Fecha Recuperativa CMAT 2007

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Fecha Recuperativa CMAT 2007, Tercer Nivel - Santiago

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fs_tol Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 19 2007, 04:46 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 670 Registrado: 30-January 06 Desde: Ñuñoa, Santiago Miembro Nº: 524 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	r3.jpg ( 73.74k ) Número de descargas: 46 -------------------- $TEX: $CARITA$$

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 19 2007, 05:36 PM Publicado: #2
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: \boxed{\mathbb Sp_2}$ $TEX: Sean $P=\overline{AB}\cap\overline{O_1O_2}$ y $Q=\overline{CD}\cap\overline{O_1O_2}$. $E$ y $F$ son los respectivos puntos de tangencia. Sean $r$ y $R$ los radios de las circunferencias con $r<R$. Se tiene que $\triangle O_1EO_2\sim\triangle CQO_2$ y $\triangle O_2FO_1\sim\triangle APO_1$, luego$$\frac{r}{\overline{CQ}}=\frac{\overline{O_1O_2}}{R},\,\,\frac{R}{\overline{AP}}=\frac{\overline{O_1O_2}}{r}$$$ $TEX: \noindent como se deseaba $\blacksquare$$

fs_tol Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 19 2007, 05:49 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 670 Registrado: 30-January 06 Desde: Ñuñoa, Santiago Miembro Nº: 524 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Solución correcta, esperamos la correspondiente al problema 1, en mi opinión más dificil pues requería hacer algunos análisis. Saludos -------------------- $TEX: $CARITA$$

F. I. D. B. Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 21 2007, 09:49 PM Publicado: #4
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 7 Registrado: 12-May 07 Desde: frente al computador Miembro Nº: 5.793 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: $$<br />{\text{Tenemos la ecuacion}}<br />$$<br />$ $TEX: $$<br />((x + x^{ - 1} ) + (x + x^{ - 1} )^{ - 1} ) + ((x + x^{ - 1} ) + (x + x^{ - 1} )^{ - 1} )^{ - 1} = \frac{{29}}<br />{{10}}<br />$$<br />$ $TEX: $$<br />{\text{Si usamos la variable auxiliar }}(x + x^{ - 1} ) = y,{\text{ queda la expresion}}<br />$$<br />$ $TEX: $$<br />(y + y^{ - 1} ) + (y + y^{ - 1} )^{ - 1} = \frac{{29}}<br />{{10}}$$$ $TEX: $${\text{Si resolvemos los valores elevados a - 1}}{\text{, queda}}<br />$$$ $TEX: $$<br />(y + \frac{1}<br />{y}) + (\frac{1}<br />{{y + \frac{1}<br />{y}}}) = \frac{{29}}<br />{{10}}<br />$$<br />$ $TEX: $$<br />\frac{{y^2 + 1}}<br />{y} + \frac{y}<br />{{y^2 + 1}} = \frac{{29}}<br />{{10}}<br />$$<br />$ $TEX: $$<br />\frac{{y^4 + 2y^2 + 1 + y^2 }}<br />{{y^3 + y}} = \frac{{29}}<br />{{10}}<br />$$<br />$ $TEX: $$<br />{\text{Si resolvemos la primera ecuacion para resolver el valor de "y" para 29}}{\text{, }}<br />$$<br />$ $TEX: $$<br />{\text{y este coincide para 10}}{\text{, la ecuacion va a tener por lo menos una solucion}}<br />$$<br />$ $TEX: $$<br />{\text{y}}^{\text{3}} + y = 10<br />$$<br />$ $TEX: $$<br />(2)^3 + 2 = 10<br />$$<br />$ $TEX: $$<br />8 + 2 = 10 \Rightarrow {\text{la ecuacion tiene solucion real}}<br />$$<br />$ $TEX: $$<br />{\text{( - 2)}}^{\text{3}} - 2 \ne 10<br />$$<br />$ $TEX: $$<br />{\text{El valor auxiliar de "y" es remplazado, lo que da finalmente a "x"}}<br />$$<br />$ $TEX: $$<br />(x + x^{ - 1} ) = y<br />$$<br />$$<br />(x + x^{ - 1} ) = 2<br />$$<br />$$<br />\frac{{x^2 + 1}}<br />{x} = 2<br />$$<br />$$<br />x^2 + 1 = 2x<br />$$<br />$$<br />x^2 - 2x + 1 = 0<br />$$$$<br />x = 1<br />$$$ PD:Este no es el mejor sistema, ni el mas rapido, ni el mas claro si alguien sabe uno mejor, por favor enseñenme Mensaje modificado por F. I. D. B. el Aug 21 2007, 09:54 PM

