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Demostración trigonometrica

Jorgeston Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 22 2007, 07:53 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Baneado Mensajes: 2.588 Registrado: 7-November 06 Miembro Nº: 2.747	Demustre que $TEX: $\displaystyle\sum_{k=0}^{n}cos(kt)=cos\left(\dfrac{n}{2}t\right)\cdot \dfrac{sin \left(\dfrac{n+1}{2}t\right)}{sin\left( \dfrac{t}{2} \right) }$$ saludos y suerte =D

Jorgeston Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 27 2007, 07:47 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Baneado Mensajes: 2.588 Registrado: 7-November 06 Miembro Nº: 2.747	HINT: Quizas pueda servir que $TEX: $\displaystyle\sum_{k=0}^{n}sin(kt)=sin\left(\dfrac{n}{2}t\right)\cdot \dfrac{sin \left(\dfrac{n+1}{2}t\right)}{sin\left( \dfrac{t}{2} \right) }$$ saludos

Jean Renard Gran... Jean Renard Granier Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 24 2008, 07:51 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.920 Registrado: 19-August 06 Desde: DIM, DCC Beauchef Miembro Nº: 1.989 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Hace tiempo que estaba este propuesto, ahora pienso responderlo. $TEX: $$e^{ik\theta } = \cos \left( {k\theta } \right) + isen\left( {k\theta } \right)$$$ $TEX: $$\sum\limits_0^n {\cos \left( {k\theta } \right)} = \Re \left( {\sum\limits_0^n {e^{ik\theta } } } \right) = S_{\cos \left( {k\theta } \right)} $$$ $TEX: $$\sum\limits_0^n {e^{ik\theta } } = \frac{{e^{i\left( {n + 1} \right)\theta } - 1}}{{e^{i\theta } - 1}} = \frac{{\left( {e^{i\left( {n + 1} \right)\theta } - 1} \right)e^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle { - i\theta }$}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 2$}}} }}{{2isen\left( {\frac{\theta }{2}} \right)}}$$$ $TEX: $$S_{\cos \left( {k\theta } \right)} = \frac{{sen\left( {n\theta + \frac{\theta }{2}} \right)}}{{2sen\left( {\frac{\theta }{2}} \right)}} + \frac{1}{2} = \frac{{sen\left( {n\theta + \frac{\theta }{2}} \right) + sen\left( {\frac{\theta }{2}} \right)}}{{2sen\left( {\frac{\theta }{2}} \right)}}$$$ $TEX: $$S_{\cos \left( {k\theta } \right)} = \frac{{sen\left( {n\theta + \frac{\theta }{2}} \right) + sen\left( {\frac{\theta }{2}} \right)}}{{2sen\left( {\frac{\theta }{2}} \right)}} = \frac{{sen\left( {\frac{\theta }{2}} \right)\left( {\cos \left( {n\theta } \right) + 1} \right) + 2\cos \left( {\frac{\theta }{2}} \right)sen\left( {\frac{{n\theta }}{2}} \right)\cos \left( {\frac{{n\theta }}{2}} \right)}}{{2sen\left( {\frac{\theta }{2}} \right)}}$$$ $TEX: $$S_{\cos \left( {k\theta } \right)} = \frac{{2\cos \left( {\frac{{n\theta }}{2}} \right)\left( {\cos \left( {\frac{{n\theta }}{2}} \right)sen\left( {\frac{\theta }{2}} \right) + sen\left( {\frac{{n\theta }}{2}} \right)\cos \left( {\frac{\theta }{2}} \right)} \right)}}{{2sen\left( {\frac{\theta }{2}} \right)}} = \frac{{2\cos \left( {\frac{{n\theta }}{2}} \right)sen\left( {\frac{{\left( {n + 1} \right)\theta }}{2}} \right)}}{{2sen\left( {\frac{\theta }{2}} \right)}}$$$ $TEX: $$\therefore S_{\cos \left( {k\theta } \right)} = \cos \left( {\frac{{n\theta }}{2}} \right)\frac{{sen\left( {\frac{{\left( {n + 1} \right)\theta }}{2}} \right)}}{{sen\left( {\frac{\theta }{2}} \right)}}$$$ Saludos -------------------- Miembro de Anime No Seishin Doukokai, podrías ser el próximo.

C.F.Gauss Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 3 2009, 12:36 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 1.912 Registrado: 10-January 08 Desde: Un Sobolev Miembro Nº: 14.530 Nacionalidad: Sexo:	CITA(jorgeston @ Aug 22 2007, 07:53 PM) Demustre que $TEX: $\displaystyle\sum_{k=0}^{n}cos(kt)=cos\left(\dfrac{n}{2}t\right)\cdot \dfrac{sin \left(\dfrac{n+1}{2}t\right)}{sin\left( \dfrac{t}{2} \right) }$$ saludos y suerte =D Como dato, la igualdad se llama Identidad Trigonométrica de Lagrange. Saludos!! -------------------- Dos crudas realidades CITA(Pasten @ Jun 5 2014, 09:21 AM) ¿Dónde están las nuevas generaciones? wasapeando y actualizando su perfil de face. CITA(Zefidu @ Sep 3 2013, 09:55 PM) (...)FMAT es una gran comunidad con grandes usuarios... A excepción de algunos que se les sube el humo a la cabeza...

