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Primer Certamen, Segundo Semestre 2007

FelipeK Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 31 2007, 07:08 PM Publicado: #1
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 107 Registrado: 22-August 07 Desde: Valparaiso-Castro Miembro Nº: 9.196 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: <br /><br />PRIMER CERTAMEN MAT-022 Martes 28 Agosto 2007 FORMA A \\<br /><br />P1.-Con una particion de seis subintervalos del mismo ancho, encuentre con secciones rectangulares establecidas por defecto, un valor estimativo para el area de la region en el plano que es encerrada por las curvas <br /><br />$y=\sqrt{1+x^3}$, $y=0$, $x=-1$ y $x=1$ (20 pts)\\ \\ <br /><br /><br />P2.- Si $f$ es una funcion continua en los numeros reales tal que<br /><br />$\displaystyle \int_{0}^{x}f(t)dt=K+cos(x)$, determine la constante $K$ y la funcion $f(x)$. (20 pts)\\ \\<br /><br /><br />P3.- Despues de las heladas, la estimacion de los kilos de Paltas $P(h)$ en un arbol, ubicadas a diferentes alturas $h$ medidas en metros desde el suelo puede ser modelado como<br /><br />$P(h)$ <br />$\begin{cases}<br />8-4h \ \ \ \ \ \ \ 0 \le h < \frac{1}{2}\\<br />2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{1}{2} \le h < 2\\<br />\frac{-h}{2} +3 \ \ \ \ \ \ 2 \le h \le 6\\<br />\end{cases}$ \\<br />Determine<br /> <br />$\displaystyle \frac{\int_{0}^{6}P(h)dh}{6-0}$, esto es, el promedio de kilos de Paltas que quedan en un arbol cuando h pertence al intervalo [0,6]. (20 pts) \\ \\ <br /><br />P4.- Dado el sistema de ecuaciones<br />$\begin{tabular}{rcl\|}<br />$ax+y+bz$ & = & $a$ \\<br />$x+ay$ & = & $b$ \\<br />$by+z$ & = & $a$ \\ \hline<br />\end{tabular}$ \ <br />$a,b \in R$ \\<br />¿Que condiciones deben satisfacer las constantes a,b para que el sistema admita una unica solucion?. (20 pts) \\ \\<br />P5.- Determine la matriz $X \in M_{2x2} ® $ que sea solucion de la ecuacion matricial\\<br />$XC^2 + 2B^tA = (detB)I_2$ \\<br />donde <br />$A$=$\begin{pmatrix} 1&-1\\ 0&1\end{pmatrix}$, $B$=$\begin{pmatrix} -1&-1\\1&1\end{pmatrix}$ y $C^{-1}$=$\begin{pmatrix} 2&0\\ 0&2\end{pmatrix}$. (20 pts)<br /><br /><br /><br />$ Para que comentemos, resolvamos, etc... Saludos! Mensaje modificado por FelipeK el Jan 11 2008, 01:27 AM --------------------

milko1979 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 31 2007, 08:21 PM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Profesor de Matemáticas Mensajes: 255 Registrado: 18-May 07 Desde: Santiago - Chile Miembro Nº: 5.955 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	p1 área por encima de la curva sería: llamaremos $TEX: $f =\sqrt{1 + x ^3}$$ Así, cada uno de los sub intérvalos´tendría un ancho de $TEX: $\frac{1}{3}$$ El área aproximada sería $TEX: $f(-2/3)\frac{1}{3}+ f(-1/3)\frac{1}{3}+ f(0)\frac{1}{3}+f(1/3)\frac{1}{3}+ f(2/3)\frac{1}{3}+ f(1)\frac{1}{3}$$ $TEX: $0,84\frac{1}{3}+ 0,98\frac{1}{3}+ 1\frac{1}{3}+1,02\frac{1}{3}+ 1,14\frac{1}{3}+ 1,41\frac{1}{3}= 2,13$$ -------------------- MILKO AMANTE DE LA VIDA

milko1979 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 31 2007, 08:38 PM Publicado: #3
Dios Matemático Grupo: Profesor de Matemáticas Mensajes: 255 Registrado: 18-May 07 Desde: Santiago - Chile Miembro Nº: 5.955 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	p4 Cramer: Determinante debe ser distinto de 0 para que exista una sola solución No se escribir matrices, pero las filas serían (a,1,b) (1,a,0) (0,b,1) El determinante da $TEX: $a^2-1+b^2$$ por lo tanto la condición debe ser $TEX: $a^2+b^2 distinto 1$$ -------------------- MILKO AMANTE DE LA VIDA

