da para que $x$ es minima.<br />$$\Rightarrow 2x=\dfrac{2x}{x^4}$$<br />$$\Rightarrow x=\{ -1,1 \}$$, mientras ambos valores generan la suma minima $=2$$ Supongo que la idea no era usar calculo, pero siempre es bueno tener un as bajo la manga (no me refiero a hacer trampa en el poker xD). saludos -------------------- Un dia aciago del año 212 a.C., durante la segunda querra punica, Arquimedes se encontraba contemplando algunos circulos que tenia dibujados sobre la arena. Un soldado romano trató de interrumpirlo. La reaccion del genio frente a la presencia del enemigo invasor, el lugar de ser miedo, fue indignacion por verse interrumpido en su trabajo intelectual.-"¡deje en paz a mis circulos!"- Unos minutos mas tarde, el maestro matematico de 75 años, muere atravesado por una espada romana. La altura de tu Vuelo dependera del tamaño de los Ideales que lleves por Alas.. El beso es la distancia mas corta entre Tú y Yo..

pelao_malo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 2 2007, 09:32 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 878 Registrado: 14-May 07 Desde: Talcahuano Miembro Nº: 5.845 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Por $TEX: $A\ge G$$ se tiene que $TEX: $\dfrac{x^2+\frac{1}{x^2}}{2}\ge \sqrt{x^2\cdot\frac{1}{x^2}}=1$$ , osea $TEX: $x^2+\frac{1}{x^2}\ge 2$$ concluyendo con que el valor minimo de la expresion es 2. Mensaje modificado por pelao_malo el Sep 2 2007, 09:34 PM -------------------- $TEX: $\sqrt{5}=41$$

JoNy_SaTiE Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 2 2007, 09:34 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Gold Mensajes: 1.118 Registrado: 11-September 05 Desde: Valdivia/Ancud Miembro Nº: 302 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Sí, bueno usando cálculo se sabía ya la respuesta. -------------------- Comienza a crear documentos con LaTeX. Ya usas LaTeX y quieres aprender un poco más ... pincha aquí Si eres de la UaCH ... únete a la causa !!! J. Jonathan H. Oberreuter A. Universidad Austral de Chile - RWTH Aachen alumni Est. Magister en Acústica y Vibraciones Ingeniero Civil Acústico (E) Bachiller y Licenciado en Cs. de la Ingeniería

Pasten Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 2 2007, 10:08 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 765 Registrado: 6-December 05 Miembro Nº: 458 Nacionalidad: Sexo:	CITA(JoNy_SaTiE @ Sep 2 2007, 10:22 PM) $TEX: <br />Problema 1<br /><br />Como $x^2$ y $x^{-2}$ son positivos y adem\'as un t\'ermino es el rec\'iproco del otro, se puede decir que si uno de ellos aumenta, el otro disminuye y si uno disminuye el otro aumenta. Por lo que se concluye que la suma m\'inima aparece cuando los t\'erminos son iguales.<br /><br />$$ x^2=\frac{1}{x^2} \Rightarrow x=-1,1$$<br /><br />que genera la suma m\'inima $S(1)=1+1=2$<br />$ Incorrecto CITA(GlagosSA @ Sep 2 2007, 10:30 PM) $TEX: \noindent \textbf{Solucion Alternativa Problema 1}<br />\\<br />Sea la funcion $f(x)=x^2+\dfrac{1}{x^2}$, podemos determinar su minimo con la primera derivada.<br />$$f(x)=x^2+\dfrac{1}{x^2}$$<br />$$f'(x)=2x-\dfrac{2x}{x^4}$$<br />Que igualada a 0 nos da para que $x$ es minima.<br />$$\Rightarrow 2x=\dfrac{2x}{x^4}$$<br />$$\Rightarrow x=\{ -1,1 \}$$, mientras ambos valores generan la suma minima $=2$$ Supongo que la idea no era usar calculo, pero siempre es bueno tener un as bajo la manga (no me refiero a hacer trampa en el poker xD). saludos Fuera de lugar, y a demas no es correcto. Igualar la primera derivada a cero solo nos da puntos criticos, no sabemos a priori si lo que encontramos es un minimo, un maximo o un punto silla. Es mas, esta funcion no es continua asi que se complica un poco una explicacion buena, si se quiere usar calculo en el CEMAT. CITA(pelao_malo @ Sep 2 2007, 10:32 PM) Por $TEX: $A\ge G$$ se tiene que $TEX: $\dfrac{x^2+\frac{1}{x^2}}{2}\ge \sqrt{x^2\cdot\frac{1}{x^2}}=1$$ , osea $TEX: $x^2+\frac{1}{x^2}\ge 2$$ concluyendo con que el valor minimo de la expresion es 2. Correcto pero falta explicar por que se puede usar esa desigualdad y hacer explisito que para algun x se alcanza ese minimo (es obvio pero debe estar escrito). Saludos -------------------- Pasten, un buen muchacho en quien confiar.