fs_tol Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 21 2007, 10:06 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 670 Registrado: 30-January 06 Desde: Ñuñoa, Santiago Miembro Nº: 524 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(F. I. D. B. @ Aug 21 2007, 09:49 PM) $TEX: $${\text{Si resolvemos la primera ecuacion para resolver el valor de "y" para 29}}{\text{, }}<br />$$<br />$ $TEX: $$<br />{\text{y este coincide para 10}}{\text{, la ecuacion va a tener por lo menos una solucion}}<br />$$<br />$ $TEX: $$<br />{\text{y}}^{\text{3}} + y = 10<br />$$<br />$ $TEX: $$<br />(2)^3 + 2 = 10<br />$$<br />$ $TEX: $$<br />8 + 2 = 10 \Rightarrow {\text{la ecuacion tiene solucion real}}<br />$$<br />$ $TEX: $$<br />{\text{( - 2)}}^{\text{3}} - 2 \ne 10<br />$$<br />$ En esta parte, encuentras una solución de la ecuación de cuarto grado, pero podría haber otras 3 distintas que también cumplan, y en el problema se piden todas las soluciones reales, por lo que la solución está incompleta. Como ayuda, te puede servir usar nuevamente el truco que usaste al principio del cambio de variable. Saludos -------------------- $TEX: $CARITA$$

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 22 2007, 11:36 AM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Una indicación (o, mejor aún, una contra-indicación) para resolver este problema: No se necesita el dato posterior a la ecuación ("Recuerda que si 0<a<1, entonces a^-1>1"). Pueden verlo como un distractor. PD: ese distractor es tan "indigno", que ni siquiera merece que yo lo escriba en LaTeX. -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

F. I. D. B. Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 22 2007, 05:58 PM Publicado: #7
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 7 Registrado: 12-May 07 Desde: frente al computador Miembro Nº: 5.793 Nacionalidad: Sexo:	Como estaba apurado ayer no note que faltaba un trozo la parte en que se resolve la ecuacion para 29 el resulatado era mas-menos 2 PD:vale por las acotaciones

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 22 2007, 11:07 PM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	No es cierto que, si $TEX: $\dfrac ab=\dfrac{29}{10}$$ , entonces a=29 y b=10. Por lo que entendí, eso hiciste en algún momento, mientras buscabas UNA solución para el problema. Como método para hallar soluciones, no lo voy a criticar ahora (tiene puntos a favor y en contra), pero no garantiza que estás encontrando todas las soluciones Lee con cuidado lo que dijo fs_tol, él dio una indicación para resolver el problema -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

JonaXo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 7 2007, 02:22 PM Publicado: #9
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9 Registrado: 11-May 07 Desde: Frente A La Pantalla... Miembro Nº: 5.774 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Pero... si primero remplazamos t=((x+x^-1)+(x+x^-1)^-1) entonces t+1/t=29/10 tendre una solucion (la otra tiene discrimante negativa) luego hago o mismo, remplazo i=(x+x^-1) y listo po i+i/1=t con esta ecuacion saco i(una solucion porque la otra tiene Discriminaante negativo) luego x+1/x=i (tambien hay una pura solucion) solucion x=1 Mensaje modificado por JonaXo el Sep 7 2007, 02:39 PM --------------------

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 7 2007, 04:19 PM Publicado: #10
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	JonaXo, tu idea de solución está casi perfecta. Lo único que falta, es encontrar explícitamente las soluciones de las ecuaciones de segundo grado, ver por qué descartar una u otra solución, y concluir que necesariamente x=1 . Dicho de otro modo, sólo te pido que escribas explícitamente las cuentas... los comentarios vendrán después de esta solución. -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

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