FelipeK Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 31 2007, 09:41 PM Publicado: #4
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 107 Registrado: 22-August 07 Desde: Valparaiso-Castro Miembro Nº: 9.196 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(milko1979 @ Aug 31 2007, 09:21 PM) p1 área por encima de la curva sería: llamaremos $TEX: $f =\sqrt{1 + x ^3}$$ Así, cada uno de los sub intérvalos´tendría un ancho de $TEX: $\frac{1}{3}$$ El área aproximada sería $TEX: $f(-2/3)\frac{1}{3}+ f(-1/3)\frac{1}{3}+ f(0)\frac{1}{3}+f(1/3)\frac{1}{3}+ f(2/3)\frac{1}{3}+ f(1)\frac{1}{3}$$ $TEX: $0,84\frac{1}{3}+ 0,98\frac{1}{3}+ 1\frac{1}{3}+1,02\frac{1}{3}+ 1,14\frac{1}{3}+ 1,41\frac{1}{3}= 2,13$$ Cuidado : Nos piden calcular el valor estimativo del area usando rectángulos establecidos por defecto, lo que hiciste tu fue calcular el area por exceso. Saludos! Mensaje modificado por FelipeK el Aug 31 2007, 09:46 PM --------------------

FelipeK Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 31 2007, 10:17 PM Publicado: #5
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 107 Registrado: 22-August 07 Desde: Valparaiso-Castro Miembro Nº: 9.196 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	P2 $TEX: <br /><br /><br />$\displaystyle \int_{0}^{x}f(t)dt=K+cos(x)$ \\ \\<br />Sea $x=0$:\\ \\<br />$\displaystyle \int_{0}^{0}f(t)dt=K+cos(0)$ \\ \\ <br />$0=K +1$\\ \\<br />$K=-1$\\ \\<br />Ahora, para encontrar $f(x)$ debemos derivar a ambos lados de la igualdad:\\ \\<br />$\frac{d}{dx}$ $\displaystyle \int_{0}^{x}f(t)dt= \frac{d}{dx} (K+cos(x)) $\\ \\<br />Y por el primer teorema fundamental del calculo, obtenemos $f(x)$:\\ \\<br />$f(x)=-sen(x)$<br /><br />$ Saludos! --------------------

FelipeK Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 1 2007, 06:09 AM Publicado: #6
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 107 Registrado: 22-August 07 Desde: Valparaiso-Castro Miembro Nº: 9.196 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(milko1979 @ Aug 31 2007, 09:30 PM) p3 La integral del numerador es el área bajo la curva intervalo (0, 1/2) : triángulo base (1/2) y altura 6 intérvalo (1/2 ; 2 ) : rectángulo base (3/2) altura 6 intérvalo (2,6) : triángulo base 4 y altura 6 al sumar las 3 áreas daría 22,5 despues se debe dividir 22,5 :6 Creo que están "mal tomadas" las areas... Mi desarrollo fue el siguiente: $TEX: <br />El conjunto de las discontinuidades de la funcion P(h) en [0,6] es finito, por lo tanto P(h) es integrable en este intervalo, y la integracion se hace por tramos, como sigue:\\<br />$\displaystyle \int_{0}^{6}P(h)dh=\int_{0}^{\frac{1}{2}}P(h)dh + \int_{\frac{1}{2}}^2P(h)dh + \int_{2}^{6}P(h)dh$\\<br />$\displaystyle \int_{0}^{6}P(h)dh= \int_{0}^{\frac{1}{2}}(8-4h) + \int_{\frac{1}{2}}^22 + \int_{2}^{6}(\frac{-h}{2} - 3)$\\<br />$\displaystyle \int_{0}^{6}P(h)dh= (8h-2h^2+C_1) /_{o}^{\frac{1}{2}} + (2h+C_2) /_{\frac{1}{2}}^{2} + (\frac{-h^2}{4}-3h+C_3) /_{2}^{6}$\\<br />$\displaystyle \int_{0}^{6}P(h)dh= \frac{7}{2} + 3 + 4$\\<br />$\displaystyle \int_{0}^{6}P(h)dh= \frac{21}{2}$\\<br />Finalmente nos queda evaluar en el promedio de $P(h)$ con $h \in [0,6]$ que viene dado por: \\ \\<br />$\displaystyle \frac{\int_{0}^{6}P(h)dh}{6-0} = \frac{21}{12} =\frac{7}{4}$ <br /><br /><br /><br /><br /><br />$ --------------------