pelao_malo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 3 2007, 07:26 PM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 878 Registrado: 14-May 07 Desde: Talcahuano Miembro Nº: 5.845 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	weno xD aberrr escribire todo denuevo para que quede claaaro xD Como $TEX: $x$$ es un real, $TEX: $x^2$$ es siempre positivo, y $TEX: $\frac{1}{x^2}$$ tambien lo es, ya que ambos son positivos y division de positivos da positivos( dejamos de lado la indeterminacion ya que $TEX: $x\not=0$$ ) entonces podemos aplicar la desigualdad $TEX: $A\ge G$$ , y entonces tendremos: $TEX: $\dfrac{x^2+\frac{1}{x^2}}{2}\ge \sqrt{x^2\cdot\frac{1}{x^2}}=1$$ , entonces $TEX: $x^2+\frac{1}{x^2}\ge 2$$ . si evaluamos la igualdad, obtendremos el valor mínimo..: $TEX: $x^2+\frac{1}{x^2}=2$$ , entonces $TEX: $x^4+1=2x^2$$ , de donde concluimos que $TEX: $x^4-2x^2+1=0$$ -----> $TEX: $x={\pm1}$$ . -------------------- $TEX: $\sqrt{5}=41$$

JoNy_SaTiE Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 9 2007, 07:51 PM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Gold Mensajes: 1.118 Registrado: 11-September 05 Desde: Valdivia/Ancud Miembro Nº: 302 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Quisiera saber por qué mi argumento es incorrecto. -------------------- Comienza a crear documentos con LaTeX. Ya usas LaTeX y quieres aprender un poco más ... pincha aquí Si eres de la UaCH ... únete a la causa !!! J. Jonathan H. Oberreuter A. Universidad Austral de Chile - RWTH Aachen alumni Est. Magister en Acústica y Vibraciones Ingeniero Civil Acústico (E) Bachiller y Licenciado en Cs. de la Ingeniería

Niño deMente Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 9 2007, 10:40 PM Publicado: #9
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 8 Registrado: 28-January 07 Desde: Concepcion Miembro Nº: 3.901 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Para el problema 1 se me ocurrio otra cosa, pero no se si es totalmente correcta por partir de atras hacia adelante: Parti de la premisa de que: (x^2-1)^2=>O Pues cualquier numero al cuadrado es O o positivo pero nunca negativo Luego, desarrollando: x^4-2x^2+1=>O / +2x^2 x^4+1=>2x^2 / :x^2 (x^4+1)/x^2=>2 x^2+1/(x^2)=>2 Y así llego a la misma expresion de antes siendo el valor mínimo 2 -------------------- ''Sólo sé que nada sé, pero procuro saber un poco más''-Sócrates-

Jorgeston Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 10 2007, 01:08 AM Publicado: #10
Dios Matemático Supremo Grupo: Baneado Mensajes: 2.588 Registrado: 7-November 06 Miembro Nº: 2.747	CITA(JoNy_SaTiE @ Sep 9 2007, 08:51 PM) Quisiera saber por qué mi argumento es incorrecto. Tu argumento está malo. Trata de revisar bien tu respuesta. saludos

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