 Fecha Recuperativa CMAT 2007, Cuarto Nivel - Santiago |
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Foro fmat.cl > Sector Preparación Olimpiadas > Competencias y Olimpiadas > Campeonato Interescolar > Campeonato Interescolar 2007 > Fecha Recuperativa  |
 Aug 19 2007, 04:47 PM
Publicado:
#1
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 Dios Matemático Supremo  Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 670 Registrado: 30-January 06 Desde: Ñuñoa, Santiago Miembro Nº: 524 Nacionalidad:  Universidad:  Sexo:   |
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Aug 19 2007, 06:21 PM
Publicado:
#2
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 Dios Matemático Supremo  Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 1.605 Registrado: 25-June 05 Miembro Nº: 123 Colegio/Liceo:  Universidad:  Sexo: |
![TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \boxed{S_2 } \hfill \\<br /> {\text{Asumamos como cierta la siguiente preposici\'o n}}{\text{.}} \hfill \\<br /> \boxed{{\text{Al sumar o multiplicar racionales se obtendra siempre un racional}}{\text{.}}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> Lema{\text{ }}1 \hfill \\<br /> {\text{Sean }}A\left( {x_1 ,y_1 } \right),B\left( {x_2 ,y_2 } \right){\text{ cualesquiera con }}x_2 - x_1 \ne 0{\text{ Entonces}} \hfill \\<br /> D_{AB} = \left( {x_2 - x_1 } \right)\sqrt {1 + m_{AB} ^2 } \hfill \\<br /> {\text{Dem:}} \hfill \\<br /> m_{AB} = \frac{{y_2 - y_1 }}<br />{{x_2 - x_1 }} \Rightarrow \left( {y_2 - y_1 } \right)^2 = m_{AB} ^2 \left( {x_2 - x_1 } \right)^2 {\text{ (1)}} \hfill \\<br /> D_{AB} = \sqrt {\left( {x_2 - x_1 } \right)^2 + \left( {y_2 - y_1 } \right)^2 } {\text{ (2)}} \hfill \\<br /> {\text{Reemplazando (1) en (2)}} \hfill \\<br /> D_{AB} = \sqrt {\left( {x_2 - x_1 } \right)^2 + \left( {y_2 - y_1 } \right)^2 } \hfill \\<br /> D_{AB} = \left( {x_2 - x_1 } \right)\sqrt {1 + m_{AB} ^2 } \hfill \\<br /> {\text{Demostrando el }}Lema{\text{ }}1 \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]](./tex/1187565768.gif) ![TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> Lema{\text{ }}2 \hfill \\<br /> {\text{El area de un }}\Delta ABC{\text{ dada las coordenadas }}A\left( {x_1 ,y_1 } \right),B\left( {x_2 ,y_2 } \right),C\left( {x_3 ,y_3 } \right){\text{ es}} \hfill \\<br /> \boxed{A = \frac{{\left( {x_2 - x_1 } \right)\left( {x_4 - x_3 } \right)\left( {m_{AB} + \frac{1}<br />{{m_{AB} }}} \right)}}<br />{2}} \hfill \\<br /> {\text{Donde }}P\left( {x_4 ,y_4 } \right){\text{ es la proyecci\'o n ortogonal de }}C\left( {x_3 ,y_3 } \right){\text{ sobre }}\overleftrightarrow {AB}{\text{.