milko1979 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 1 2007, 07:53 PM Publicado: #7
Dios Matemático Grupo: Profesor de Matemáticas Mensajes: 255 Registrado: 18-May 07 Desde: Santiago - Chile Miembro Nº: 5.955 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(FelipeK @ Sep 1 2007, 06:47 AM) P2 $TEX: <br />$\displaystyle \int_{0}^{x}f(t)dt=K+cos(x)$ \\ \\<br />Sea $x=0$:\\ \\<br />$\displaystyle \int_{0}^{0}f(t)dt=K+cos(0)$ \\ \\ <br />$0=K +1$\\ \\<br />$K=-1$\\ \\<br />Ahora, para encontrar $f(x)$ debemos derivar a ambos lados de la igualdad:\\ \\<br />$\frac{d}{dx}$ $\displaystyle \int_{0}^{x}f(t)dt= \frac{d}{dx} (K+cos(x)) $\\ \\<br />Y por el primer teorema fundamental del calculo, obtenemos $f(x)$:\\ \\<br />$f(x)=-sen(x)$<br /><br />$ Saludos! Tienes toda la razón , dibujé mal la curva, era así : p3 La integral del numerador es el área bajo la curva intervalo (0, 1/2) : triángulo base (1/2) y altura 2 + rectangulo base (1/2) y altura 6 = (7/2) intérvalo (1/2 ; 2 ) : rectángulo base (3/2) altura 2 = 3 intérvalo (2,6) : triángulo base 4 y altura 2 = 4 al sumar las 3 áreas daría 10, 5 despues se debe dividir 10,5 :6 Gracias -------------------- MILKO AMANTE DE LA VIDA

charly1234 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 4 2007, 03:19 PM Publicado: #8
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 335 Registrado: 3-December 06 Desde: Viña del mar Miembro Nº: 3.111 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	PD: Nos fuimos a paro !... . Mensaje modificado por charly1234 el Sep 4 2007, 11:28 PM --------------------

JoNy_SaTiE Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 4 2007, 09:10 PM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Gold Mensajes: 1.118 Registrado: 11-September 05 Desde: Valdivia/Ancud Miembro Nº: 302 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: <br />Problema 4<br /><br />El sistema se escribe matricialmente de la siguiente forma:<br /><br />$$<br />\left(<br />\begin{array}{ccc}<br />a&1&b \\<br />1&a&0\\<br />0&b&1<br />\end{array}<br />\right)<br />\left(<br />\begin{array}{c}<br />x\\<br />y\\<br />z<br />\end{array}<br />\right) <br />=<br />\left(<br />\begin{array}{c}<br />a\\<br />b\\<br />a<br />\end{array}<br />\right) <br />$$<br /><br />Ahora consideremos la matriz ampliada<br /><br />$$<br />\left(<br />\begin{array}{cccc}<br />a&1&b&a \\<br />1&a&0&b\\<br />0&b&1&a<br />\end{array}<br />\right) <br />$$<br /><br />Realizando las operaciones elementales fila $F_{12},\, F(-1)2+2,\, F_{23},\, F(\frac{a^2-1}{b})2+3$ se obtiene la siguiente matriz triangular:<br /><br />$$<br />\left(<br />\begin{array}{cccc}<br />1&a&0&b \\<br />0&b&1&a\\<br />0&0&\frac{a^2+b^2-1}{b}&\frac{a^3-a}{b}+a-ab<br />\end{array}<br />\right) <br />$$ <br /><br />Ahora, para que el sistema tenga una \'unica soluci\'on, el rango de esta matriz ampliada debe ser igual al rango de la matriz cuadrada y en este caso igual al n\'umero de variables, $3$.<br /><br />Entonces las condiciones se obtienen a partir de lo siguiente:<br /><br />$$ \frac{a^2+b^2-1}{b}= 0 \wedge \frac{a^3-a}{b}+a-ab \neq 0$$<br />Ninguna soluci\'on.<br /><br />$$ \frac{a^2+b^2-1}{b}= 0 \wedge \frac{a^3-a}{b}+a-ab = 0$$<br />Infinitas soluciones.<br /><br />PD: Puede haber alg\'un error al reducir la matriz<br />$ -------------------- Comienza a crear documentos con LaTeX. Ya usas LaTeX y quieres aprender un poco más ... pincha aquí Si eres de la UaCH ... únete a la causa !!! J. Jonathan H. Oberreuter A. Universidad Austral de Chile - RWTH Aachen alumni Est. Magister en Acústica y Vibraciones Ingeniero Civil Acústico (E) Bachiller y Licenciado en Cs. de la Ingeniería

CarLost Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 8 2008, 01:12 PM Publicado: #10
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1 Registrado: 1-April 08 Desde: Valparaíso Miembro Nº: 18.639 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Gracias!

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