Fecha Recuperativa CMAT 2007

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Fecha Recuperativa CMAT 2007, Segundo Nivel - Santiago

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fs_tol Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 19 2007, 04:45 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 670 Registrado: 30-January 06 Desde: Ñuñoa, Santiago Miembro Nº: 524 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	r2.jpg ( 69.65k ) Número de descargas: 41 -------------------- $TEX: $CARITA$$

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 19 2007, 09:08 PM Publicado: #2
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Solución al problema 1 $TEX: \noindent Sean $a=2^k+1, b=2^j+1$ con $k, j\in\mathbb{Z}^+$; como $a\le{b}\Rightarrow{k\le{j}}$. Sea $(2^k+1)(2^j+1)=2^p+1$, cumpliendo as\'i lo que nos pide el enunciado. Notemos que $p>j\ge{k}$, esto porque claramente $p$ no es menor que $j$, y que tampoco es igual a $j$, ya que si fuera as\'i $(2^k+1)(2^j+1)=2^j+1\Rightarrow{2^k+1=1}\Rightarrow{2^k=0}$ lo que es un absurdo para $k$ entero positivo. Ahora<br /><br />$$(2^k+1)(2^j+1)=2^p+1$$<br />$$2^{k+j}+2^k+2^j+1=2^p+1$$<br />$$2^{k+j}+2^k+2^j=2^p$$<br /><br />\noindent como $k$ es el menor de los exponentes $k+j, k, j, p$, podemos factorizar por $2^k$, quedando factores enteros<br /><br />$$2^k(2^j+1+2^{j-k})=2^p$$<br />$$2^j+1+2^{j-k}=2^{p-k}$$<br /><br />\noindent Notemos que el lado derecho de la igualdad es potencia de $2$ par (ya que $p>k$), luego el lado izquierdo tambi\'en debe serlo; si $2^j$ y $2^{j-k}$ fueran potencias pares de $2$, se tendr\'ia el lado izquierdo impar, entonces una de ellas debe ser potencia impar de dos, o sea, $2^0=1$, pero, como $j>0$, no nos queda otra de que $2^{j-k}=1\Rightarrow{j=k}$. As\'i<br /><br />$$2^j+2=2^{p-j}$$$ $TEX: \noindent Entonces debemos encontrar dos potencias de $2$ que difieran en dos. Veamos las primeras potencias de $2$<br /><br />$$2^0=1$$<br />$$2^1=2$$<br />$$2^2=4$$<br />$$2^3=8$$<br />$$2^4=16$$<br />$$2^5=32$$<br />$$2^6=64$$<br />$$\ldots$$<br /><br />\noindent Podemos darnos cuenta que las \'unicas potencias de $2$ que difieren en dos unidades son $2^1$ y $2^2$, ya que las potencias de dos van creciendo cada vez m\'as. Luego $2^j=2\Rightarrow{j=1}$ y $2^{p-j}=4\Rightarrow{p=3}$. As\'i $a=b=3$, y $ab=9=2^{3}+1\in\mathcal{A}$.\\<br /><br />\noindent Finalmente, el \'unico par que cumple la condici\'on pedida es $(a,b)=(3,3)\ \blacksquare$$ Saludos -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 20 2007, 02:16 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Tenemos una solución correcta para el problema 1. Estamos a la espera de una solución para el problema 2. Saludos (hablamos vía MSN) -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

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