Cuarto Nivel Individual Opciones

[orly]

Problema 1. Un número entero positivo N se dice mayorable por sus divisores si ocurre que la suma de sus divisores (distintos de N) excede N.
Por ejemplo N=12 es mayorable por sus divisores ya que 1+2+3+4+6=16>12.
Pruebe que existe una cantidad infinita de números que son mayorables por sus divisores.


Problema 2. El crucero del amor tiene 206 pasajeros provenientes de cinco paises distintos. Se sabe que siempre que se sientan seis pasajeros an una misma mesa al menos dos de ellos tienen la misma edad. Demuestre que entre los 206 pasajeros hay al menos cinco pasajeros que tienen la misma edad, el mismo sexo y la misma nacionalidad.

[fadeintome]

Yap, yo mostraré la solución al problema 1.

Según el enunciado el número 12 es mayorable por sus divisores pues,
.

Ahora tomemos los números de la forma con , notemos que los números de la forma son mayorables por sus divisores pues, es divisible por , y sabemos que .

Hemos demostrado que los números mayorables son infinitos, pues todos los números de la forma son mayorables, donde .

[fadeintome]

Bueno ahí va la solución para el problema 2 también.
Usaremos solo el principio del palomar, pero lo utilizaremos bastante.
206:5=41 y deja resto 1, por lo tanto podemos asegurar que a lo menos 42 personas tienen la misma nacionalidad.{*}
También sabemos que cada vez que se sientan 6 personas juntas, por lo menos 2 de ellas tienen la misma edad, en conclusión existen como máximo 5 edades diferentes.{**}
Usando {**} en {*}, podemos asegurar que de las 42 personas que tienen la misma nacionalidad, 9 son de la misma edad, pues 42:5=8 y deja resto 2.
Pero es ultra sabido que en el universo solo existen 2 sexos, por lo tanto 5 de las 9 personas que tienen la misma nacionalidad y edad, tendrán el mismo sexo, pues 9:2=4 y deja resto 1.

[fadeintome]

Ha!, en el problema 2 no es necesario contar con 206 personas, solo basta con 201 para poder demostrar lo pedido.
Intenten demostrarlo, esta vez sólo con 201 personas, suerte!!!

[Gp20]

Jejeje, en realidad tienes razón. Sólo son necesarias 201 personas para que la condicion se cumpla. De hecho, yo propuse que cambiaran el numero de personas en el enunciado para que no fuera tan obvia la respuesta.