Cuarto Nivel Individual Opciones

[Rurouni Kenshin]

[ginobili]

Quisiera que pusieran las respuestas de hoy y la fecha anterior , porque hoy dia igual encontre que me fue bien, en la primera puse como eran 5 los n y m habia que repartir numeros pares e impares de la maxima cantidad de maneras distintas para que su suma sea impar, pero se pueden ordenar de 4 maneras las coordenadas (par - par) (impar - impar) (par - impar) y (impar - par) , pero para y se va a tener q repetir uno de esos ordenos por lo tanto va a quedar la suma de dos pares o dos impares(o al reves) en las dos coordenadas y asi suma par y por lo tanto con la forma de distancia como esta dividida por 2 quedan un numero entero ya q los pares estan escritos de la forma

La segunda pregunta me dio que el largo maximo de un camino era

[orly]

Estaba un poquito ocioso, así q me dió por publicar la respuesta de la pregunta 1.
Dados los puntos y , el punto medio tendra su primero coordenada y su segunda coordenada será . Entonces lo que necesitamos es nada más que sea par y que también lo sea,asi y seran enteros y por ende podremos decir que el punto medio tiene coordenadas enteras.
Pues bueno tendremos que es par cuando y tienen la misma paridad (es decir, ambos son pares o ambos impares), y con sucede lo mismo.
Ahora, de los cinco puntos, consideremos solo su primera coordenada, claramente deben haber 3 con la misma paridad por lo menos, o sea entre , deben haber tres con la misma paridad (ya sean los tres pares o los tres impares) por lo menos, y luego de esos tres puntos, nos fijamos en su segunda coordenada, de esos tres puntos deben haber dos con la segunda coordenada de igual paridad. Y como vemos, hemos encontrado que siempre hay dos puntos que tienen la primera coordenada con la misma paridad entre si, y la segunda coordenada también con la misma paridad, así que siempre su punto medio tendrá coordenadas enteras. Listop...

Por ahora eso nomás, el problema 2 se veía largo de leer, me dio lata , suerte a todos...

[Rurouni Kenshin]

La demora en publicar la respuesta de la pregunta 2 no se debe a no saber su respuesta, sino al tiempo que toma hacer los dibujos...jejejejeje
Asi que paciencia que pronto juntaremos los esfuerzos de cada uno y postearemos la solucion al problema mas dificil de esta fecha de la Intercolegial
Saludos :hola:

[Rurouni Kenshin]

Solucion P2
La haremos en varios pasos:
Paso 1
Calcular la cantidad de triangulitos que hay en un triangulo grande de lado n (o sea n triangulitos por arista).


Solucion:

Para n=2

La cantidad de triangulos de cada fila son 1 y 3(notese que 3=1+2 pues la fila inferior es la fila superior, mas las dos esquinas.
Para n=3

La cantidad de triangulos por fila son 1,3,5.Notamos que su valor siempre se incrementa en 2.Esto pues cada fila se obtiene como su fila predecesora + 2 esquinas.
Para n cualquiera(generalizando)

Por las mismas conclusiones anteriores notamos que en general se deben sumar todos los impares desde 1 a 2n-1
1+3+5+...+2n-1=(2x1-1)+(2x2-1)+...+(2n-1)
=(2x1+2x2+....+2xn)-(1+1+...+1)=2(1+2+...+n)- n
=[2n(n+1)/2] - n=n(n+1)-n=n^2

PD:Primer paso SUPERADO :hola:

[Rurouni Kenshin]

Y ahora vamos con el siguiente paso....
Paso 2
Pintar algunos triangulitos de la figura de tal manera que paresca una especie de tablero de ajedrez,y contar cuantos triangulitos pintados tenemos en cada caso.


Solucion:

Para n=2

La cantidad total de triangulos pintados que obtenemos es 1.
Para n=3

Aqui en la segunda fila(horizontales) se encuentra 1 triangulito y en la tercera fila se encuentran 2 triangulitos(notese el incremento de 1 en 1)
Para n cualquiera(Generalizando)

Aqui la cantidad de triangulos pintados a partir de la segunda fila seran 1,2,3,4,....,(n-1)(esto pues fila a fila la cantidad de triangulitos pintados se incrementa de 1 en 1)
Por ende la cantidad total de triangulitos pintados sera 1+2+...+(n-1)=(n-1)n/2 en general para un triangulo de lado n(n triangulitos por lado).
Podemos decir que el segundo paso tambien es una meta SUPERADA

[Rurouni Kenshin]

Y no hay segunda sin tercera.
Paso 3
Descubrir cual es el largo maximo al cual podriamos aspirar(en el mejor de los casos) en un camino dentro de un triangulo de lado n.


Solucion:

Si observamos las figuras anteriores(donde pintamos ciertos triangulitos) notaremos que si estamos en un triangulito "pintado"...solo podremos en el siguiente paso llegar a un "no pintado" y si estuvieramos en un "no pintado" en el paso siguiente solo podriamos llegar a un "pintado"
Eso nos da la intuicion de que en nuestros caminos la cantidad de "pintados" y "no pintados" sera la misma.Tambien notamos que no podremos pasar por todos los triangulos de la figura dado que hay muchos menos triangulos pintados que no pintados.
Con respecto a la primera afirmacion nos damos cuenta que estamos equivocados pues dada la escasa cantidad de "pintados" y para aprovecharlos de la mejor manera(para hacer un camino muy muy largo) es que partamos con un "no pintado" y terminemos con un "no pintado".De esta manera se aprovechan los "si pintados" de manera optima.
En una configuracion tal,en nuestro camino lograremos que el numero de triangulitos " no pintados" sea igual al numero de los "si pintados", mas 1.
Luego si fueramos "optimistas" tratariamos de pasar por TODOS los "si pintados" de manera tal que el largo del camino en nuestra mejor opcion seria (n-1)n/2 + [(n-1)n/2 + 1]= (n-1)n + 1=n^2 - n +1 (esto pues el numero de triangulitos pintados es (n-1)n/2 segun concluimos en el paso 2)
Luego nuestro tercer paso tambien es una nueva meta SUPERADA

[Rurouni Kenshin]

Y finalmente...ufff...el ultimo paso
Paso 4
Comprobar que efectivamente existe un camino de largo n^2 -n +1(o sea que existe un camino que pase por TODOS los triangulitos pintados)


Solucion:

Para n=2

Notamos que nuestro camino deja solo un triangulito sin visitar(al cual pintamos con rojo).Denotamos por i al inicio del camino y por f al final del camino
Para n=3

Aqui notamos que fueron 2 los triangulitos que quedaron sin ser visitados a los cual tambien pintamos con rojo.Tambien denotamos por i al inicio del camino y por f al final del camino
Para n cualquiera(Generalizando)

Aqui notamos que en general no estamos visitando (n-1) triangulitos marcados con rojo,pero como por el paso 1 el numero de triangulitos totales es n^2,entonces el numero total de triangulitos que si visitamos es n^2-(n-1),o sea n^2 - n +1...o sea nuestro maximo "optimista" si es factible de ser alcanzado!!!
Entonces felizmente nos damos cuenta que nuestro problema se ha entregado..ups...se ha resuelto..jejejeje
PD: Saludos a todos :hola: y ufff..que gusto da un trabajo bien hecho..tomo mucho tiempo hacer las figuras..jejeje...pero quedaron bonitas.