Cuarta fecha CMAT 2007 - Foro fmat.cl

Cuarta fecha CMAT 2007, Cuarto Nivel, Santiago

fs_tol Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 19 2007, 04:59 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 670 Registrado: 30-January 06 Desde: Ñuñoa, Santiago Miembro Nº: 524 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	c4.jpg ( 65.47k ) Número de descargas: 47 -------------------- $TEX: $CARITA$$

2+2=4 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 19 2007, 06:44 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 957 Registrado: 5-November 05 Miembro Nº: 360 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Solución P2 $TEX: \noindent Primero notemos que $p$ y $q$ necesariamente son de distinta paridad. Como el \'unico primo par es $2$ ,tenemos dos posibles casos: \\<br />\\<br />$\underline{\text{Caso}\ 1 }: \ q=2$ \\<br />\\<br />$p^q+q^p=2^{q+1}+1 \Longrightarrow p^2 + 2^q = 2^3 + 1 \Longrightarrow p^2=9-2^q $ \\<br />\\<br />Es f\'acil notar que para todos los posibles valores primos de $q \le 3$ la expresi\'on $9-2^q$ no satisface ser un cuadrado perfecto de un primo, por lo que no se encuentran soluciones en este caso. \\<br />\\<br />$\underline{\text{Caso}\ 2 }: \ p=2$ \\<br />\\<br />$p^q+q^p=2^{q+1}+1 \Longrightarrow 2^q + q^2 = 2^{q+1} + 1 \Longrightarrow (q+1)(q-1)=2^q$ \\<br />\\<br />Ahora notemos que a excepci\'on del 3, no existe ning\'un otro primo m\'ultiplo de 3. Luego si $q \neq 3$ entonces $(q+1)$ \'o $(q-1)$ es m\'ultiplo de $3$ (tres enteros consecutivos), por lo que el producto $(q+1)(q-1)$ es divisible por 3, pero eso lleva a contradicci\'on ya \'esto es potencia de $2$. Finalmente si $q=3$: \\<br />\\<br />$(q+1)(q-1)=2^q \Longrightarrow 2^q=8 \Longrightarrow q=3$ \\<br />\\<br />Se tiene como \'unica soluci\'on $(p,q)=(2,3)$<br />$ Saludos --------------------

caf_tito Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 19 2007, 07:06 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 1.605 Registrado: 25-June 05 Miembro Nº: 123 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Bonita solución al ejercicio 2 , yo tengo otra mucho más bruta, quizá mña la postee. --------------------

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