master_c	Mar 9 2013, 04:18 PM Publicado: #5
Invitado	CITA(jorgeston @ Aug 22 2007, 07:53 PM) Demustre que $TEX: $\displaystyle\sum_{k=0}^{n}cos(kt)=cos\left(\dfrac{n}{2}t\right)\cdot \dfrac{sin \left(\dfrac{n+1}{2}t\right)}{sin\left( \dfrac{t}{2} \right) }$$ saludos y suerte =D usando esto http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=404...mp;#entry658158 escribamos $TEX: $$T_{n + 1} \left( x \right) + T_{n - 1} \left( x \right) = 2T_1 \left( x \right)T_n \left( x \right)$$$ de la siguiente forma $TEX: $$<br />T_{n + 1} \left( x \right) - 2T_n \left( x \right) + T_{n - 1} \left( x \right) = 2T_1 \left( x \right)T_n \left( x \right) - 2T_n \left( x \right)<br />$$$ $TEX: $$<br />T_{n + 1} \left( x \right) - T_n \left( x \right) - \left( {T_n \left( x \right) - T_{n - 1} \left( x \right)} \right) = 2T_1 \left( x \right)T_n \left( x \right) - 2T_n \left( x \right)<br />$$$ $TEX: $$<br />\sum\limits_{k = 1}^n {\left( {T_{k + 1} \left( x \right) - T_k \left( x \right) - \left( {T_k \left( x \right) - T_{k - 1} \left( x \right)} \right)} \right)} = \sum\limits_{k = 1}^n {\left( {2T_1 \left( x \right)T_k \left( x \right) - 2T_k \left( x \right)} \right)} <br />$$$ $TEX: $$<br />\sum\limits_{k = 1}^n {\left( {T_{k + 1} \left( x \right) - T_k \left( x \right)} \right)} - \sum\limits_{k = 1}^n {\left( {T_k \left( x \right) - T_{k - 1} \left( x \right)} \right)} = \left( {2T_1 \left( x \right) - 2} \right)\sum\limits_{k = 1}^n {T_k \left( x \right)} <br />$$$ poniendo $TEX: $$T_n \left( {\cos \alpha } \right) = \cos n\alpha $$$ $TEX: $$<br />\sum\limits_{k = 1}^n {\left( {\cos \left( {k + 1} \right)\alpha - \cos k\alpha } \right)} - \sum\limits_{k = 1}^n {\left( {\cos k\alpha - \cos \left( {k - 1} \right)\alpha } \right)} = \left( {2\cos \alpha - 2} \right)\sum\limits_{k = 1}^n {\cos k\alpha } <br />$$$ $TEX: $$<br />\cos \left( {n + 1} \right)\alpha - \cos n\alpha - \cos \alpha + 1 = \left( {2\cos \alpha - 2} \right)\sum\limits_{k = 1}^n {\cos k\alpha } <br />$$$ $TEX: $$<br />\cos \left( {n + 1} \right)\alpha - \cos n\alpha - \cos \alpha + 1 = \left( {2\cos \alpha - 2} \right)\left( { - 1 + 1 + \sum\limits_{k = 1}^n {\cos k\alpha } } \right)<br />$$$ $TEX: $$<br />\cos \left( {n + 1} \right)\alpha - \cos n\alpha - \cos \alpha + 1 = \left( {2\cos \alpha - 2} \right)\left( { - 1 + \sum\limits_{k = 0}^n {\cos k\alpha } } \right)<br />$$$ $TEX: $$<br />\cos \left( {n + 1} \right)\alpha - \cos n\alpha + \cos \alpha - 1 = \left( {2\cos \alpha - 2} \right)\sum\limits_{k = 0}^n {\cos k\alpha } <br />$$$ $TEX: $$<br />\sum\limits_{k = 0}^n {\cos k\alpha } = \frac{1}<br />{2}\frac{{\cos \left( {n + 1} \right)\alpha - \cos n\alpha + \cos \alpha - 1}}<br />{{\cos \alpha - 1}} = \frac{1}<br />{2}\frac{{ - 4\sin \frac{\alpha }<br />{2}\sin \left( {\frac{{n\alpha }}<br />{2} + \frac{\alpha }<br />{2}} \right)\cos \frac{{n\alpha }}<br />{2}}}<br />{{\cos \alpha - 1}}<br />$$$ $TEX: $$<br /> = \frac{1}<br />{2}\frac{{ - 4\sin \frac{\alpha }<br />{2}\sin \left( {\frac{{n\alpha }}<br />{2} + \frac{\alpha }<br />{2}} \right)\cos \frac{{n\alpha }}<br />{2}}}<br />{{ - 2\sin ^2 \frac{\alpha }<br />{2}}} = \frac{{\cos \frac{{n\alpha }}<br />{2}}}<br />{{\sin \frac{\alpha }<br />{2}}}\sin \left( {\frac{{n\alpha }}<br />{2} + \frac{\alpha }<br />{2}} \right) = \frac{{\cos \frac{{n\alpha }}<br />{2}}}<br />{{\sin \frac{\alpha }<br />{2}}}\sin \left( {\frac{\alpha }<br />{2}\left( {n + 1} \right)} \right)<br />$$$ saludos

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