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Fecha Recuperativa CMAT 2007, Primer Nivel - Santiago

Felipe_ambuli Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 19 2007, 01:25 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 836 Registrado: 9-January 07 Desde: Santiasko Miembro Nº: 3.659 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: \noindent Problema 1\\<br />Cuatro im\'agenes se encuentran en una pared, distribuidas de la siguiente manera:\\<br />\noindent La imagen 1 es un cuadrado con per\'imetro de $32$ cm. Las otras tres imágenes son rectangulares.<br />La imagen 2 tiene un per\'imetro de $60$ cm, la imagen 4 tiene per\'imetro $84$ cm.<br />Cu\'al es el per\'imetro de la imagen 3? y Cu\'al es el \'area y per\'imetro total de la figura?$ cuardiao.png ( 3.4k ) Número de descargas: 0 $TEX: \noindent Problema 2\\<br />La empresa constructora Duarte y Soto Ltda. proyecta construir el edificio m\'as alto del mundo en Arica.<br />Fresia y su hija Andrea compraron departamentos. El n\'umero del piso donde vivir\'a Fresia coincide con el n\'umero de departamento que compr\'o Andrea. La suma de los n\'umeros de los departamentos (donde vivir\'an ellas) es $2175$. Calcule el n\'umero del departamento de Fresia sabiendo que en cada piso hay $12$ departamentos y est\'an enumerados sucesivamente (ej: 1 al $12$ el primer piso, $13$ al $24$ el segundo, ..., etc).$ Mensaje modificado por xsebastian el Dec 30 2008, 02:35 PM

sebagarage Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 19 2007, 02:46 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 817 Registrado: 28-May 06 Desde: maipú, santiago. Miembro Nº: 1.210 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Jape @ Aug 19 2007, 03:27 PM) $TEX: \fbox{Problema 1}$ $TEX: Figura 1: Perimetro = 32, como es un cuadrado, su lado mide 8.$ $TEX: En la figura 2, coincide un lado con la figura 1, como es un rectangulo su perimetro sera:$ $TEX: 8 + 8 + x + x = 60$ $TEX: 2x = 44$ $TEX: x = 22$ $TEX: Por lo tanto sus lados son 8 y 22.$ $TEX: La imagen 4 tiene perímetro 84 cm, uno de sus lados coincide con el lado del rectangulo 2 que mide 22, por lo tanto sera:$ $TEX: 22 + 22 + y + y = 84$ $TEX: 2y = 40$ $TEX: y = 20$ $TEX: Con esto ya sabes que la figura 4 tiene lados de 22 y 20 cm.$ $TEX: Con todo esto concluimos que los lado de la figura 3 son 20 y 8, por lo tanto su perimetro es:$ $TEX: 40 + 16 = 56$ $TEX: Finalmente, ¿Cuál es el área y perímetro total de la figura?$ $TEX: Area = (8 + 20)(8 + 22)$ $TEX: = 840 cm$ $TEX: Perimetro total = 2(8 + 20) + 2(8 + 22)$ $TEX: = 56 + 60$ $TEX: =116$ Respuesta Correcta. Falta sólo la segunda pregunta para terminar con la prueba. Saludos. -------------------- Estudiante de 5º año de Ingeniería Civil Industrial en la U. de Chile

JoNy_SaTiE Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 31 2007, 12:41 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Gold Mensajes: 1.118 Registrado: 11-September 05 Desde: Valdivia/Ancud Miembro Nº: 302 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: <br />\fbox{Problema 2}<br /><br />Definimos las variables del problema:<br /><br />$p_1$: piso de Fresia.<br /><br />$p_2$: piso de Andrea.<br /><br />$d_1$: Departamento de Fresia.<br /><br />$d_2$: Departamento de Andrea.<br /><br />Seg\'un el enunciado $p_1=d_2=m$ y <br /><br />$d_1+d_2=d_1+m=2175 \Rightarrow d_1=2175-m$.<br /><br />Entonces:<br /><br />$m$: piso de Fresia <br /><br />$p_2$: piso de Andrea.<br /><br />$2175-m$: Departamento de Fresia.<br /><br />$m$: Departamento de Andrea.<br /><br />Como cada piso tiene $12$ departamentos, se cumple la siguiente relaci\'on:<br /><br />$$ \frac{D-x}{12}=P_d+1,\; 0<x \leq 12$$<br /><br />donde $D$: n\'umero de departamento.<br /><br />$P_d$: n\'umero de piso correspondiente a $D$.<br /><br />Por ejemplo, si estamos en el departamento $15$(piso $2$), tenemos:<br /><br />$$\frac{(15)-3}{12}=(1)+1$$<br /><br />Se puede usar esta relaci\'on comparando el departamento de<br /><br /> fresia ($2175-m$) y su respectivo piso ($m$).<br /><br />Luego: $2175-m-x=12(m+1) \Rightarrow 13m+x=2163$.<br /><br />Esta ecuaci\'on tiene soluci\'on particular: $m=2163,\, x=-25956$ y soluci\'on general:<br /><br />$m=2163-t,\, x=-25956+13t$.<br /><br />Como $0<x \leq 12$, $0<-25956+13t \leq 12$. Se obtiene finalmente $t=1997$. <br /><br />Esto genera $m=166,\; d_1=2009$.<br /><br />Por lo tanto el n\'umero de departamento de fresia es $2009$.<br /><br />$ Mensaje modificado por JoNy_SaTiE el Sep 1 2007, 12:45 AM -------------------- Comienza a crear documentos con LaTeX. Ya usas LaTeX y quieres aprender un poco más ... pincha aquí Si eres de la UaCH ... únete a la causa !!! J. Jonathan H. Oberreuter A. Universidad Austral de Chile - RWTH Aachen alumni Est. Magister en Acústica y Vibraciones Ingeniero Civil Acústico (E) Bachiller y Licenciado en Cs. de la Ingeniería