}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Dem:}} \hfill \\<br /> A = \frac{{D_{AB} \cdot D_{CP} }}<br />{2} \hfill \\<br /> {\text{Por }}Lema{\text{ 1 se tiene que}} \hfill \\<br /> D_{AB} = \left( {x_2 - x_1 } \right)\sqrt {1 + m_{AB} ^2 } \hfill \\<br /> D_{CP} = \left( {x_4 - x_3 } \right)\sqrt {1 + m_{CP} ^2 } \hfill \\<br /> {\text{pero }}m_{\overline {CP} } = \frac{{ - 1}}<br />{{m_{\overline {AB} } }}{\text{ dado }}\overleftrightarrow {AB} \bot \overleftrightarrow {CP}, \Rightarrow D_{CP} = \left( {x_4 - x_3 } \right)\sqrt {1 + \frac{1}<br />{{m_{AB} ^2 }}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]](./tex/1187565771.gif) ![TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \therefore A = \frac{{\left( {x_2 - x_1 } \right)\left( {x_4 - x_3 } \right)\sqrt {\left( {1 + m_{AB} ^2 } \right)\left( {1 + \frac{1}<br />{{m_{AB} ^2 }}} \right)} }}<br />{2} \hfill \\<br /> A = \frac{{\left( {x_2 - x_1 } \right)\left( {x_4 - x_3 } \right)\sqrt {m_{AB} ^2 + 2 + \frac{1}<br />{{m_{AB} ^2 }}} }}<br />{2} \hfill \\<br /> A = \frac{{\left( {x_2 - x_1 } \right)\left( {x_4 - x_3 } \right)\sqrt {\left( {m_{AB} + \frac{1}<br />{{m_{AB} }}} \right)^2 } }}<br />{2} \hfill \\<br /> A = \frac{{\left( {x_2 - x_1 } \right)\left( {x_4 - x_3 } \right)\left( {m_{AB} + \frac{1}<br />{{m_{AB} }}} \right)}}<br />{2} \hfill \\<br /> {\text{Probando asi el }}Lema{\text{ }}2 \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]](./tex/1187565668.gif) ![TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{Ahora segun nuestra preposici\'o n}} \hfill \\<br /> x_2 - x_1 {\text{,}}m_{AB} {\text{,}}\frac{1}<br />{{m_{AB} }}{\text{ son racionales ya que }}x_1 ,x_2 ,y_1 ,y_2 \in \mathbb{Q} \hfill \\<br /> {\text{Luego }}x_4 - x_3 {\text{ es racional}} \Leftrightarrow x_4 \in \mathbb{Q} \hfill \\<br /> {\text{Pero}} \hfill \\<br /> {\text{al resolver el siguiente sistema de ecuaciones}} \hfill \\<br /> \left. {\underline {\, <br /> \begin{gathered}<br /> \overleftrightarrow {AB}:y - y_1 = m_{\overline {AB} } \left( {x - x_1 } \right) \hfill \\<br /> \overleftrightarrow {CP}:y - y_3 = \frac{{ - 1}}<br />{{m_{\overline {AB} } }}\left( {x - x_3 } \right) \hfill \\ <br />\end{gathered} \,}}\! \right| \hfill \\<br /> {\text{obtenemos las coordenadas de }}P{\text{ que son}}\left( {x_4 ,y_4 } \right){\text{ las cuales son}} \hfill \\<br /> {\text{racionales}}{\text{, ya que al resolver el sistema solo usamos sumas y multiplicacion}} \hfill \\<br /> {\text{de numeros racionales}}{\text{.}} \hfill \\<br /> \Rightarrow x_4 - x_3 \in \mathbb{Q} \hfill \\<br /> \therefore A = \frac{{\left( {x_2 - x_1 } \right)\left( {x_4 - x_3 } \right)\left( {m_{AB} + \frac{1}<br />{{m_{AB} }}} \right)}}<br />{2} \in \mathbb{Q} \hfill \\<br /> {\text{Probando asi lo pedido}}{\text{.}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]](./tex/1187565670.gif)
Mensaje modificado por caf_tito el Aug 19 2007, 06:22 PM --------------------  |
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Aug 20 2007, 02:14 PM
Publicado:
#3
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 Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9 Registrado: 22-April 06 Desde: Rancagua Miembro Nº: 926 Colegio/Liceo: Universidad:  Sexo: |
Que es seco el Caf ojala hayas respondido eso en la prueba xD, de hay te paso las cosas de fisica
si ni saludai en el liceo xD |
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