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 31 2007, 09:23 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	La ecuación, que vincula el número de departamento $TEX: $D$$ con su piso $TEX: $P_d$$ , en realidad es $TEX: $\dfrac{D-x}{12}=P_d-1,\qquad x\in\{1,2,\ldots,12\}$$ Pongamos el mismo ejemplo, $TEX: $D=15,P_d=2,x=3$$ (x no es más que el resto de la división "D : 12") $TEX: $\dfrac{15-3}{12}=2-1$$ Luego de eso... se llega a una ecuación con incógnitas m, x, con el mismo procedimiento. Recordando que x está bien acotado, no sería difícil encontrar una solución. Ahí podrían discutirse asuntos como unicidad de soluciones Good luck -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

JoNy_SaTiE Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 1 2007, 12:05 AM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Gold Mensajes: 1.118 Registrado: 11-September 05 Desde: Valdivia/Ancud Miembro Nº: 302 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Siii, una vez más me pifié en la fórmula. Pero la idea está. -------------------- Comienza a crear documentos con LaTeX. Ya usas LaTeX y quieres aprender un poco más ... pincha aquí Si eres de la UaCH ... únete a la causa !!! J. Jonathan H. Oberreuter A. Universidad Austral de Chile - RWTH Aachen alumni Est. Magister en Acústica y Vibraciones Ingeniero Civil Acústico (E) Bachiller y Licenciado en Cs. de la Ingeniería

JoNy_SaTiE Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 1 2007, 12:43 AM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Gold Mensajes: 1.118 Registrado: 11-September 05 Desde: Valdivia/Ancud Miembro Nº: 302 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: <br />\fbox{Problema 2 (Editado)}<br /><br />Definimos las variables del problema:<br /><br />$p_1$: piso de Fresia.<br /><br />$p_2$: piso de Andrea.<br /><br />$d_1$: Departamento de Fresia.<br /><br />$d_2$: Departamento de Andrea.<br /><br />Seg\'un el enunciado $p_1=d_2=m$ y <br /><br />$d_1+d_2=d_1+m=2175 \Rightarrow d_1=2175-m$.<br /><br />Entonces:<br /><br />$m$: piso de Fresia <br /><br />$p_2$: piso de Andrea.<br /><br />$2175-m$: Departamento de Fresia.<br /><br />$m$: Departamento de Andrea.<br /><br />Como cada piso tiene $12$ departamentos, se cumple la siguiente relaci\'on:<br /><br />$$ \frac{D-x}{12}=P_d-1,\; 0<x \leq 12$$<br /><br />donde $D$: n\'umero de departamento.<br /><br />$P_d$: n\'umero de piso correspondiente a $D$.<br /><br />Por ejemplo, si estamos en el departamento $15$(piso $2$), tenemos:<br /><br />$$\frac{(15)-3}{12}=(2)-1$$<br /><br />Se puede usar esta relaci\'on comparando el departamento de<br /><br /> fresia ($2175-m$) y su respectivo piso ($m$).<br /><br />Luego: $2175-m-x=12(m-1) \Rightarrow 13m+x=2187$.<br /><br />Esta ecuaci\'on tiene soluci\'on particular: $m=2187,\, x=-26244$ y soluci\'on general:<br /><br />$m=2187-t,\, x=-26244+13t$. Aqu\'i se necesita un poco de conocimiento de ecuaciones diof\'anticas lineales.<br /><br />Esta parte la detallo un poco m\'as:<br /><br />Como $0<x \leq 12$, $0<-26244+13t \leq 12$. <br /><br />$-26244+13t>0 \Rightarrow 13t>26244 \Rightarrow t>2018.8$<br /><br />$-26244+13t\leq 12 \Rightarrow 13t \leq 26256 \Rightarrow t \leq 2019.7 $<br /><br />Como estamos trabajando con n\'umeros naturales, la \'unica posibilidad para $t$ es $t=2019$.<br /><br />Esto genera $m=2187-2019=168,\; d_1=2175-168=2007$.<br />$ ¡ CONTENIDO OCULTO BLOQUEADO ! Identifícate o Registrate para desbloquearlo. Mensaje modificado por JoNy_SaTiE el Sep 1 2007, 12:45 AM -------------------- Comienza a crear documentos con LaTeX. Ya usas LaTeX y quieres aprender un poco más ... pincha aquí Si eres de la UaCH ... únete a la causa !!! J. Jonathan H. Oberreuter A. Universidad Austral de Chile - RWTH Aachen alumni Est. Magister en Acústica y Vibraciones Ingeniero Civil Acústico (E) Bachiller y Licenciado en Cs. de la Ingeniería

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 3 2007, 11:37 AM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	La conclusión que 13m+x=2187 es correcta. Sin embargo, podemos concluir más rápido aún este problemita. Sabiendo que $TEX: $1\le x\le12$$ , tenemos que 13m<2187<13(m+1). Qué tal sería dividir por 13, para darse cuenta que m es el cuociente de la división 2187 : 13 ? El resultado, claro está, sería m=168, x=3, o sea Fresia vivirá en el departamento 2175 - 168 = 2007 (el año en que hemos realizado la prueba... vaya ironía), piso 168 (Andrea vivirá en el departamento 168, piso 14) -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

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